第一章 集合与简易逻辑用语期末单元复习-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

第一章 集合与简易逻辑用语期末单元复习（新高考人教A版） 目录 【概念回顾】 2 【考点通关】 6 【考点一】集合的概念 6 【考点二】集合间的基本关系 8 【考点三】集合的基本运算 10 【考点四】充分条件与必要条件 13 【考点五】全称量词与存在量词 15 【拓展提升】 16 概念回顾 一、元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 二、集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 三、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 四、常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 六、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 七、子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 八、真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 九、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 十、并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 十一、交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 十二、交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 十三、全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 十四、补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 十五、命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 十六、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 十七、逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 十八、充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 十九、条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 二十、全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. (3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 二十一、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 二十二、全称量词命题的否定 (1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 全称量词命题 全称量词命题的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 二十三、存在量词命题的否定 存在量词命题 存在量词命题的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 考点通关 【题型一】集合的概念 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）以下元素的全体能构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 2．（24-25高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 5．（2023·山东枣庄·一模）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一·江苏·假期作业）下列说法错误的是　　 A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是同一个集合 D．若，则 8．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 9．（23-24高一上·福建·期中）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）（多选）下列说法错误的是（   ） A．在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 B．方程的解集为 C．，且中的元素个数为0 D．若，则 三、填空题 11．（2023高一·全国·课后作业）数集中的元素a不能取的值是 . 12．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，用列举法表示集合，则 . 13．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 14．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·全国·课后作业）设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件： ①；②若，则. (1)求证：若，则； (2)若，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素． 16．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【考点二】集合间的基本关系 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高一上·福建龙岩·开学考试）设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 二、多选题 9．（2023·广东肇庆·三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 10．（23-24高一上·全国·单元测试）若集合，则能使成立的a的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 11．（21-22高一上·广东·期末）以下满足的集合A有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高一上·江苏常州·期中）设，且满足且，则 . 13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 14．（22-23高一上·江西·阶段练习）已知，，且，则a的取值范围为 ． 四、解答题 15．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 16．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【考点三】集合的基本运算 一、单选题 1．（2021·浙江·高考真题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东梅州·期中）若全集 ，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河北·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D． 7．（2024·广东深圳·二模）对于任意集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ） A．28 B．23 C．18 D．16 二、多选题 9．（22-23高一上·江苏常州·期中）如图，是全集，是的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（    ） A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B．只参加跑步比赛的人数为26 C．只参加拔河比赛的人数为16 D．只参加篮球比赛的人数为22 12．（23-24高二下·山东青岛·期末）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（    ） A．为，为自然数的减法 B．为，为有理数的乘法 C．为，为实数的加法 D．已知全集，集合，为，为实数的乘法 三、填空题 13．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）集合,，则 14．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 15．（2023·重庆·高考真题）设集合，集合，若，则实数_____. 16．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）集合A＝，B＝，若AB＝{2，3，5}，AB＝{3}，则ab＝ . 四、解答题 17．（24-25高三上·广东·阶段练习）设集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 18．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 19．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 20．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【考点四】充分条件与必要条件 一、单选题 1．（2022·江苏连云港·二模）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·湖南怀化·期末）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2022·辽宁沈阳·二模）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 8．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的必要不充分条件 三、填空题 9．（2022高一·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 四、解答题 11．（22-23高一上·天津武清·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数a的取值范围. 12．（23-24高二上·贵州黔东南·阶段练习）已知一元二次方程. （1）若是方程的两个根，求b的值； （2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”. 【考点五】全称量词与存在量词 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．任一无理数的平方是无理数 B．至少有一个实数，使 C．， D．，使 2．（24-25高三上·海南·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 3．（20-21高二上·湖南长沙·期末）若命题“任意，使”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·阶段练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 二、多选题 5．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）下列四个命题中是假命题的为（    ） A．使 B．使 C． D． 6．（21-22高一·全国·课后作业）若“，”真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题.写出该命题的否定 ． 8．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）若“”是假命题，则实数的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）设全集，集合，非空集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 10．（23-24高二下·辽宁·期末）已知集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 拓展提升 一、单选题 1．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 二、多选题 3．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 4．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（    ） A．0，1是任何数域中的元素 B．若数集M，N都是数域，则是一个数域 C．存在无穷多个数域 D．若数集M，N都是数域，则整数集 三、填空题 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 6．（21-22高一上·河南焦作·期末）设函数的定义域为D，若命题p：“，”为假命题，则a的取值范围是 . 四、解答题 7．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 8．（2023·北京西城·一模）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； (3)若集合具有性质，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与简易逻辑用语期末单元复习（新高考人教A版） 目录 【概念回顾】 2 【考点通关】 6 【考点一】集合的概念 6 【考点二】集合间的基本关系 13 【考点三】集合的基本运算 21 【考点四】充分条件与必要条件 30 【考点五】全称量词与存在量词 37 【拓展提升】 41 概念回顾 一、元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 二、集合中元素的特征 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 三、元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 四、常用的数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 五、列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 六、描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 七、子集的含义 (1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. (2)子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 八、真子集与集合相等 (1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 九、空集 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集. 十、并集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 十一、交集 自然语言 符号语言 图形语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 十二、交集与并集的运算性质 (1)A∪A＝A，A∪＝A；A∩A＝A，A∩＝. (2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 十三、全集与补集的含义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 十四、补集的性质 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝，∁U＝U. A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U. 十五、命题的概念 (1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (3)“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 十六、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 十七、逆命题的概念 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 十八、充要条件 命题真假 若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题 推出关系 p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 十九、条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且q p p是q的既不充分也不必要条件 二十、全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. (3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 二十一、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 二十二、全称量词命题的否定 (1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 全称量词命题 全称量词命题的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 二十三、存在量词命题的否定 存在量词命题 存在量词命题的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 考点通关 【题型一】集合的概念 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）以下元素的全体能构成集合的是（    ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 2．（24-25高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 5．（2023·山东枣庄·一模）若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一·江苏·假期作业）下列说法错误的是　　 A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是同一个集合 D．若，则 8．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 9．（23-24高一上·福建·期中）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）（多选）下列说法错误的是（   ） A．在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 B．方程的解集为 C．，且中的元素个数为0 D．若，则 三、填空题 11．（2023高一·全国·课后作业）数集中的元素a不能取的值是 . 12．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，用列举法表示集合，则 . 13．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 14．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·全国·课后作业）设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件： ①；②若，则. (1)求证：若，则； (2)若，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素． 16．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A D D BCD BC ABD BD 1．A 【分析】根据集合的知识可选出答案. 【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足； 接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足； 未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足； 地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足； 故选：A 2．A 【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 3．D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 4．A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 5．D 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 6．D 【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可. 【详解】因为，， 则由题意可设，，其中， 则，且， 故， 故选：D． 7．BCD 【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断． 【详解】对于：因为等价于或， 如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限， 所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，故正确； 对于：由于方程的解集等价于，解得， 故解集为，故错误； 对于C：集合表示的函数值的取值范围，是数集， 集合表示抛物线的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误； 对于：因为，则，故错误， 故选：BCD． 8．BC 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】∵，则有： 若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：或. 故选：BC. 9．ABD 【分析】分类讨论：，然后求解出的取值即可. 【详解】当时，，满足条件； 当时，若中仅有一个元素，则，此时， 若，则，满足， 若，则，满足， 故选：ABD. 10．BD 【分析】由一三象限点的特征可得A正确；由方程的解可得B错误；由集合中的范围可得C正确；由集合的表述可得D错误； 【详解】对于A，第一象限内的点满足，，第三象限内的点满足，，故A正确； 对于B，方程的解为故解集为，故B错误； 对于C，由的范围可得，且中的元素个数为0，故C正确； 对于D项，，，故D错误； 故选：BD. 11．0，1，2， 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解. 【详解】由集合中的元素满足互异性可知，解得且且且 故答案为：0，1，2， 12． 【分析】根据集合的描述法即可求解. 【详解】, 故答案为： 13．0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 14．2 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 15．(1)证明见解析 (2)集合S中必含有两个元素. 【分析】（1）根据集合S中元素的性质，循环迭代即可得出证明； （2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素. 【详解】（1）证明：因为，所以，由，则， 可得，即， 故若，则. （2）由，得； 由，得； 而当时，，…， 因此当时，集合S中必含有两个元素. 16．(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 【考点二】集合间的基本关系 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高一上·福建龙岩·开学考试）设集合，，，则下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 二、多选题 9．（2023·广东肇庆·三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 10．（23-24高一上·全国·单元测试）若集合，则能使成立的a的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 11．（21-22高一上·广东·期末）以下满足的集合A有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高一上·江苏常州·期中）设，且满足且，则 . 13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 14．（22-23高一上·江西·阶段练习）已知，，且，则a的取值范围为 ． 四、解答题 15．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 16．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B B B D B ABC ABC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数. 【详解】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 2．A 【分析】根据包含关系确定中的元素后可得正确的选项． 【详解】由可得且，根据为的真子集， 可得或或，故满足条件的集合的个数为3. 故选：A 3．B 【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解. 【详解】，， 中的元素为点，故， 故选：B 4．B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 5．B 【分析】由集合与集合，元素与集合以及空集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于①，正确； 对于②，是元素，是没有元素的集合，故②错误； 对于③⑤，正确，即③对，错误，即⑤错； 对于④，表示集合中有一个元素，表示集合中有一个元素，研究对象不同，故④错误； 对于⑥，，故⑥错误； 对于⑦，正确； 对于⑧，表示不同的集合，错误. ①③⑦正确. 故选：B 6．B 【分析】利用集合相等，求出，再根据互异性求出的取值情况并检验即可. 【详解】根据题意,,故，则, 则，由集合的互异性知且， 故，则， 即或（舍）， 当时，，符合题意， 所以. 故选：B. 7．D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 8．B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 9．ABC 【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断． 【详解】，若，则，且，故A正确. 时，，故D不正确. 若，则且，解得，故B正确. 当时，，解得或，故C正确. 故选：ABC． 10．ABC 【分析】讨论A是否为空集，解相应的不等式，综合可得答案. 【详解】当，即时，； 当，即时，，      要使，须有，解得，即， 综上可知，，结合选项可知a的值可取2，4，7， 故选：ABC 11．AC 【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案. 【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集， 则所有符合条件的集合A为,,. 选项BD均不符合要求，排除. 故选：AC 12．3 【分析】根据集合相等得到，即可得到答案. 【详解】因为且 ， 所以， 所以 ，即. 故答案为：3 13． 【分析】由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素带入集合应该满足，从而得到的取值范围. 【详解】解：，且， ，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或， 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足， 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 【考点三】集合的基本运算 一、单选题 1．（2021·浙江·高考真题）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东梅州·期中）若全集 ，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河北·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D． 7．（2024·广东深圳·二模）对于任意集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ） A．28 B．23 C．18 D．16 二、多选题 9．（22-23高一上·江苏常州·期中）如图，是全集，是的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（    ） A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B．只参加跑步比赛的人数为26 C．只参加拔河比赛的人数为16 D．只参加篮球比赛的人数为22 12．（23-24高二下·山东青岛·期末）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（    ） A．为，为自然数的减法 B．为，为有理数的乘法 C．为，为实数的加法 D．已知全集，集合，为，为实数的乘法 三、填空题 13．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）集合,，则 14．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 15．（2023·重庆·高考真题）设集合，集合，若，则实数_____. 16．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）集合A＝，B＝，若AB＝{2，3，5}，AB＝{3}，则ab＝ . 四、解答题 17．（24-25高三上·广东·阶段练习）设集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 18．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 19．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 20．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D C B B C BC ABD 题号 11 12 答案 BCD BC 1．D 【分析】由题意结合交集的定义可得结果. 【详解】由交集的定义结合题意可得：. 故选：D. 2．C 【分析】先求出集合，再利用可得实数的取值范围. 【详解】由，得，所以， 因为，所以，故． 故选：C． 3．C 【分析】直接根据集合的包含关系逐一判断. 【详解】，，， 则，A错误，，B错误，C正确，或，D错误. 故选：C. 4．D 【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解． 【详解】由得，所以或， 解得或，所以. 故选：D． 5．C 【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断． 【详解】因为全集，所以， 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确． 故选：C． 6．B 【分析】解不等式可得集合，由补集定义可确定集合，根据交集定义可求得结果. 【详解】由得：，即； ，，. 故选：B. 7．B 【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果. 【详解】 对于：如图所知，为区域①，所以，故错误； 对于：为区域①和③；为区域③，为区域①，则也为为区域①和③；两边相等，故正确； 对于：为区域①，为区域①，不等于区域②（区域②为），故错误； 对于：为区域①和③；而为区域③，为区域①，所以为空集，所以错误； 故选：. 8．C 【解析】设参加田赛、径赛的同学组成集合，再由集合论即可得解. 【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则， 参加径赛的学生组成集合B，则， 由题意得， 所以， 所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有. 故选：C. 【点睛】本题考查了数学文化与集合运算的综合应用，考查了转化化归思想，属于基础题. 9．BC 【分析】由题阴影部分对应的集合为在M中不在N中，然后利用集合关系确定即可. 【详解】由题可知阴影部分在集合中，而不在集合中， 故阴影部分所表示的元素属于，不属于(属于的补集)， 即； 由题可知阴影部分所表示的元素属于，不属于，即； 所以阴影部分对应的集合为或. 故选：BC. 10．ABD 【分析】根据并集的定义结合条件即得． 【详解】由并集的定义知，当集合与中没有公共元素时，有，所以可能成立； 当集合与中有公共元素时，，所以可能成立； 当集合与集合为相等集合时，，所以可能成立； 根据集合的并集运算可知不能成立. 故选：ABD． 11．BCD 【分析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得集合的元素个数关系． 【详解】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为. 故选：BCD． 12．BC 【分析】对每个选项逐一判断，结合实数的运算以及特殊值法判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件； 对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件； 对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件； 对于D选项，已知全集，集合，，取，， 则，D不满足条件. 故选：BC. 13．1或0 【分析】根据包含关系可求参数的值，注意讨论集合是否为空集即可. 【详解】, ,或， 故或. 故答案为：1或0 14． 【分析】根据并集的定义，写出的取值范围即可. 【详解】 由题意知，则用数轴画图可得. 故答案为： 15．-3 【详解】因为集合， ，A={0,3}，故m= -3. 16．30 【解析】先求出集合A,由AB＝{2，3，5}，AB＝{3}，可得，从而得出答案.. 【详解】集合A＝ 由AB＝{2，3，5}，AB＝{3} 所以,即2,3为方程的两个实数根. 所以，即 所以 故答案为：30 【点睛】本题考查了利用集合运算的结果求参数，考查了运算求解能力，属于基础题. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围； （2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围. 【详解】（1）因为，且，所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，，解得，，满足题意； 当时，因为，所以，解得，或无解； 综上所述，的取值范围为. 18．（1）；（2） 【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式组，求出实数的取值范围； （2）若，则，分和两种情况，分别列不等式可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以或． 又且， 所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）若（补集思想），则． 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，得． 综上，知时，， 所以时，实数的取值范围是． 19．(1) (2) 【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解； (2)由，则，然后对是否为空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）， . （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 20．(1) (2) 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用集合混合运算的结果，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 【考点四】充分条件与必要条件 一、单选题 1．（2022·江苏连云港·二模）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏苏州·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·湖南怀化·期末）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2022·辽宁沈阳·二模）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 8．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的必要不充分条件 三、填空题 9．（2022高一·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 10．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 四、解答题 11．（22-23高一上·天津武清·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数a的取值范围. 12．（23-24高二上·贵州黔东南·阶段练习）已知一元二次方程. （1）若是方程的两个根，求b的值； （2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D B D ABD BC 1．D 【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可． 【详解】若不等式的一个充分条件为， 则，所以，解得. 则实数的取值范围是. 故选：D. 2．B 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．A 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 【详解】若，则，所以，故充分性满足； 若，则或，显然必要性不满足； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．D 【分析】先求出不等式的解集，再由集合间的包含关系即可求出m的取值范围. 【详解】解不等式可得， 又不等式成立的充分不必要条件是，所以可得； 即，解得； 经检验不等式两边不会同时取到等号， 所以m的取值范围是. 故选：D 5．B 【分析】解不等式确定的范围，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由得． 若，则成立，故“”是“”的必要条件； 若，则不一定成立，故“”不是“”的充分条件． 故选：B． 6．D 【分析】化简命题，根据是的必要条件求解. 【详解】由可得， 因为是的必要条件，所以， 则是的子集，故. 故选：D. 7．ABD 【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案. 【详解】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题； B：若时，充分性不成立，假命题； C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题； D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题. 故选：ABD 8．BC 【分析】A选项，可举出反例，得到充分性不成立；B选项，证明出充分性成立，举出例子得到必要性不成立，B正确；C选项，举出反例得到充分性不成立，再证明出必要性成立；D选项，证明出充分性成立，D错误. 【详解】A选项，设，满足，但无意义，故充分性不成立，A错误； B选项，当时，，充分性成立， 当时，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； C选项，当且时，此时，故充分性不成立， 当时，解得且，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，C正确； D选项，且时，，充分性成立，D错误. 故选：BC 9．或或或 【分析】由一元二次方程有实数根可得，解得，结合，即可求出. 【详解】一元二次方程有实数根, ，解得， 又，. 故答案为：或或或． 10．（1）（2）（3） 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 11．(1)，或 (2)或 【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可； （2）根据必要条件的性质进行求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，或； （2）∵是的必要条件， ∴ ∴当时，则有，解得．满足题意． 当时，有，或， 由不等式组可得，不等式组无解． 综上所述，实数a的取值范围是或. 12．（1）0；（2）证明见解析. 【解析】（1）化简即得解； （2）先证明充分性，再证明必要性得证. 【详解】（1）由题得，所以； （2）先证明充分性： 当时，或， 所以是方程的一个根， 所以充分性成立； 再证明必要性： 当是方程的一个根时， . 所以必要性成立. 所以“是方程的一个根”的充要条件是“”. 【点睛】方法点睛：证明是的充要条件，要先证明充分性，即；再证明必要性，即. 【考点五】全称量词与存在量词 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．任一无理数的平方是无理数 B．至少有一个实数，使 C．， D．，使 2．（24-25高三上·海南·开学考试）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 3．（20-21高二上·湖南长沙·期末）若命题“任意，使”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北·阶段练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 二、多选题 5．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）下列四个命题中是假命题的为（    ） A．使 B．使 C． D． 6．（21-22高一·全国·课后作业）若“，”真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题.写出该命题的否定 ． 8．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）若“”是假命题，则实数的取值范围是 . 四、解答题 9．（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）设全集，集合，非空集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 10．（23-24高二下·辽宁·期末）已知集合 （1）若，求实数m的取值范围. （2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B A ABC AB 1．C 【分析】根据全称量词命题的定义排除BD，举反例排除A，根据二次函数的性质判断C即可. 【详解】对A，任一无理数的平方是无理数为全称量词命题，但可举反例的平方为2是有理数，故A错误； 对B，“至少有一个实数”表明该命题为存在量词命题，故B错误； 对C，“，”为全称量词命题，且根据二次函数的判别式可得该命题为真，故C正确； 对D，“” 表明该命题为存在量词命题，故D错误； 故选：C 2．A 【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【详解】对于命题p，当时，，所以p为真命题； 对于命题q，由于恒成立，所以恒有. 综上，p和q均为真命题. 故选：A. 3．B 【分析】根据全称命题为真命题，结合实数的性质，可求得a的范围，即得答案. 【详解】由于任意，都有， 故要使命题“任意，使”为真命题，需有， 故选：B 4．A 【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的概念以及命题的真假判断，一一判断各命题，即得答案. 【详解】对于A，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假， A是真命题，符合题意； 对于B，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，当时，，C中命题是假命题，不符合题意； 对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意， 故选：A. 5．ABC 【分析】根据全称命题以及存在量词命题的性质结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A. 由可得，故不存在，使，A错误， 对于B，由得，故不存在，使，B错误， 对于C，当时，，故C错误， 对于D,由于，故，D正确， 故选：ABC 6．AB 【分析】根据假命题的否定为真命题可知“，”是真命题，又“，是真命题，求出命题成立的条件，进而求交集即可知M满足的条件． 【详解】∵“，”为假命题， ∴“，”为真命题，可得， 又“，”为真命题，可得， 所以， 故选：AB． 7．，使得 【分析】利用命题的否定，写出结果即可. 【详解】命题，则该命题的否定是：，使得， 故答案为：，使得 8． 【分析】由已知是假命题可得，“”为真命题，列不等式解出实数的取值范围即可． 【详解】已知“”是假命题，所以“”为真命题，即，解得 故答案为： 9．(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件与集合的等价关系可知，A是B的真子集，即可解出； （2）根据题意可知B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）命题“，则”是真命题，所以， 因为，则，又， 所以. 10．（1）；（2）. 【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可； （2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案 【详解】解：（1）①当B为空集时，成立. ②当B不是空集时，∵，，∴ 综上①②，. （2），使得，∴B为非空集合且. 当时，无解或，， ∴. 拓展提升 一、单选题 1．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 二、多选题 3．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 4．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（    ） A．0，1是任何数域中的元素 B．若数集M，N都是数域，则是一个数域 C．存在无穷多个数域 D．若数集M，N都是数域，则整数集 三、填空题 5．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 6．（21-22高一上·河南焦作·期末）设函数的定义域为D，若命题p：“，”为假命题，则a的取值范围是 . 四、解答题 7．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 8．（2023·北京西城·一模）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； (3)若集合具有性质，证明：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D B BD ACD 1．D 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以，又均为正数， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 2．B 【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值． 【详解】依题意，对于中元素和， 当和同时为时，， 当和至少有一个为时，， 要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足， 设集合中的元素记为， 则的所有元素的位置至多有个， 若位置为，其它位置为的元素有个， 若全为的有个， 综上中元素最多有个． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值. 3．BD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 4．ACD 【分析】AD选项，由数域定义可得答案；B选项，通过举反例判断选项正误；C选项，由题可知为素数为数域，据此可得答案. 【详解】A选项，根据定义，由，则，则0，1是任何数域中的元素，故A正确； B选项，若数集都是数域，不妨设， . 取，则，则不是一个数域，故B错误； C选项，由题可知，任何一个形如，是素数的集合都是数域，而素数有无穷多个，并且不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，故C正确； D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推，整数集是任何数域的子集，若数集都是数域，则，则整数集，故D正确． 故选：ACD． 5． 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 6． 【分析】根据特称命题为假命题转化为全称命题是真命题，进而转化为恒成立问题， 利用恒成立问题即可求解. 【详解】命题p：“，”为假命题，则“，”为真命题. 则函数的图象要恒在图象的上方（两个式需都有意义）. 作图可知.    所以a的取值范围是. 故答案为：. 7． 【分析】由题意，所以，这里可以分三种情况，集合是空集、集合中只含有集合中的一个元素，集合中含有集合中的两个元素；对于是的真子集这种情况，较为简单，直接对比即可得解. 【详解】一方面：因为，又，所以； 又因为，且， 所以当,即时，集合，此时有是的真子集，所以满足题意， 当时，，此时集合不是集合的真子集，结合以上两种情况有. 另一方面：因为，所以,分以下三种情况： 情形一：集合是空集，即是空集， 所以方程无解，即， 解得; 情形二：集合中只含有集合中的一个元素，又因为， 所以或，说明方程有重根1或2， 即或， 由完全平方展开得以上情况不可能成立； 情形三：集合中含有集合中的两个元素，又因为， 所以，说明方程有两个不同的实数根或， 即，将展开得， 对比即得. 结合以上三种情形有：. 综上所述：，. 8．(1)具有，理由见解析 (2)不存在，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解， （2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解. （3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解. 【详解】（1）因为，同理． 又，同理． 所以集合具有性质． （2）当时，集合中的元素个数为．由题设．     假设集合具有性质，则 ①当时，，矛盾． ②当时，，不具有性质，矛盾． ③当时，． 因为和至多一个在中；和至多一个在中； 和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾． ④当时，，不具有性质，矛盾． ⑤当时，，矛盾． 综上，不存在具有性质的集合． （3）记，则． 若，则，矛盾．若，则，矛盾．故． 假设存在使得，不妨设，即． 当时，有或成立． 所以中分量为的个数至多有． 当时，不妨设． 因为，所以的各分量有个，不妨设． 由时，可知，，中至多有个， 即的前个分量中，至多含有个． 又，则的前个分量中，含有 个，矛盾．                             所以．    因为， 所以． 所以． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$