精品解析：山西省朔州市右玉县右玉教育集团初中部期中考试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

山西省2024─2025学年度九年级上学期期中阶段评估 数学 上册21.1～24.1 说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 当时，的函数值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 将抛物线向上平移1个单位长度，所得到的新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 太谷饼是山西特产美食，某地方美食专卖店购进了一批袋装太谷饼．据市场人员统计，第一周的销售量为袋，第三周的销售量为袋．若设每周销售量的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，直径与弦相交于点E，连接，，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（ ） x … a … y … 2024 2024 … A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程无实数根，则根的判别式______0．（填“”“”或“”） 12. 如图，四边形内接于，若，则______． 13. 发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为______． 14. 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为______． 15. 如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤） 16. 解方程． （1）． （2）． 17. 图1和图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了阴影，请你在图1中再将1个小菱形涂上色，在图2中再将3个小菱形涂上色，使两个图形中的涂色部分均为中心对称图形．（两个图形中各补出一种情况即可） 18. 汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．“刹车距离”与刹车时速度有以下关系式：（a，b为常数，且）．某车辆测试结果如下． 速度 10 15 刹车距离 3 7.5 （1）求y与x之间的函数解析式． （2）某次刹车时的速度为，与前方静止障碍物的距离为，问此次刹车后是否会发生撞，请通过计算说明理由． 19. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 20. 实践教学 向阳中学在劳动课上自制月饼销售． 数据采集 一盒月饼的成本共40元，第一天按每盒60元销售，销售了100盒；第二天共制作月饼150盒．若第二天按第一天的价格出售，预计同样可售出第一天的数量，若每盒每降价1元，则可多售出10盒． 数据应用 若计划第二天降价销售，且利润为2240元，每盒月饼应降价多少元？ 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 仰视、俯视读数是否有误差的数学解释 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，量筒的液面近似地看成（C为的中点），读数时，视线要与相切于点C，仰视和俯视读数是否会有影响呢？ 通过实验探究，如图，当俯视点C时，记录量筒上点D的高度为，点D在所在的上；当仰视点C时，记录量筒上点E的高度为，C为的中点．设平视读数时量筒上的记录点为点F，，量筒的直径为． 求仰视与平视的误差，俯视与平视的误差如下： 如图，连接，，． ∵C为的中点，∴． ∵，∴是的中位线， ∴． ∵，∴是的___▲___， ∴，∴， ∴． ∵，∴． ∵C为的中点，…… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______； （2）补全研究报告中“……”部分的内容； （3）由研究报告，可知仰视读数和俯视读数______产生误差．（填“会”或“不会”） 22. 综合与实践 问题情境 如图1，矩形矩形，且点G在边的延长线上，连接，，，，． 推理证明 （1）求证：为等腰直角三角形． 深入探究 （2）将图1中的矩形绕点A顺时针旋转一个角度． ①如图2，当边与边交于点P时，若，猜想与的数量关系，并说明理由． ②在①的条件下，求旋转角度的值． （3）如图3，当点E落在边上时，请直接写出的值． 23. 综合与探究 如图，抛物线与坐标轴交于，，三点，其中点和点的坐标分别为和． （1）求抛物线的解析式． （2）求线段的长． （3）如图2，P为抛物线第三象限上的一个动点，过点P作轴，交y轴于点H，连接，，与y轴交于点D．设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围），并直接写出当时，S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024─2025学年度九年级上学期期中阶段评估 数学 上册21.1～24.1 说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转 ，判断是否能与自身重合，从而确定答案． 【详解】解：选项 A：绕某点旋转 后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项 B：绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项 C：绕某点旋转 后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项 D：绕其中心旋转后，能与自身重合，是中心对称图形． 故选D． 2. 当时，的函数值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，的函数值为， 故选：B． 3. 将抛物线向上平移1个单位长度，所得到的新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．直接运用平移规律解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，所得到的新抛物线的解析式为，即， 故选：C． 4. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，即可判断的符号，即可求解． 【详解】解：∵根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴，则， 故选：C． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程：方程移项，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 解得： 故选：D． 6. 图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键． 根据即可得出答案． 【详解】解：D为的中点， ， ， ， ， 故答案为：C． 7. 太谷饼是山西特产美食，某地方美食专卖店购进了一批袋装太谷饼．据市场人员统计，第一周的销售量为袋，第三周的销售量为袋．若设每周销售量的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的增长率问题的应用. 根据题意第一周的销售量为袋，第三周的销售量为袋．若设每周销售量的平均增长率为x，则第二周的销售量为：袋，第三周的销售量为： 袋，然后根据第三周的销售量列方程即可. 【详解】解：设每周销售量的平均增长率为x， 则第二周的销售量为：； 第三周的销售量为： ； 那么可得方程： ． 故选：A 8. 如图，在中，直径与弦相交于点E，连接，，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．先根据对顶角得出，再由三角形内角和定理结合可知，再根据圆周角定理，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 9. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和等知识，掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是关键；由旋转知，等于旋转角，，由等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：由旋转知，等于旋转角，， ∴， ∴， 即旋转角为 故选：C． 10. 已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（ ） x … a … y … 2024 2024 … A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，表格可知，当，，当，，代入解析式可得，，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当，，当，， ∴，， ∴，， ∴是方程的两根， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程无实数根，则根的判别式______0．