精品解析：河南省许昌市禹州市第三高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

河南省许昌市禹州市第三高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 （120分钟150分） 一、单选题，每小题5分． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知“，使得不等式”不成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 5. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题，每小题6分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点至多有1个 C. 若，则 D. 关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是 三、填空题，每小题5分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 13. 函数的定义域为，则实数的取值范围是__________. 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为______. 四、解答题（77分） 15. （1）； （2）. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． （1）求和的值； （2）若实数满足，求的最小值. 17. 若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. （1）求证：为奇函数； （2）求在上的最小值； （3）解关于的不等式：. 18. 已知定义域为的函数，是奇函数． （1）求a，b的值； （2）证明：为上的减函数； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省许昌市禹州市第三高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 （120分钟150分） 一、单选题，每小题5分． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，然后利用交集的定义求解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定写出即可． 【详解】∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“，”的否定是“，”． 故选：C． 3. 已知“，使得不等式”不成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得不等式对恒成立，利用判别式求解即可． 【详解】因为“，使得不等式”不成立， 则不等式对恒成立， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 4. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 5. 设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 6. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据区间上函数值的符号判断即可. 【详解】由题意，，定义域为， 又， 所以函数为偶函数；故排除AD； 当时，令，解得，， 当时，，故排除C； 故选：B. 7. 已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合一次函数与对数函数的性质求解． 【详解】令， 因为在上单调递增， 由题意可得在上是减函数，且， ∴，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B． 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由的单调性与奇偶性，把不等式转化为求解． 【详解】令，定义域为， 在上单调递增； 在单调递增且，在上单调递增， 则在上单调递增， 所以在上单调递增． ， 故为奇函数，在上单调递增， 关于的不等式可化为， 即， 则，解得， ∴关于的不等式的解集为． 故选：B． 二、多选题，每小题6分． 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用定义法逐一判断奇偶性，并结合常见函数性质判断单调性，即得结果. 【详解】选项A中，，定义域为R，满足，故是偶函数，又由二次函数性质知区间单调递增，故符合题意； 选项B中，，定义域为R，满足，故是偶函数，在区间上，是递增函数，故符合题意； 选项C中，，定义域为，满足，故是偶函数，但由幂函数性质知在区间单调递减，故不符合题意； 选项D中，，定义域为R，恒成立，故不是偶函数，故不符合题意. 故选：AB. 10. 下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可. 【详解】对任意，都有， 则在上单调递增,所以是在上单调递增的奇函数. 对于A，函数定义域为， ，不是奇函数，A错误； 对于B，与在上都为增函数，故在上为增函数， ，所以是在上单调递增的奇函数，B正确； 对于C，，易知在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为， 函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数， 所以在上单调递增， ， 所以是奇函数，D正确. 故选：BD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点至多有1个 C. 若，则 D. 关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据同一函数的概念即可判断A，根据函数的定义即可判断B，直接计算即可判断C，结合一元二次方程的性质，利用判别式和韦达定理即可判断D． 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，根据函数的定义可知， 当的定义域中含有1时，函数的图象与直线有一个交点； 当的定义域中不含1时，函数的图象与直线没有交点． 综上：函数的图象与直线的交点至多有1个，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，设方程的两根为， 关于的方程有一个正根，一个负根的充要条件是 ，解得，故D错误． 故选：BC． 三、填空题，每小题5分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义域求出的定义域，结合解析式列不等式组可得答案． 【详解】因为的定义域为， 所以，即的定义域为， 由，解得， 所以的定义域为. 故答案为：． 13. 函数的定义域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义，将问题转化为不等式恒成立的问题求解即可. 【详解】由函数的定义域为，得恒成立. 当时，，成立，则； 当时，则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，由条件可得的奇偶性与单调性，分为三种情况讨论，结合，得到不等式的解集. 【详解】因为为上的奇函数，所以，. 不妨设，由得， 则，可得， 令，则在上单调递增， 的定义域为， 且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以， 故，即，解得； 当时，， 因为，所以， 故，解得； 当时，，符合题意， 故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题（77分） 15. （1）； （2）. 【答案】（1）99；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解； （2）利用对数的运算性质求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． （1）求和的值； （2）若实数满足，求的最小值. 【答案】（1）或1， （2）2 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的概念和性质求解； （2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值． 【小问1详解】 幂函数，则，解得或1， 又幂函数在上是减函数，故，解得， 因为，故或， 当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意； 当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或1，； 【小问2详解】 ∵实数满足， ∴，则， ∴ . 当且仅当且，即时等号成立. 所以的最小值是2. 17. 若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. （1）求证：为奇函数； （2）求在上的最小值； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值，即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 证明：因为函数的定义域为， 令，则，解得. 令，则，则， 所以，函数为奇函数. 【小问2详解】 解：任取，则， 因为当时，，则， 由（1）知，， 即，所以，函数在上单调递减， 所以，函数在上的最小值为， 因为，， ，所以，， 即函数在上的最小值为. 【小问3详解】 解：由（1）知，， 所以，， 因为函数在上单调递减，则，即， 解得，即不等式的解集为. 18. 已知定义域为的函数，是奇函数． （1）求a，b的值； （2）证明：为上的减函数； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，设，且， ， ，且，，， ，即， 在R上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数，可得，，求出a，b的值，然后利用奇函数的定义证明即可； （2）利用减函数的定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性与单调性，把问题转化为恒成立，然后根据二次函数的性质求解的取值范围． 【小问1详解】 因为为R上的奇函数，所以，即，解得， 由，得，解得，所以， 所以， 因为，所以该函数是奇函数， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数，所以， 所以可化为， 又由（2）知为R上的减函数， 所以，即恒成立， 而，当时取等号， 所以． 19. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $