第三章 位置与坐标 讲义 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

《位置与坐标》 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： · 理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系且根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标； · 根据坐标特征求待定字母的值，根据点的平移变化来求对应的坐标. 二、学习与应用 ( 要点梳理 —— 预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学 . 。 课堂笔记或者其它补充填在右栏 . 预习和课堂学习更多知识点解析请学习 高分云 资源 . ) ( “ 凡事预则立，不预则废 ” 科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记. ) ( 18 ) 学科网（北京）股份有限公司 要点一、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1.平面直角坐标系 平面内两条互相______且有__________的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为_____轴或_____轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为 轴或 轴，向上为正方向，两轴的公共原点O称为直角坐标系的________(如图1). 2.点的坐标 在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个 的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对 来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标. 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标， 写在纵坐标的前面.有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b).（如图2） 【 典例探究 不单纯记忆 】 【例题】利用已知点确定平面直角坐标系 例1.如图，象棋盘上，若“将”位于点（0，0），“车”位于点（-4，0），则“马”位于_________． 【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标． 【解答】解：结合图形以“将”（0，0）作为基准点，则“马”位于（0+3，0+3），即（3，3）．故答案为：（3，3）． 题型一、利用已知点确定平面直角坐标系 巩固1.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为_______ 巩固2.初三（1）班的座位表如右图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是_____ 【总结升华】_________________________________________________ 要点二、坐标平面 1.象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限，如下图． 2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征 【 典例探究 不单纯记忆 】 【例题】坐标点符号特征与象限关系 例2.平面直角坐标系中，若点A（a，-b）在第三象限内，则点B（b，a）所在的象限是_______． 【分析】直接利用各象限内点的坐标符号得出答案． 【解答】解：∵点A（a，-b）在第三象限内，∴a＜0，-b＜0，则b＞0，故点B（b，a）所在的象限是第四象限． 题型二、坐标点符号特征与象限关系 巩固3.已知点P位于第二象限，且距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（﹣4，3） D．（4，﹣3） 巩固4.若点A的坐标（x，y）满足条件（x﹣3）2+|y+2|=0，则点A在第______象限． 【总结升华】__________________________________________________ 要点三、关于坐标轴对称点的坐标特征 1.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 ( )； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 ( )； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 ( )． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为 ； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为 ． 3.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的 坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的 坐标相同. 【 典例探究 不单纯记忆 】 【例题】利用坐标对称点的性质确定待定字母的值 例3.若点A（m，n）和点B（5，-7）关于x轴对称，则m + n的值是（ ） A．2 B．-2 C．12 D．-12 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（m，n）和点B（5，-7）关于x轴对称，∴m = 5，n = 7，则m + n的值是：12． 例4.已知点A（-1，-3）和点B（3，m），且AB平行于x轴，则点B坐标为（　　） A．（3，-3） B．（3，3） C．（3，1） D．（3，-1） 【分析】根据AB平行于x轴，点A（-1，-3）和点B（3，m），可知点A、B的纵坐标相等，从而可以得到点B的坐标． 【解答】解：∵AB平行于x轴，点A（-1，-3）和点B（3，m），∴m = -3． ∴点B的坐标为（3，-3）． 题型三、利用坐标对称点的性质确定待定字母的值 巩固5.直角坐标系中，点A（m，3）与点B（﹣2，n）关于x轴对称，则m - n=________． 巩固6.若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m + n）2018 = _______． 【总结升华】__________________________________________________ 要点四、用坐标表示平移 1.点的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点( ，y)或( ，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x， )或(x， )． 2.图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向_______(或向______)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向向_______(或向_______)平移a个单位长度． 【 典例探究 不单纯记忆 】 【例题】坐标与图形性质的综合题 例5.将点A（-2，-3）向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，则B的坐标是_______. 【分析】让A点的横坐标减3，纵坐标加2即为点B的坐标． 【解答】解：由题中平移规律可知：点B的横坐标为-2 - 3 = -5；纵坐标为-3 + 2 = -1，∴点B的坐标是（-5，-1）． 题型四、坐标与图形性质的综合题 例6.将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度， （1）作出平移后的△A′B′C′． （2）求出△A′B′C′的面积． 【分析】（1）根据题意，直接作出平移后的△A′B′C′；（2）用长为8，宽为7的长方形的面积，减去三个小直角三角形的面积，即可得△A′B′C′的面积. 【解答】解：（1）如右图； （2） △A′B′C′的面积是： 巩固7.线段CD是由线段AB平移得到的．点A（-1，4）的对应点为C（4，7），则点B（-4，-1）的对应点D的坐标为（　　） A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（-9，-4） 巩固8.已知点P（a-2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1） 点P在x轴上； （2） 点P在y轴上； （3） 点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴； （4）点P到x轴、y轴的距离相等． 【总结升华】_________________________________________________ 巩固9. 如图，已知A（-2，3）、B（4，3）、C（-1，-3） （1）求点C到x轴的距离； （2）求△ABC的面积； （3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【中考链接】 （2019·甘肃中考）已知点P（m+2，2m-4）在x轴上，则点P的坐标是（ ） A.（4，0） B.（0，4） C.（-4，0） D.（0，-4） ( 今天课堂的知识导图（个人版） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$