精品解析：天津市耀华中学滨城学校2024-2025学年高一上学期第三次学情调研（12月）数学试题

天津市耀华中学滨城学校2024-2025学年度第--学期第三次学情调研 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分共150分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题.“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已，且则等于（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若且，则ab的最大值为 B. 若，则 的最小值为4 C. 若a，b为正实数，且，则的最小值为6 D. 若，则的最小值为3 11. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填写在答题纸上. 13. ______. 14. 已知α角的终边过点_________，则_________ . 15. 已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则______． 16. 已知函数是奇函数，则实数的值为________. 17. _____________. 18. 已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为_______. 19. 下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则 ②同时满足 的角有无数个； ③如果角满足 那么角α是第二象限的角； ④满足条件 的角的集合为 其中真命题的序号为________. 20. 已知函数的定义域为，对于任意 当 时，（其中c为自然对数的底数），若，则实数a的取值范围为___________. 三. 解答题：本大题共4小题，共50分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 21. 已知全集，集合 （1）求集合; （2）若，求实数的取值范围. 22. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 23. 设. （1）化简； （2）求的周期和单调增区间. （3）在的范围内，求的值域； （4）若，，求的值. 24. 已知函数，其中且. （1）若， （i）求函数的定义域 （ii）当时，，求的取值范围； （iii）时，求函数的最小值； （2）若当时，恒有，试确定a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学滨城学校2024-2025学年度第--学期第三次学情调研 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分共150分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示全集，进而进行集合间的运算. 【详解】由已知得， 则， 所以， 故选：B. 2. 命题.“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式回答即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“”的否定是“”. 故选：B 3. 设，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式分别求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】由，解得， ，解得， 又因为， ， 所以是的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查了命题必要而不充分条件的判断以及一元二次不等式的解法，属于基础题. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，取，则，D错误. 故选：C 5. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解. 【详解】因为圆的半径为1，劣弧的长为，所以， 则， 所以阴影部分的面积为. 故选：B. 6. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案． 【详解】∵，在区间上单调递减， 则在区间上单调递减， 且，， ，， ，∴函数的零点在上． 故选：C． 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数，再分段讨论函数值的情况，即可判断. 【详解】解：函数的定义域为 ， 因为， 所以为偶函数， 所以的图像关于轴对称， 当时， 所以， 当时， 所以 当时， 故选：C 【点睛】此题考查了函数图像的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于中档题. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，采用中间值比大小. 【详解】因为函数是减函数，是增函数， 所以，，， 所以. 故选：B. 9. 已，且则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平方求出，进而求出，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分母用两角和余弦公式展开，即可求解. 【详解】平方得， ， . 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是解题的关键，属于中档题. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若且，则ab的最大值为 B. 若，则 的最小值为4 C. 若a，b为正实数，且，则的最小值为6 D. 若，则的最小值为3 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式结合乘“1”法逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为且， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以ab的最大值为，故A错误； 对于选项B：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 的最小值为6，故B错误； 对于选项C：若a，b为正实数，且， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6，故C正确； 对于选项D：若， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D错误； 故选：C. 11. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值域，再根据题意可得的值域是的值域的子集，对的符号分类讨论，根据集合间的包含关系可解得答案. 【详解】因为， 所以，可得的值域为； 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集； 显然，当时，，不合题意； 当时，在上为增函数，所以，即； 因此，解得； 当时，在上为减函数，所以，即； 因此，解得； 综上可得，实数的取值范围是 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出两函数值域的包含关系，再对的符号分类讨论，利用集合间的包含关系可得结论. 12. 已知函数.，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数，， 故. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填写在答题纸上. 13. ______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式化为锐角三角函数，再求值． 【详解】． 故答案为：． 14. 已知α角的终边过点_________，则_________ . 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的对于求；再结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】因为α角的终边过点， 所以；. 故答案为：；1. 15. 已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可. 【详解】因为幂函数是偶函数， 所以且为偶数， 所以或， 又因为幂函数在上是减函数， 所以，即，所以. 故答案为：. 16. 已知函数是奇函数，则实数的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，利用求解. 【详解】因为函数是奇函数 所以恒成立， 所以， 故答案为：1 17. _____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数的运算性质结合换底公式运算求解. 【详解】原式. 故答案为：. 18. 已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性和奇偶性分析的符号，分或两种情况解不等式即可. 【详解】因为在上是增函数，且， 可知：当时，；当时，； 又因为是奇函数，可知： 当时，； 当时，； 当时，； 对于不等式，等价于或， 可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 19. 下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则 ②同时满足 的角有无数个； ③如果角满足 那么角α是第二象限的角； ④满足条件 的角的集合为 其中真命题的序号为________. 【答案】② 【解析】 【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正弦值及任意角定义求角即可判断. 【详解】对于①，若点为角的终边上一点， 则（注意参数的符号不确定），假命题； 对于②，同时满足，只要终边与相同的角都满足，真命题； 对于③，如果角满足，那么角是第三象限的角，假命题； 对于④，满足条件的角的集合为或，假命题. 故答案为：②. 20. 已知函数的定义域为，对于任意 当 时，（其中c为自然对数的底数），若，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】变形，构造函数，根据单调性即可求解. 【详解】由题意得，，， 令, 则在上单调递增,且, 由,得,即, 所以，解得, 故答案为：. 三. 解答题：本大题共4小题，共50分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 21. 已知全集，集合 （1）求集合; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算集合，再利用集合交集求解即可. （2）由（1）可得，再由列式即可. 【小问1详解】 由题意，集合， 集合， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为, 所以，解得，即， 故实数的取值范围为. 22. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式计算即可. （2）根据二倍角的三角函数公式以及和差的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 ∵，∴， 可得. 【小问2详解】 由二倍角公式得， ∴． 23. 设. （1）化简； （2）求的周期和单调增区间. （3）在的范围内，求的值域； （4）若，，求的值. 【答案】（1） （2）周期为，单调增区间是和，其中. （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用正弦函数的性质求解； （3）先求出的值域，再得到的值域； （4）利用正弦的和公式求解. 【小问1详解】 . 由于分母不能为零，故，即，从而. 所以. 【小问2详解】 由于，故的最小正周期是，从而全部的周期是. 同时根据正弦函数的性质可知，的单调增区间就是和，这里. 【小问3详解】 是在正弦函数的基础上去掉取值为或的点. 而当时，的取值范围是，所以的取值范围是. 从而的值域就是. 【小问4详解】 由条件知，而，故， 所以，这就意味着. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对正弦函数性质的掌握. 24. 已知函数，其中且. （1）若， （i）求函数的定义域 （ii）当时，，求的取值范围； （iii）时，求函数的最小值； （2）若当时，恒有，试确定a的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）；（iii） （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）将代入函数，求解定义域即可； （ii）将代入函数，根据函数的单调性将不等式转化为，然后求解在最值即可； （iii）将代入函数，则函数，，再使用换元法求最值即可； （2）由可得，令，其对称轴为，讨论在上的单调性，可得在上单调递减，即可求解. 【小问1详解】 （i）当时，函数， 即，解得， 故函数的定义域为. （ii）当时，函数在单调递增， 则不等式转化为在恒成立， 所以恒成立， 因为，所以 则当时，， 所以. （iii）当时，函数， 则，， 令，则， 且函数在单调递减， 所以， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由得，即， 因为， 所以，即， 由可得， 即，故， 令，其对称轴为， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 即在上单调递减， 所以， 又，则，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是讨论在上的单调性，从而得在上单调递减，然后根据函数的单调性求范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $