第四章 幂函数、指数函数与对数函数重难点检测卷 -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第四章 幂函数、指数函数与对数函数重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 2．（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 3．（24-25高一上·上海·期中）已知是幂函数，其图象经过第一、三象限，则 . 4．（24-25高一上·上海·期中）指数函数在R上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”请你写出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关系式是 . 6．（24-25高一上·上海松江·期中）若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒过一定点，则这个点的坐标为 8．（24-25高一上·上海·期中）已知函数(常数)在区间上是严格减函数，且在上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数的所有取值为 . 9．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数，，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 11．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，且，下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．某条鱼把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数耗氧量增大为原来的 倍． 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·期中）设，“”是“”的一个（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要 14．（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海·期中）定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则；      ②若，，则； ③若，，则；   ④若，，则； 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（24-25高一·上海·课堂例题）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）(参考数据：) A．2026年； B．2027 年； C．2028年； D．2029 年． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示； （2）已知，求的值. 19．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，其中常数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，试比较与的大小. 20．（24-25高一上·上海宝山·期中）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：（分贝）]定义为，其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.当声强级为时，声场中某点的声强度为. (1)求； (2)如果，求相应的声强级； (3)声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？ 21．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 幂函数、指数函数与对数函数重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 【答案】 【分析】由幂函数单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 故，可得：，解得：. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期中）已知是幂函数，其图象经过第一、三象限，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】因为是幂函数， 所以,即，所以或， 当时，易知该幂函数的图象经过第一、三象限，满足题意； 当时，易知该幂函数的图象经过第一、二象限，不满足题意. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）指数函数在R上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，且，时函数为增函数，由此得不等式，解不等式即可. 【详解】因为在R上是严格增函数，根据指数函数的性质， 有，解得. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”请你写出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关系式是 . 【答案】，，且 【分析】根据指数函数定义即可求解. 【详解】题干的意思是第二天取的长度是上一天的一半，所以符合指数函数模型，底数为， 剩余量y关于x的函数关系式是,且, 故答案为：,且. 6．（24-25高一上·上海松江·期中）若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数符号中，真数大于0，即可得到结果． 【详解】若代数式有意义，则需满足， 即，∴或， 则x的取值范围是． 故答案为：． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒过一定点，则这个点的坐标为 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点求解即可. 【详解】当时，解得，代入函数解析式， 有，因为且，解得， 所以函数的图像恒过定点. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·期中）已知函数(常数)在区间上是严格减函数，且在上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数的所有取值为 . 【答案】 【分析】先分离常数，然后再利用复合函数的单调性判断方式以及该函数的函数值为正求出的取值即可. 【详解】由题可知 因为函数(常数)在区间上是严格减函数， 所以 因为在上存在自变量使得函数值为正 所以，解得. 又因为， 所以或. 故答案为： 9．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】先由题意结合求出点A，进而由点A在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数，，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】把方程有两个不等的根转化为函数与图象有两个交点，根据函数的单调性数形结合列不等式组求解即可. 【详解】因为函数，所以， 当方程有两个不等实根即函数与图象有两个交点， 当时，函数单调递增，且， 此时函数与图象至多有一个交点； 当时，函数单调递增，且， 此时函数与图象至多有一个交点； 所以要使函数与图象有两个交点，则直线与两段函数各有一个交点，    所以，解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，且，下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得，且，从而得到，再对各选项一一分析即可. 【详解】因为， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，且，所以，且，则，故，故①错误； 对于②，，而， 又函数在上单调递增，且当时，所以，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确． 故答案为：③④ 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．某条鱼把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数耗氧量增大为原来的 倍． 【答案】9 【分析】设原来游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组即可. 【详解】所以， 联立解得. 故答案为：. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海·期中）设，“”是“”的一个（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可得结论. 【详解】当时，在上单调递增，又，所以，即， 所以“”是“”的一个充分条件， 当时，均满足， 所以“”是“”的一个不必要条件， 所以，“”是“”的一个充分非必要条件. 故选：A. 14．（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象判断即可. 【详解】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 15．（24-25高一上·上海·期中）定义“正对数”： ，现有四个命题： ①若，，则；      ②若，，则； ③若，，则；   ④若，，则； 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由“正对数”的定义分别对、分，；，两种情况进行推理判断①；通过举反例说明判断②③④. 【详解】对于命题①，当时，，，，则； 当时，，，，则， 因此，，命题①正确； 对于命题②，取，，， 此时，②错误； 对于命题③，取，， ， 此时，③错误； 对于命题④，取，， 而，此时，④错误， 所以真命题的个数为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决命题①的关键是按给定定义分类讨论，并利用对数函数的性质推理判断. 16．（24-25高一·上海·课堂例题）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（    ）(参考数据：) A．2026年； B．2027 年； C．2028年； D．2029 年． 【答案】B 【分析】首先根据指数函数建立拟合的函数模型，再求解不等式. 【详解】设研发资金开始超过200万元的年份是，则第年投入的研发资金为， 则，即， 所以， 所以. 所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年. 故选：B 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （2）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； （3）应用对数函数图像将轴下方的图像翻折到轴上方； （4）应用对数函数图像结合关于轴得出对称的图像； 【详解】（1）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（1）． （2）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（2）． （3）作出，将轴下方的图像翻折到轴上方，可得的图像，如图（3）． （4）作出的图像，再作出关于轴对称的图像，即得到另外一半图像，可得的图像，如图（4）． 18．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由对数的运算性质结合换底公式计算即可； （2）由对数和指数的互化再结合对数的运算性质计算即可； 【详解】（1）； （2），， . 19．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，其中常数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，试比较与的大小. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用对数函数的性质及对数运算计算即可； （2）分类讨论a的范围，结合对数函数的单调性及作差法比较大小即可. 【详解】（1）时，，易知， 所以， 则不等式等价于， 即，解之得或， 结合定义域知不等式解集为； （2）易知当时，， 若，则，所以， 则，即； 若，则， 所以， 则，即； 综上所述：. 20．（24-25高一上·上海宝山·期中）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：（分贝）]定义为，其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.当声强级为时，声场中某点的声强度为. (1)求； (2)如果，求相应的声强级； (3)声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3)1000 【分析】（1）代入，求即可； （2）根据（1）确定函数关系，令代入求解可得相应的声强级； （3）根据已知可得、，作商即得倍数关系. 【详解】（1）由题意，当声强级为时，声场中某点的声强度为， 即函数，当时，， 代入函数解析式得，解得. 故基准值为. （2）由（1）知，，令， 则dB. 因此，若，则相应的声强级为. （3）由，则，同理， 所以. 故声强级为时的声强度是声强级为50dB时的声强度的倍. 21．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图. 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可得：，则的定义域为， 可得 1 2 3 2 3 1 则的图象为： 学科网（北京）股份有限公司 $$