2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第14讲 二次函数的实际应用

第14讲 二次函数的实际应用 考点1 抛物线型问题 1 考点2 利润费用最值问题 5 考点3 几何图形（面积）问题 7 考点4 喷水问题 9 考点5 拱桥问题 10 考点6 几何图形动点问题 13 一．二次函数求解实际问题中的最值问题 设二次函数，自变量在没有限制条件时： 当时，；无最大值； 当时，；无最小值． 当自变量有限制时，要分类讨论，利用二次函数的增减性判断相应范围上的最值问题． 二．二次函数的实际应用 1．二次函数与面积问题； 2．二次函数与经济问题； 3．二次函数与拱桥问题； 4．二次函数与其它问题． 考点1 抛物线型问题 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论正确的是（　　） A．足球飞行路线的对称轴是直线 B．足球距离地面的最大高度为 C．足球被踢出时落地 D．足球被踢出时，距离地面的高度是 2．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 4．（2024年甘肃省白银市中考数学试题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 5．（2024·福建泉州·模拟预测）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． (1)求抛物线的解析式． (2)求飞机飞行的最大高度及最远距离． (3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．如图，在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，），直接写出发射台的高度的取值范围． 6．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 8．（2024·贵州贵阳·一模）如图是身高为的小明在距篮筐处跳起投篮的路线示意图，篮球运行轨迹可近似看作抛物线的一部分，球在小明头顶上方的A处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，最终投入篮筐所在的B内．以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运行轨迹所在抛物线的表达式； (2)当小明按照如图方式投篮出手时，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到，则小刚与小明的距离在什么范围内才能在空中截住篮球？ (3)当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同．若他想投中篮筐，则应该向前走多远？ (投篮时，球从下方穿过篮筐无效) 考点2 利润费用最值问题 9．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 10．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 11．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 12．（2024年四川省遂宁市中考数学试题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 13．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 14．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 考点3 几何图形（面积）问题 15．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 16．（2024·湖北黄冈·模拟预测）某小型花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．，，三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元． (1)设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______． (2)育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？ (3)若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值． 17．（2024·湖北武汉·模拟预测）一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度．以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)直接写出图2中抛物线的解析式______； (2)倒去部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段处，试求此时液面的宽度； (3)将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时液面宽______cm；碗内面汤的最大深度是______cm． 18．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    19．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 20．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 考点4 喷水问题 21．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底的高度为（单位：米），距喷水装置的水平距离为（单位：米）．如图所示，以喷水装置所在直线为轴，以池底水平线为轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口最低时水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 /米 (1)根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围； (2)为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口升高的最小值； (3)喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？ 22．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 23．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 考点5 拱桥问题 24．（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 25．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高． 同学们讨论出两种设计方案： 方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接． 方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求方案一中圆的半径； (2)求方案二中抛物线的函数表达式； (3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形） 26．（2024·贵州黔南·模拟预测）贵州都匀是一座以河为伴、山水交融的“山水桥城”，大大小小的桥梁随处可见，被誉为“桥梁博物馆”．都匀市某石拱桥如图1，拱桥截面可视为抛物线的一部分，若拱顶到水面的距离为，水面宽度为，以水面与桥截面左侧的交点为原点，水面为横轴建立平面直角坐标系（如图2）． (1)求桥拱所在抛物线的函数解析式． (2)若水位下降，有一只宽为，高为的清洁船能否顺利通过该石拱桥？请说明理由． (3)某相关部门要对石拱桥进行维护，为了安全，现将一块三角形形状的安全围布通过平移后遮住桥体（如图3）．已知，，且，．若安全围布向桥拱所在抛物线方向平移个单位长度后，桥体全部在安全围布内部（不包括边界），求的取值范围． 考点6 几何图形动点问题 27．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 29．（2024·安徽合肥·三模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   30．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，线段，点P是线段上一个动点（不包括A、B），在A，B同侧作，，，，M、N分别是、的中点，连接，设，，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 31．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形各边中点分别是、、、，，，为上一动点，过点作直线，若点从点开始沿着方向移动到点即停（直线随点移动），直线扫过矩形内部和四边形外部的面积之和记为设，则S关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 33．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 34．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 35．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，动点P从点B开始沿边以的速度运动，动点Q从点A开始沿边以的速度运动，过点Q作，交于点M，交于点N，点E，F分别是，与的交点．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)设的面积为，求出S与t的关系式； (3)是否存在某一时刻t，使平分?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 36．（2022·江苏苏州·二模）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 二次函数的实际应用 考点1 抛物线型问题 1 考点2 利润费用最值问题 10 考点3 几何图形（面积）问题 20 考点4 喷水问题 29 考点5 拱桥问题 35 考点6 几何图形动点问题 41 一．二次函数求解实际问题中的最值问题 设二次函数，自变量在没有限制条件时： 当时，；无最大值； 当时，；无最小值． 当自变量有限制时，要分类讨论，利用二次函数的增减性判断相应范围上的最值问题． 二．二次函数的实际应用 1．二次函数与面积问题； 2．二次函数与经济问题； 3．二次函数与拱桥问题； 4．二次函数与其它问题． 考点1 抛物线型问题 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 … 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论正确的是（　　） A．足球飞行路线的对称轴是直线 B．足球距离地面的最大高度为 C．足球被踢出时落地 D．足球被踢出时，距离地面的高度是 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，根据表格中的数据和题意可以求得相应的函数解析式，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 代入表中前三对值得， 解得， ∴， ∴足球飞行路线的对称轴是直线，故选项A的结论正确，符合题意； 当时，取得最大值，此时， ∴足球距离地面的最大高度为，故选项B的结论错误，不符合题意； 当时，得或， ∴足球被踢出时落地，故结论C的结论错误，不符合题意； 当时，， ∴足球被踢出时，距离地面的高度是，故选项D的结论错误，不符合题意； 故选：A． 2．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 4．（2024年甘肃省白银市中考数学试题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 5．（2024·福建泉州·模拟预测）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． (1)求抛物线的解析式． (2)求飞机飞行的最大高度及最远距离． (3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．如图，在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，），直接写出发射台的高度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，能用待定系数法求出二次函数表达式及将一般式化成顶点式是解决本题的关键． （1）设抛物线表达式为：，将，代入求解即可； （2）将（1）中抛物线配成顶点式即可求出最大高度，再求出函数值为0时自变量的值即可得到最远飞行距离； （3）设平移后的抛物线为：，将，代入求出对应的k即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入中得，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴飞机飞行的最大高度为． 当时，，解得，（舍去）， ∴飞机飞行的最远距离为． （3）解：∵，， ∴，． 设平移后的抛物线的解析式为， 将代入得，解得， 将代入，得，解得， ∴，即． 6．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】(1)①3，6；②； (2)①8，② 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， （2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 (1)根据上表，请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度． 【答案】(1)抛物线的表达式 (2)水火箭距离地面的竖直高度米 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可； 由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得， 则抛物线的表达式， （2）解：由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 8．（2024·贵州贵阳·一模）如图是身高为的小明在距篮筐处跳起投篮的路线示意图，篮球运行轨迹可近似看作抛物线的一部分，球在小明头顶上方的A处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，最终投入篮筐所在的B内．以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求篮球运行轨迹所在抛物线的表达式； (2)当小明按照如图方式投篮出手时，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到，则小刚与小明的距离在什么范围内才能在空中截住篮球？ (3)当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同．若他想投中篮筐，则应该向前走多远？ (投篮时，球从下方穿过篮筐无效) 【答案】(1) (2)小明投篮出手时，小刚与小明的距离在以内才能在空中截住篮球 (3)若小明想投中篮筐，则应该向前走 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设抛物线的函数表达式为，可得抛物线为，代入，求出后即可得解； （2）令，求得，，据此求解即可； （3）依据题意，设球出手时，小明跳离地面的高度为，则球出手时，球的高度为，代入抛物线，从而可得，故球出手时，小明跳离地面的高度是，再结合当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同，可得小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线为，再令时，，求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的函数表达式为， ， 抛物线为， 由于抛物线过， ． ． 抛物线的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 此时小明与篮筐的距离为， ， 小明投篮出手时，小刚与小明的距离在以内才能在空中截住篮球； （3）解：设球出手时，小明跳离地面的高度为，则球出手时，球的高度为． 抛物线 过点A， ． ． 球出手时，小明跳离地面的高度是． 当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同， 小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线为． ， 当时，， 解得，， 小明与篮筐的距离为或时，可以投中篮筐， 他应该向前走或（不符合题意，舍去）， 若小明想投中篮筐，则应该向前走． 考点2 利润费用最值问题 9．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 【答案】(1)A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元 (2)W的最大值为10562.5元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组与二次函数关系式是解题的关键． （1）设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，根据每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等，列出方程组，求解即可； （2）根据利润=每份利润×销售量，列出w关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，                         依题意得： ， 解得， 答：A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元． （2）解：依题意：获得的利润 ， 由于A类速食餐每份的利用率不低于，那么 ， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为10562.5， 答：W的最大值为10562.5元． 10．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 【答案】(1) (2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大 (3)2 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键． （1）先判断与x成一次函数关系，设与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解； （3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少， ∴与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值． ∴这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大； （3）解：设日获利为元，由题意得： ， 对称轴为， 当时，，则当时，有最大值，将代入，得： ， 当时， ， 解得（舍去）； 当，，则当时，有最大值，将代入，得： 当时， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为． 11．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 12．（2024年四川省遂宁市中考数学试题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】(1)种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； (2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解； （）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 13．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】(1) (2)销售产品所获利润是万元； (3)当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 【详解】（1）解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； （3）解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 14．（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】(1)， (2) (3)在试销售的天中，共有天销售额超过元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． （2）解：依题意， 当时， 当时， ∴ （3）解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 考点3 几何图形（面积）问题 15．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． (1) 设，则，依题意列方程计算即可． (2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【详解】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为147． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 16．（2024·湖北黄冈·模拟预测）某小型花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．，，三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元． (1)设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______． (2)育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？ (3)若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值． 【答案】(1)；； (2) (3)38400元 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，正方形和长方形的面积，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式． （1）根据矩形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据，C两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先根据花卉与的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设，，三种花卉的总产值之和元，得到关于的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵育苗区的边长为，活动区的边长为， ∴花卉的面积为：， 花卉的面积为：， 花卉的面积为：， 故答案为：；； （2）由（1）知：花卉A的面积为：， 花卉的面积为：， 由图可知：， ∵，C花卉每平方米的产值分别是100元、300元， ∴，C两种花卉的总产值分别为百元和百元， ∵，C两种花卉的总产值相等， ∴ 解得：(舍去)，， ∴当育苗区的边长为时，，C两种花卉的总产值相等； （3）根据题意得：， 解得：， ∴ 设，，三种花卉的总产值之和百元， ∴， 整理，得：， ∵，对称轴是直线， ∴当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，最大，且(百元)， ∴，，三种花卉的总产值之和的最大值是元． 17．（2024·湖北武汉·模拟预测）一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度．以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)直接写出图2中抛物线的解析式______； (2)倒去部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段处，试求此时液面的宽度； (3)将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时液面宽______cm；碗内面汤的最大深度是______cm． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先确定，，，的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，可得旋转前与水平方向的夹角为，即，求出点的坐标，利用待定系数法求出的解析式，并与抛物线解析式联立，求出点的坐标，进而求出的长；把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度，联立和抛物线得到一元二次方程，根据有位于交点，利用根的判别式等于0，求出的值，确定的解析式，进而求出点的坐标，的长，利用三角函数求出即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意知：，，，，，， 抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 把点，代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）解：液面下降了cm， 此时液面距碗底距离为，即， 当时，， 解得（舍去），， 液面的宽度为cm； （3）解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，如图： 将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤， 当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，即， 设直线的解析式为，与轴交于点，如图： 由题意知：点，， ，， ， 即点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 由，解得或， ，， ． 把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度， 联立， 整理为：， 只要一个交点， ， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 点， ， 与水平面的夹角为， 直线与水平面的夹角为，即， 在中， ， 即碗内面汤的最大深度为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数，一次函数以及解直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 18．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【答案】450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 19．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 20．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 考点4 喷水问题 21．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底的高度为（单位：米），距喷水装置的水平距离为（单位：米）．如图所示，以喷水装置所在直线为轴，以池底水平线为轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口最低时水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 /米 (1)根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围； (2)为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口升高的最小值； (3)喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？ 【答案】(1)； (2)米 (3)至少要为米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，灵活运用二次函数的性质解题是关键． （1）依据题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴，得顶点为，可得最大高度；由题意可设抛物线的关系式为，结合过，即可求解； （2）依据题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上，可得此时解析式为，又过点，求出后得出解析式，然后令即可； （3）依据题意，设喷泉口升高的最大值为米时，解析式为，又过点，从而可得解析式，再令，求出，然后与喷水池半径比较即可得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴是直线， 顶点为， 水流喷出的最大高度为2米， 故答案为：2； 由题意可设抛物线的关系式为：， 又抛物线过， ， ， 函数关系式为； （2）解：由题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上， 此时解析式为， 由题意此时抛物线过点， ， ， 此时解析式为， 令， ， 喷水口升高的最小值为（米； （3）解：由题意，喷泉口升高的最大值为米时，此时， 设抛物线解析式为， 又过点， ， ， 解析式为， 令， ， 或（不合题意，舍去）， 花卉的种植宽度至少为：（米． 花卉的种植宽度至少要为米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外． 22．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 23．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 考点5 拱桥问题 24．（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【答案】(1) (2)该船能安全通过 (3)此时该货船能安全过桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． （3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点 设抛物线的解析式为， 将分别代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由题易知，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． （3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为 把代入， 得． ∵， ∴此时该货船能安全过桥 25．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高． 同学们讨论出两种设计方案： 方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接． 方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求方案一中圆的半径； (2)求方案二中抛物线的函数表达式； (3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形） 【答案】(1) (2) (3)方案一中的种植宽度要大些 【分析】本题考查二次函数与圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式，求得抛物线的函数表达式是解答的关系． （1）根据垂径定理和勾股定理求解即可； （2）利用待定系数法求解抛物线的函数表达式即可； （3）根据题意，分别求得两个方案中的长，然后比较大小可得结论． 【详解】（1）解：如图1，设圆的半径为， ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，解得， 即圆的半径为； （2）解：根据题意，，，， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入中，得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （3）解：如图1，连接， 由题意，，，，， 在中，，， 由勾股定理得， ∴； 如图4，由题意，点H和点G的纵坐标均为1， 将代入得，解得， ∴， ∵， ∴方案一中的种植宽度要大些． 26．（2024·贵州黔南·模拟预测）贵州都匀是一座以河为伴、山水交融的“山水桥城”，大大小小的桥梁随处可见，被誉为“桥梁博物馆”．都匀市某石拱桥如图1，拱桥截面可视为抛物线的一部分，若拱顶到水面的距离为，水面宽度为，以水面与桥截面左侧的交点为原点，水面为横轴建立平面直角坐标系（如图2）． (1)求桥拱所在抛物线的函数解析式． (2)若水位下降，有一只宽为，高为的清洁船能否顺利通过该石拱桥？请说明理由． (3)某相关部门要对石拱桥进行维护，为了安全，现将一块三角形形状的安全围布通过平移后遮住桥体（如图3）．已知，，且，．若安全围布向桥拱所在抛物线方向平移个单位长度后，桥体全部在安全围布内部（不包括边界），求的取值范围． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当船从桥的正中间经过时，即，，当水面下降1米时，水面距离桥的距离为（米）米，即可求解； （3）当向左平移个单位和抛物线相切时，则平移后的的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式为：，则，求出；同理可得：的表达式为：，当向左平移个单位和抛物线相切时，则平移后的的表达式为：，同理可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将代入上式得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：可以，理由： 当船从桥的正中间经过时，即，， 当水面下降1米时，水面距离桥的距离为（米）米， 故清洁船能顺利通过该石拱桥； （3）解：过点作于点， 在中，，． 故设，则， 则，则， 即，则， 如图3，则点、的坐标分别为：、， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当向左平移个单位和抛物线相切时， 则平移后的的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式为：， 则， 解得：； 由点、的坐标得， 设的表达式为 把、， 的表达式为：， 当向左平移个单位和抛物线相切时， 则平移后的的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式为：， 则， 解得：； 故． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的实际应用，平移性质，涉及到解直角三角形、二次函数的应用，分类求解是解题的关键． 考点6 几何图形动点问题 27．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需要分类讨论：①当，即点在线段上时，过作于点，由勾股定理即可求得与的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当，，与的函数关系式是，根据该函数关系式可以确定该函数的图象；③当时，则，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了二次函数与动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点的位置进行分类讨论，以防错选． 【详解】解：如图，过作于点， 则，， ①当点在上时，，，， ， 该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线； 由此可排除A，B，C． ②当时，即点在线段上时，； 则， 该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为； ③当时，即点在线段上，此时，， 则， 该函数的图象是在上的抛物线，且对称轴为直线； 故选：D． 28．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键．易得点P运动的路程为，点Q运动的路程为．当时，点P在线段上，点Q在线段上，过点Q作于点E，求得的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式；当点P在线段上时，，边上的高是和之间的距离为，根据面积公式可得y与x之间的关系式；当点Q在线段上时，，作出边上的高，利用三角形的面积公式可得y与x的关系式．然后根据各个函数解析式可得正确选项． 【详解】解：∵点P的速度是，点Q的速度为，运动时间为x（s）， ∴点P运动的路程为，点Q运动的路程为． ①当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点Q作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B； ②当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点C作于点F，则为中边上的高． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A； ③当时，点P在线段上，点Q在线段上． 过点P作于点M． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∴． 由题意得：． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象． 故选：D． 29．（2024·安徽合肥·三模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图，   ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断B正确， 故选：B． 30．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，线段，点P是线段上一个动点（不包括A、B），在A，B同侧作，，，，M、N分别是、的中点，连接，设，，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，则、分别为，的中线，得到，则，，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接、，则、分别为，的中线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵在，中，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 同理 ∴ 函数的对称轴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点的函数图象，勾股定理，含角直角三角形的性质，直角三角形的中线定理、二次函数基本知识等，本题的关键是中线定理的运用． 31．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形各边中点分别是、、、，，，为上一动点，过点作直线，若点从点开始沿着方向移动到点即停（直线随点移动），直线扫过矩形内部和四边形外部的面积之和记为设，则S关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算．把M点的运动过程分为段（）和段（）两个过程，然后根据题意可知在段，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；同理当在BE段时，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；最后根据x与S的函数关系式对图象进行判断即可 【详解】解：如下图所示，当M点的运动过程在段 则由题意可知 ∵四边形是矩形，直线，H、E、F、G为的中点 ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵直线 ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 如下图所示，当M点的运动过程在段 同理当在段时 即 同理可以得到 ∴ ∴ ∴ 综上所述当M点的运动过程在段时，二次函数开口向下；当M点的运动过程在段时，二次函数开口向上； 故选：D． 32．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：当时，如图， ∵三个动点同速， ∴三个动点路程相同， ∴， ∵ ∴， ∴ 当时，如图， 此时 ∴， ∴， ∴ ∴结合两个函数判断B符合题意， 故选：B 33．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式，结合函数图象得出当秒时，，此时的面积为，进而求出为即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断，当点在上时，如图，于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断；过点作于点，画出图形可得出，，，则，求出即可面积可判断；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由题意可得出：当时间为秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， 当时间为秒时，，此时的面积为， ∴为， ∴点的运动速度为：，故正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， 由，则， ∴， ∴，故错误； 当点在上时，如图，于点， ∴，故正确； 如图，，，过点作于点， 由得， 则， ∴， 即曲线段的函数解析式为：，故正确； ∵， ∴， 当 时，，时，或（舍去）， 当 时，，解得或 （舍去）， ∴或，的面积是四边形的面积的，故错误， 综上可知， 故选：． 34．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 【答案】(1)①4，；②（） (2)①点D在上运动，的面积为0；② 【分析】本题考查了考查了二次函数的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式； （1）①由点M坐标可得此时点D在点B处，即可求解；②由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）①由图象可直接求解；②先求出点D在上时的解析式，可得点D在上和点D在上的图象开口相反，大小相同，由面积的和差关系可求解． 灵活运用二次函数和这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点M的坐标为， ， ， 当点D在点A时， ， ∴点， 故答案为：4，； ②如图1，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，（）； （2）解：①由图象可得：表示的实际意义是点D在上运动，的面积为0， 故答案为：点D在上运动，的面积为0； ②当点D在上时， ， 同理可求：， ， ， （）， ∴点P坐标为，点， ∴S与t的函数图象和线段围成的图形的面积：． 35．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，动点P从点B开始沿边以的速度运动，动点Q从点A开始沿边以的速度运动，过点Q作，交于点M，交于点N，点E，F分别是，与的交点．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)设的面积为，求出S与t的关系式； (3)是否存在某一时刻t，使平分?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，可得，，代值计算即可求解； （2）根据的面积，即可获得答案； （3）过点作于点，根据矩形的性质可得，再证明当平分时，，可得，进而确定，易得，由相似三角形的性质可得，求出，然后由平行线分线段成比例定理可得，解得，则有，因此，解得即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即， 解得， 即当的值为时，； （2）解：的面积 ， ∴与的关系式为； （3）解：存在某一时刻，使平分，理由如下： 过点作于点，如下图， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵, ∴平分， ∴， ∵， ∴， 当平分时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即，   解得， ∴， ∴，解得， ∴存在某一时刻，使平分，的值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 36．（2022·江苏苏州·二模）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【答案】(1)；；补全函数图象见解析 (2) (3) 平分 时 的值为 【分析】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【详解】（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． （2）当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$