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 由方程无实数根即，从而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ， 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于，若，则______． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据圆的内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数的解析式为，代入计算可得解析式，再把时，代入解析式计算即可． 【详解】解：根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 二次函数图象经过， ， 故答案为：． 14. 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定．如图，连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为；即可求解． 【详解】解：如图，连接、． 是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， 的直径为 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】在上截取，连接，过点作于点，证明，得出，结合垂线段最短可知当点与点重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过点作于点，如图， ，， ， 由旋转可知，， ，即， 在和中， ， ， ， 当最短时，最小， 垂线段最短， 当点与点重合时，最短，即为的长， ，，， ， ， ， ， 线段的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤） 16. 解方程． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程用直接开平方法求解即可； （2）方程用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： ． 解得：． 17. 图1和图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了阴影，请你在图1中再将1个小菱形涂上色，在图2中再将3个小菱形涂上色，使两个图形中的涂色部分均为中心对称图形．（两个图形中各补出一种情况即可） 【答案】 如图所示． 如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】略 18. 汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．“刹车距离”与刹车时速度有以下关系式：（a，b为常数，且）．某车辆测试结果如下． 速度 10 15 刹车距离 3 7.5 （1）求y与x之间的函数解析式． （2）某次刹车时的速度为，与前方静止障碍物的距离为，问此次刹车后是否会发生撞，请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）此次刹车后不会发生撞， 理由如下： 由（1）得， 当时，由 ∴此次刹车后不会发生撞． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解a、b值即可； （2）先根据函数关系式求得刹车距离，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得，， y与x之间的函数解析式为：； 【小问2详解】 略 19. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 20. 实践教学 向阳中学在劳动课上自制月饼销售． 数据采集 一盒月饼的成本共40元，第一天按每盒60元销售，销售了100盒；第二天共制作月饼150盒．若第二天按第一天的价格出售，预计同样可售出第一天的数量，若每盒每降价1元，则可多售出10盒． 数据应用 若计划第二天降价销售，且利润为2240元，每盒月饼应降价多少元？ 【答案】每盒月饼应降价4元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程方程的应用，设每盒月饼降价元，根据每盒月饼的利润乘以销售量等于总利润列出方程求解即可． 【详解】解：设每盒月饼降价元． ，则， 根据题意，得， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：每盒月饼应降价4元． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 仰视、俯视读数是否有误差的数学解释 实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，量筒的液面近似地看成（C为的中点），读数时，视线要与相切于点C，仰视和俯视读数是否会有影响呢？ 通过实验探究，如图，当俯视点C时，记录量筒上点D的高度为，点D在所在的上；当仰视点C时，记录量筒上点E的高度为，C为的中点．设平视读数时量筒上的记录点为点F，，量筒的直径为． 求仰视与平视的误差，俯视与平视的误差如下： 如图，连接，，． ∵C为的中点，∴． ∵，∴是的中位线， ∴． ∵，∴是的___▲___， ∴，∴， ∴． ∵，∴． ∵C为的中点，…… 任务： （1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______； （2）补全研究报告中“……”部分的内容； （3）由研究报告，可知仰视读数和俯视读数______产生误差．（填“会”或“不会”） 【答案】（1）直径 （2） 如图，连接，，． ∵C为的中点， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵C为的中点，， ∴， ∴ ∴， （3）会 【解析】 【分析】（1）根据直角所对的弦是直径即可求解； （2）进而得出，即可得出，进而即可求解； （3）根据（2）的结论，即可求解． 【小问1详解】 ∵，∴是的直径 故答案为：直径． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵ ∴由研究报告，可知仰视读数和俯视读数会产生误差． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线的性质，直角所对的弦是直径，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 综合与实践 问题情境 如图1，矩形矩形，且点G在边的延长线上，连接，，，，． 推理证明 （1）求证：为等腰直角三角形． 深入探究 （2）将图1中的矩形绕点A顺时针旋转一个角度． ①如图2，当边与边交于点P时，若，猜想与的数量关系，并说明理由． ②在①的条件下，求旋转角度的值． （3）如图3，当点E落在边上时，请直接写出的值． 【答案】 （1）证明：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）①； 理由： ∵，， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的性质和判定，（3）问的关键是构造，得到，由求解． （1）证明即可得，，由此即可证明结论； （2）①证明，由等边对等角即可得出结论； ②作，易证明，由此得出，进而求出求旋转角度； （3）延长、交于点，易求，，再证明，可得，，进而可得． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵矩形中，， 由①得， ∴， ∴， 又， ∴，， 即旋转角度 （3）延长、交于点， ∵矩形矩形， ∴，， ， ∴，， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 23. 综合与探究 如图，抛物线与坐标轴交于，，三点，其中点和点的坐标分别为和． （1）求抛物线的解析式． （2）求线段的长． （3）如图2，P为抛物线第三象限上的一个动点，过点P作轴，交y轴于点H，连接，，与y轴交于点D．设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围），并直接写出当时，S的值． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，求得点的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，则，四边形是矩形，根据，表示出，进而求得的长，根据三角形的面积公式，列出函数关系式，进而根据得出纵坐标为，即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入得， 解得： ∴； 【小问2详解】 当时， 解得： ∴ ∴ 【小问3详解】 解：∵P为抛物线第三象限上的一个动点，设点P的横坐标为t， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则，四边形是矩形， ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴， 即 ∵四边形是矩形，，当时，则 ∴ 解得：或（舍去） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $