专题二图形与坐标 讲义2024－2025学年北师大版数学八年级上册

专题二 图形与坐标 【知识聚点】 坐标平面上的点与有序数对(x，y)是一一对应的，点的坐标是数与形之间联系的纽带. 图形与坐标的联系有下列应用： (1) 通过图形求某线段的中点坐标； (2) 探讨图形经过变换(如平移、翻折、旋转)后，对应点坐标的变化规律； (3) 研究坐标系中的图形问题. 1. 平移与坐标关系 将点P(x, y)向右或向左平移a个单位, 可以得到P'(x+a, y)或P'(x-a, y), 将点P(x, y)向上或向下平移b个单位, 可以得到P'(x, y+b)或P'(x, y-b). 2. 轴对称与坐标关系 点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为(a，-b)，其关于y轴的对称点的坐标为(-a，b)，其关于x=m的对称点坐标为(2m--a, b), 其关于y=n的对称点的坐标为(a, 2n-b). 3. 旋转与坐标关系 点P(a，b)绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标为(-b，a)，将其绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标为(b,-a).点P(a, b)关于原点的对称点的坐标为(-a, -b). 4. 找规律，求坐标 利用坐标与距离的变化关系，研究图形规律，描述变化过程. 题型1 用坐标表示点的平移 【例1】如图所示,三架飞机P, Q, R保持编队飞行, 30秒后, 飞机P 飞到P'位置, 则飞机 R, Q飞到了什么位置? 分别写出这三架飞机新位置的坐标. 举一反三。 1. 如图所示，A，B，C三辆汽车以相同的速度沿同 一方向行驶半小时后，汽车A行驶到A'位置，则汽车B, C行驶到相应的位置B', C'的坐标分别为 B'( , ), C'( , ). 61 题型2 用坐标表示线段的平移 【例2】如图所示, A, B的坐标分别为(2, 0), (0, 1), 若将线段AB平移到 则 的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 举一反三。 2. 在线段AB上有一点P(a，b)，经过平移后对应点 已知A(3，2)在平移后对应点的坐标为 (1) 若 B(-1, 4), 则平移后 B的对应点,B₁的坐标为 ； (2) 求a+b-c-d的值. 题型3 用坐标表示图形的平移 【例3 是由 平移得到的, 已知A(0, 0), B(2, -1), C(-1, -3), B₁(-2, 2). (1) 写出把 变换成 的一种平移变换； (2) 求出点. 的坐标. 举一反三。 3. 在 中, A(0, 5), B(-2, 2), C(5, 1), 任意一点) )经平移后对应点为 将 作同样平移，得到 求 三个顶点的坐标. 题型4 用坐标表示图形的对称 【例4】如图所示： (1) 请写出 各顶点的坐标； (2) 在同一直角坐标系中画出直线m：x=-1： (3) 作出 关于直线m对称的 (4) 若 P(a, b)是 中AC边上一点，请表示其在 中的对应点的坐标. 举一反三。 4. 点P沿着一条直线l翻折后与点Q重合，则说点 P与点Q关于直线l对称，直线l称为对称轴. 点 关于直线. [经过点(3，0)且垂直于x轴的直线]的对称点与点 关于直线 [经过点(0，-2)且垂直于y轴的直线]的对称点重合，求m，n的值. 题型5 用坐标表示图形的旋转 【例5】在 的网格纸上建立平面直角坐标系. 如图所示，在 中， 且点B 的坐标为(3, 4). (1) 画出 向左平移3个单位后得到的. 写出点 的坐标； (2) 画出 绕点O顺时针旋转 后得到的 并求点 B 旋转到. 时，点B经过的路线长 (结果保留π). 63 举一反三。 5. 在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形， 的顶点均在格点上，点P的坐标为( 如图所示，请按要求画图与作答. (1) 把 绕点 P 旋转180°得 (2) 把 向右平移7个单位得 (3) 判断△A'B'C'与 是否成中心对称，若是，找出对称中心 P'，并写出其坐标. 题型6 根据已知图形的移动求图形的变化规律 【例6】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位. 其行走路线如图所示. (1) 填写下列各点的坐标: A₁( , ), A₃( , ), A₁₂( , ); (2) 依次写出点. 的坐标(n是4的正整数倍)； (3) 指出蚂蚁从点 A2016到A₂017的移动方向. ·举一反三。 6. 如图所示，在平面直角坐标系中，有一个正六边形 ABCDEF，其中C，D的坐标分别为(1，0)和(2，0).若在无滑动的情况下，将这个正六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正六边形的顶点A, B, C, D, E, F中,会经过点(2014, 2)的是点 , 会经过点( 的是点 . 题型7 用坐标表示图形的翻折 【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，C点的坐标是(4，0). (1) 写出A, B两点的坐标; (2) 若 E 是线段BC 上一点, 且. 沿AE 折叠正方形ABCO，折叠后B 点落在平面内F点处. 请画出F点并求出它的坐标； (3)若E是直线BC 上任意一点，问：是否存在这样的E 点使正方形ABCO沿AE折叠后，B点恰好落在x轴上的某一点P处? 若存在，请写出此时P点和E点的坐标； 若不存在，请说明理由. 举一反三。 在直角坐标系中的位置如图所示， 轴， 将 沿BC折叠，点A落在点A'处，求点. 的坐标. 65 题型8 与几何结合综合题 【例8】已知点A, B分别在x轴, y轴上, 点C为AB的中点， (1) 如图①所示, 求点 C的坐标; (2) 如图②所示, E, F分别为OA上的动点, 且. 求证： (3) 在条件(2)中, 若点E的坐标为(3, 0), 求CF的长. 举一反三。 8. 已知点A的坐标为( (1) 如图①所示, 求点 B的坐标; (2) 如图②所示, 轴于点D, M为OB的中点, 求DM的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$