陕西省西安市长安区第一中学2024-2025学年高三上学期第四次考试数学试题

高三年级第一学期第四次教学质量检测 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 案合Ar0B-eNrs树，则4n8=() 1. A.[0,1]U[3,4] B.[0,1)U[3,4] C.{2,3} D.{0,3,4} 2.“a>b”是“1n(a2+e)>.ln(b2+e)”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知a,B∈(0，m),且cosa=5, sin(a+)=瓷则cosB=() 10 A晋 B.、 C.9y0 -9W10 D. 10 50 50 4,如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD交于点O,且 AC⊥BD，OA=1,OB=OC=OD=2,剪去△C0D,将 △AOD沿OA翻折，△BOC沿OB翻折，使点C与点D重合于点 P,则翻折后的三棱锥P-AOB外接球的表面积为（) A.5π B.8π C.9n D.13π 1.1.17 5. 49g2则4=() 已知正项等比数列{an}的前3项和为21，且二+二+二=，。 A. 2 B.2 C.6 D.4 6.双曲线c:y 云=1的左、右焦点分别为R、R,过R作斜率为正且与C的果条渐近 线垂直的直线1与双曲线C在第一象限交于A,os∠R心-}，则C的离心率为〈). 3 2 B.3 C.9 D.202 2 9 9 7.四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足 第1页共4页 马只 扫描全能王创建 P+驴4乎+D=4,则M的最大值是() A.1+V2 8.√2-1 c.22-1 0.22+1 8.已知正数m,n满足3严+1=2m,若m+2n5mm恒成立，则实数元的最小值为( 4 2 c o号 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求的全部选对的得6分，部分对的得2分，有错选的得0分) 9.在复平面内，若复数z对应的点为(1,3)，则() A.z+7=2 B.z2=10 C=10 =5 1+i 10.已知函数y=f(x+1)为奇函数，且f1-x)=f(x+3),当x∈[0，川时，f(x)=2-2, 则() A.f()的图象关于点(1,0)对称 B.f()的图象关于直线x=2对称 C.()的最小正周期为， D.f()+f(2)+…+f(30)=-1 1.已知-(or+君}@>0在o引上有且收有2个摄值，奥下轮王 确的是() A.4<w<5 B.若因关于直线x=号对称，则f心)的最小正周粥7=牙 C若f(x)关于点 资，0对落，则心)在(0写引上单视递地 D,30∈(0，+回，使得f代)在0，胃上的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.把答案填写在答题卡相应的位 置.) 第2页共4页 扫描全能王创建 12.已知函数f(x)=e血x;f'(x)为f(x)的导函数，则f'()的值为 13.在平面直角坐标系0中，已知P号0，B是圆C:+0- =36上的两个 动点，满足PA=PB,则△PAB面积的最大值是」 14.设函数f(x)=(x+lna)ln(x+b),若f()≥0，则ab的最小值为-. 四、解答题（本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题10分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 bsin A=acos (1)求角B的大小： (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. 16.(本小题13分)如图，四棱柱ABCD-ABCD的底面 ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=90°，B=AD=1,CD=2 BD⊥CD.点M为CD,的中点，且CD=2BM. (1)证明：平面BDM⊥平面B②； 2)若=面角B-0以-C的余弦为-晋。 当BD>BD时，求BD的长. 17.(本小题13分)已知函数f(x)=a,g(x)=logx,其中>1 (1)求函数h(x)=f(x)-xna的单调区间： (2)若曲线y=f(x)在点(：，f(3)处的切线与曲线y=g(x)在点(：，g()》处的 切线平行，证明x+8(6)=- 2Inlna Ina .y2 8.(本小题13分)设椭圆名+ +京-=10b0)的左焦点为K,上顶点为R,已知梢圆的 离心率为5，底A的坐标为(6,0)，且网码=65。 第3页共4页 扫描全能王创建 (1)求椭圆的方程： (2)设直线k:y=(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且1与直线4B交于点2.若 Ag_5 POl 4 sin∠AOg(O为原点)，求k的值. 19.(本小题13分)胎肪含量（单位：%）指的是腊肪重量占人体总重量的比例.某运动 生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机 抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6， 抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17. (1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体与者的脂肪 含量的均值与方差作出估计。（结果保留整数） (2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X,且X~N17,σ2)，其中σ2近似为(1) 中计算的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位，飛3位参与者的脂肪含量均小于 122%的概率. 附：若随机变量x服从正态分布N(,C2),则P(0≤Xsμ+C=0.6827,P(-2CsX+2g) 0.9545,√22✉4.7，√34.8,0.1586530.004. 20.(本小题15分)设复数z=a+bi(a,beR)对应复平面内的点Z,设 ∠X02=-8,OZ-r,则任何一个复数x=a+bi都可以表示成z零r(cos日+isin)的形 式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，日称为复数z的辐角，若0≤0<2π， 则日称为复数z的辐角主值，记为rgz. (1)若z=r(cos0+isin9),证明：z=r(cos38+isin39),并写出的三角形式 (无稀证明)， (2)求方程x=1虚根的实部： (3)证明：neN时，sin, -sin- 2m sin sin-m=V2n+i 3π 2n+12n+12n+1 2n+12m 第4页共4页 巴只 扫描全能王创建