精品解析：辽宁省大连市金州区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

金普新区2024－2025学年度第一学期期中质量检测试卷 九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】、中含有一个未知数，最高次数为，不符合题意； 、中含有两个未知数，不符合题意； 、是一元二次方程，此选项说法正确，符合题意； 、中含有一个未知数，最高次数，不符合题意； 故选：． 2. 在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是 （ ） A. （ - 1， - 3） B. （ - 1，3） C. （1， - 3） D. （3，1） 【答案】A 【解析】 【分析】由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点对称的点的坐标是． 故选：A． 【点睛】题目考查了关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好关于原点对称点的坐标规律． 3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：C． 4. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 5. 关于的方程有两个不相等的实数根，则可以是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练记忆当时，方程有两个不相等的实数根． 根据方程有两个不相等的实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 6. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年万字增加到九年级的每年万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握为增长率问题的一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量是解决问题的关键． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 根据题意得． 故选：A． 7. 如图，为直径，弦，垂足为点E，若的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，垂径定理得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵为直径，弦， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 8. 二次函数的图象关于直线对称，且经过点，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先根据题意可得该二次函数的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，据此得到二次函数解析式，再把代入解析式中求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 把代入中得：， 故选：B． 9. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为（ ）． A. 8 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质，可证、都是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出的长，即可得到． 【详解】解：将绕点C按逆时针方向旋转得到， 则，，， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，证明等边三角形是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，点从点出发以的速度沿向点运动，同时点从点出发以的速度沿向点运动，设经过的时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象，由题意得，可得函数图象是一条抛物线，开口向下，顶点为，与轴的交点为和，据此即可判断求解，根据题意求出与之间的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴函数图象是一条抛物线，开口向下，顶点为，与轴交点为和， ∴能大致反映与之间的函数关系的是， 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一天中钟表时针从上午6时到上午9时旋转的度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】钟表上的刻度把一个圆平均分成12等份，根据题意知，时针运行了圆周，即可得到答案． 【详解】根据题意，从上午6时到上午9时，共3个小时 时针旋转了圆周，旋转的角度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了钟表上角的认识的问题，知道钟表上的刻度把一个圆平均分成12等份是解题的关键． 12. 若是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练的掌握一元二次方程根的性质，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 根据方程根的定义，得出，把原式变形即可得出答案． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 13. 如图，是的切线，为切点，如果，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理：由于是的切线，则，，求出的长即可求出的长，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵A为的切线， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的应用，解题关键是运用数形结合的思想解决问题．由图像判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图像即可求解． 【详解】解：由图像可知二次函数的对称轴是直线， ∵该函数图像与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为， 故答案为：． 15. 如图，抛物线：与轴交于两点，点在第四象限的抛物线上，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点恰好落在轴上时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及了全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，作轴，轴，可证，得出据此即可求解； 【详解】解：作轴，轴，如图所示： 由得， ∴， 设点，则， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 即： 解得：（舍负）， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）先把原方程移项得到，等号左边的式子直接利用完全平方公式配方即可解答； （2）利用公式法求解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 17. 如图所示，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求作图． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出，并写出，的坐标； （2）直接写出线段与的关系：______． 【答案】（1），，图见解析 （2）垂直且相等 【解析】 【分析】本题主要考查作图—旋转变换，解题关键是掌握旋转变换的定义与性质． （1）将点、绕点顺时针旋转得其对应点，再首尾顺次连接即可得出答案； （2）根据旋转的性质，结合图形可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 由图知，的坐标为，的坐标为； 【小问2详解】 解：结合图形知，，且， 即线段与的关系：垂直且相等． 故答案为：垂直且相等． 18. 如图，已知四边形是的内接四边形，延长，相交于点E，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，三角形的外角定理，等角对等边，根据三角形的外角定理，得出，再根据圆内接四边形对角互补，推出，即可得出 ，最后根据等角对等边，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ ∵， ∴， ∴，则， ∴是等腰三角形． 19. 如图，矩形画框由边框和内衬组成，其中画框的边框宽度相等，画框外框长为，宽为，且边框的面积为整个画框面积的，求这个矩形画框的边框宽度是多少厘米？ 【答案】2厘米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这个矩形画框的边框宽度是厘米，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这个矩形画框的边框宽度是厘米． 由题意得， 解得，（不符题意，舍去） 答：这个矩形画框的边框宽度是2厘米． 20. 某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为（），然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为． 由图象，把代入得， 解得， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵，开口向下，对称轴为直线， ∴当随的增大而增大， ∴当时， 答：当每件商品的售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元． 21. 如图1，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，点在延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）如图2，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由等腰三角形得到，，而，则，再根据互余关系结合等量代换得到，则； （2）设，则，中，根据勾股定理得，解得，则，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴是切线． 【小问2详解】 解：如图，连接． 设， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）得，， ∴在中，根据勾股定理， 即， 解得， ∴， ∴在中，根据勾股定理：， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 22. 如图1，在中，，点是线段上一点（不与点重合），，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）求（用含的式子表示）； （2）求证:； （3）如图2，当时，求的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，进而即可得出结论； （2）如图，过点作，交延长线于点，证明．得，再证明，得，进而可得出答案； （3）如图，过点作，且使，连接．过点作，垂足为点，先证，由勾股定理得，然后利用三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 ∵线段顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作，交延长线于点， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵线段顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点作，且使，连接．过点作，垂足为点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵在中，根据勾股定理， ∴， ∵在中，根据勾股定理， ∴， ∵， ∴是中点， 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 23. 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“相关函数”． 例如：函数，当时，则函数是函数的“相关函数”． （1）点在函数的图象上，判断点是否在函数的“相关函数”的图象上，并说明理由； （2）函数的“相关函数”为与的图象交于两点，点在点的左侧，的图象与轴交于点，点在的图象上，其横坐标为． ①当点在第一象限时，过点作，垂足为点，当为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ ②当时，在的图象上，点与点之间部分（含点和点）的最大值与最小值之差为，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； ③在②的条件下，函数图象上的点到直线的距离为时，直接写出自变量的值． 【答案】（1）在，理由见解析 （2）①当时，；②；③或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，二次函数的图象和性质； （1）由新定义得到，然后代入计算即可求解； （2）①由得到，即可求解； ②当时，则抛物线在时取得最大值，在时，取得最小值，则； 当时，抛物线在时取得最小值，在顶点处取得最大值，则；当时，抛物线在时取得最小值，在顶点处取得最大值，即可求解； ③直线的距离为时，即或，即或，即可求解． 【小问1详解】 解：点在函数的“相关函数”的图象上，理由： 点在函数的图象上，则， 由题意得，， 当时，， 即点在函数的“相关函数”的图象上； 【小问2详解】 解：由题意得，，函数的大致图象如下： ∵点在的图象上，其横坐标为， ∴ ①过点作轴交于点，交轴于，则点， 由直线的表达式可得，直线与坐标轴交点坐标，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，有最大值，最大值为：； ②由抛物线的表达式可得，其对称轴为直线，则顶点坐标为：， 当时，，则，其中关于对称轴的对称点坐标为 当时，， 当时，， 当时，此时的增大而增大， ∴抛物线在时取得最大值，在时，取得最小值， 则； 当时，抛物线在时取得最小值，在顶点处取得最大值， 则； 当时，抛物线在时取得最小值，在顶点处取得最大值， 则， 即； ③函数的图象如下： 直线的距离为时，即或， 有函数图象可得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金普新区2024－2025学年度第一学期期中质量检测试卷 九年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是 （ ） A. （ - 1， - 3） B. （ - 1，3） C. （1， - 3） D. （3，1） 3. 下面图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 关于的方程有两个不相等的实数根，则可以是（　　）． A. B. C. D. 6. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年万字增加到九年级的每年万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7. 如图，为直径，弦，垂足为点E，若的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 二次函数的图象关于直线对称，且经过点，则的值为（ ） A 3 B. C. 6 D. 9. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为（ ）． A. 8 B. C. D. 6 10. 如图，在矩形中，，，点从点出发以的速度沿向点运动，同时点从点出发以的速度沿向点运动，设经过的时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一天中钟表时针从上午6时到上午9时旋转度数为______． 12. 若是方程的一个根，则的值为_______． 13. 如图，是的切线，为切点，如果，，则的长为_____． 14. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 15. 如图，抛物线：与轴交于两点，点在第四象限的抛物线上，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点恰好落在轴上时，点的坐标为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）用配方法解方程：； （2）用公式法解方程：． 17. 如图所示，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求作图． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出，并写出，的坐标； （2）直接写出线段与关系：______． 18. 如图，已知四边形是内接四边形，延长，相交于点E，且，求证：是等腰三角形． 19. 如图，矩形画框由边框和内衬组成，其中画框的边框宽度相等，画框外框长为，宽为，且边框的面积为整个画框面积的，求这个矩形画框的边框宽度是多少厘米？ 20. 某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图1，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，点在延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）如图2，连接，若，求的长． 22. 如图1，在中，，点是线段上一点（不与点重合），，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）求（用含的式子表示）； （2）求证:； （3）如图2，当时，求的面积． 23. 已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“相关函数”． 例如：函数，当时，则函数是函数的“相关函数”． （1）点在函数的图象上，判断点是否在函数的“相关函数”的图象上，并说明理由； （2）函数的“相关函数”为与的图象交于两点，点在点的左侧，的图象与轴交于点，点在的图象上，其横坐标为． ①当点在第一象限时，过点作，垂足为点，当为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ ②当时，在的图象上，点与点之间部分（含点和点）的最大值与最小值之差为，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； ③在②的条件下，函数图象上的点到直线的距离为时，直接写出自变量的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $