2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第13讲 二次函数与几何图形综合应用

第13讲 二次函数与几何图形综合应用 考点1 线段问题 3 考点2 面积问题 5 考点3 角度问题 7 考点4 特殊三角形判定问题 9 考点5 特殊四边形判定问题 11 考点6 相似三角形判定问题 12 一、二次函数与等腰三角形综合 二次函数与等腰三角形存在性问题： 解题思路：先找后求． 1．找法：已知三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下： 2．求法：分类讨论；设出点坐标，利用两腰长相等，列方程求解． 二、二次函数与直角三角形综合 二次函数与直角三角形存在性问题： 解题思路：先找后求． 1．找法：已知直角三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下： 2．求法：分类讨论；设出点坐标，利用勾股定理，列方程求解． 三、二次函数与四边形综合 二次函数与四边形综合主要是与平行四边形或者特殊的平行四边形（矩形，菱形，正方形）的综合．在解决此类问题时，需要注意“平行四边形”的四个顶点中是有一个动点或二个动点． 1．如果只有一个动点，则先求点坐标，然后代入检验； 2．如果有两个动点，则常用的方法有两个，①引入坐标代入函数解析式后建立方程，注意最后要检验；②从已知条件直接进行分析． 四、动点与平行四边形存在性问题常见模型： 1．两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形 （1）分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相等找出所有的存在的情况． （2）设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，代入另一个点所在函数关系式． 2．三固一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形 （1）分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点． 大三角：连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行线交点即为要找的点． （2）利用中点公式法，求出点坐标． 中点坐标公式：若，为坐标系内任意两点，则中点的坐标为． 中点公式法：设出点坐标，利用线段的中点都为点，即可求出点坐标． 总结：二次函数与四边形综合问题常用的解题方法是：设出动点坐标，然后用点的坐标表示线段长度，进而建立方程求出动点坐标． 五、二次函数与面积综合问题 在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法： 1．如图(1)，过三角形的某个顶点作与轴或轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加： ； 2．如图(2)，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积： 3．如果只是求解面积最大值或者此时动点的坐标，可以通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时三角形的面积最大，此时可以直接求出动点坐标，然后再利用上述两种方法求出面积的最大值． 、 考点1 线段问题 1．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 2．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标； (3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由． 3．（2024年四川省德阳市中考数学试题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 考点2 面积问题 4．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 5．（2024·青海西宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)直线上方的抛物线上有一点，当的面积最大时，点的坐标是什么？的最大面积是多少？ 6．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 7．（2024年内蒙通辽市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 8．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 考点3 角度问题 9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上的一动点，直线交线段于点E，请求出的最大值； (3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过原点，且顶点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)图（1），B是抛物线与x轴的另一交点，将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段，若平分交抛物线于点Q．求点Q的坐标； (3)如图（2），过点作轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上量两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线，分别交x轴于点M，N．若，求证：直线过一个定点． 11．（2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 考点4 特殊三角形判定问题 12．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 13．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B． (1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式． (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L． ①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若与交于点D， 求 m的值． (3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2024年四川省遂宁市中考数学试题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 考点5 特殊四边形判定问题 15．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 16．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线过点，． (1)求直线的函数解析式； (2)设点在上，抛物线G：与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点． ①当时，试用含的代数式表示四边形的面积； ②当，，中有两点与点，围成的四边形是平行四边形时，求的函数解析式． 17．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 考点6 相似三角形判定问题 18．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点落在边上的点处．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点． (1)求的长及抛物线的解析式； (2)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 19．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2024年四川省内江市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 二次函数与几何图形的综合应用 考点1 线段问题 3 考点2 面积问题 10 考点3 角度问题 22 考点4 特殊三角形判定问题 34 考点5 特殊四边形判定问题 43 考点6 相似三角形判定问题 55 一、二次函数与等腰三角形综合 二次函数与等腰三角形存在性问题： 解题思路：先找后求． 1．找法：已知三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下： 2．求法：分类讨论；设出点坐标，利用两腰长相等，列方程求解． 二、二次函数与直角三角形综合 二次函数与直角三角形存在性问题： 解题思路：先找后求． 1．找法：已知直角三角形的两个顶点，找第三个顶点，方法如下： 2．求法：分类讨论；设出点坐标，利用勾股定理，列方程求解． 三、二次函数与四边形综合 二次函数与四边形综合主要是与平行四边形或者特殊的平行四边形（矩形，菱形，正方形）的综合．在解决此类问题时，需要注意“平行四边形”的四个顶点中是有一个动点或二个动点． 1．如果只有一个动点，则先求点坐标，然后代入检验； 2．如果有两个动点，则常用的方法有两个，①引入坐标代入函数解析式后建立方程，注意最后要检验；②从已知条件直接进行分析． 四、动点与平行四边形存在性问题常见模型： 1．两固两动型：两个固定点，两个动点构成平行四边形 （1）分类讨论，分成两个固定点连线为平行四边形对边和对角线来讨论，利用对边平行且相等找出所有的存在的情况． （2）设出一个动点坐标，利用中点公式法算出另外一个点的表达式，代入另一个点所在函数关系式． 2．三固一动型：三个固定点，一个动线构成平行四边形 （1）分类讨论，可以利用大三角的方法来找出所有的点． 大三角：连接三个固定点形成一个三角形，过每个顶点做对边的平行线，三个平行线交点即为要找的点． （2）利用中点公式法，求出点坐标． 中点坐标公式：若，为坐标系内任意两点，则中点的坐标为． 中点公式法：设出点坐标，利用线段的中点都为点，即可求出点坐标． 总结：二次函数与四边形综合问题常用的解题方法是：设出动点坐标，然后用点的坐标表示线段长度，进而建立方程求出动点坐标． 五、二次函数与面积综合问题 在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法： 1．如图(1)，过三角形的某个顶点作与轴或轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加： ； 2．如图(2)，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积： 3．如果只是求解面积最大值或者此时动点的坐标，可以通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时三角形的面积最大，此时可以直接求出动点坐标，然后再利用上述两种方法求出面积的最大值． 考点1 线段问题 1．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式 (2)3 【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 点C的坐标为， 令，则， 即， 解得：或， 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的函数表达式为； （2）解：点P在抛物线上， 设点P的坐标为， 轴交于点N， 点N的坐标为， 点P在线段上方的抛物线上， 且， ，且， 当时，有最大值，线段长的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题． 2．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标； (3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或． (3)有，P点的坐标为 【分析】（1）根据抛物线经过点，点，用待定系数法即可求解； （2）分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可． （3）根据垂直及对顶角相等易证证明，可得的周长：的周长，求出直线的解析式，设，，的周长为z，表示出的长，利用的周长：的周长列出关于z的函数解析式，再运用二次函数最值求解即可． 【详解】（1）由题意得：，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点． （2）①当点在第一象限时， 设）， 过点作轴， ∵，， ∴， 解方程得：或， 不合题意，舍去． 故 ， ∴； 当点在第四象限时，同理可得： 解方程得：或， 不合题意，舍去． 故， ∴ 综上或． （3）的周长有最大值．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长：的周长， ∵， ∴， ∴的周长， ∵直线过和， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，的周长为z， ， ∴， ∴， ∵， ∴z有最大值，此时， 当时，， 故P点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，勾股定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024年四川省德阳市中考数学试题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 考点2 面积问题 4．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 5．（2024·青海西宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)直线上方的抛物线上有一点，当的面积最大时，点的坐标是什么？的最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)点的坐标为，的最大面积是． 【分析】（）利用一次函数求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，可得的长，进而求出，设，根据列出方程即可求解； （）如图，向上平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时，此时，点到直线的距离最大，即的面积最大，设平移后的直线解析式为，由得，，进而根据可得，即可平移后的直线解析式为，再联立函数解析式可得，再利用待定系数法可得直线的函数解析式为，即可得，得到，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 整理得，， ∴或， 当时，方程无解； 当时，解得，， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，向上平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时，此时，点到直线的距离最大，即的面积最大，设平移后的直线解析式为， 由得，， ∴， 解得， ∴平移后的直线解析式为， 由，解得， ∴， 设直线的函数解析式为，直线与轴相交于点， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当的面积最大时，点的坐标为，的最大面积是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的几何应用，一次函数与二次函数的交点坐标，根的判别式，一次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 6．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 7．（2024年内蒙通辽市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积 （1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答； （2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 8．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 考点3 角度问题 9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上的一动点，直线交线段于点E，请求出的最大值； (3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M坐标为或 【分析】（1）由抛物线经过，两点，知对称轴为直线，可得，即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式； （2）过D作轴交于F，过B作轴交于G，在中，得，直线解析式为，即可知，设，则，从而表示出，由，得， 可得当时，取最大值； （3）作关于y轴的对称点，连接，在上取点K，使，作直线交抛物线于M，根据关于y轴对称，，可知M是满足条件的点，设，由得，直线解析式为，解，即可得；由对称性可知，若为关于x轴的对称点，则直线与抛物线交点也满足，此时直线解析式为，同理可得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）过D作轴交于F，过B作轴交于G，如图： 在中，令得，令得或， ， 由得直线解析式为， 在中，令得， ∴， 设，则， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值； 答：的最大值为； （3）存在，理由如下： 作关于y轴的对称点，连接，在上取点K，使，作直线交抛物线于M，如图： ∵关于y轴对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴M是满足条件的点， 由得直线解析式为， 设， ∵， ∴， 解得或， ∴， 由，得直线解析式为， 解， 得或， ∴； 由对称性可知，若为关于x轴的对称点，则直线与抛物线交点也满足， 此时直线解析式为， 由 得或， ∴； 综上所述，M坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、等腰三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形、等腰三角形解决问题． 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线经过原点，且顶点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)图（1），B是抛物线与x轴的另一交点，将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段，若平分交抛物线于点Q．求点Q的坐标； (3)如图（2），过点作轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上量两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线，分别交x轴于点M，N．若，求证：直线过一个定点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D，根据旋转的性质及全等三角形的性质，可求出，再根据等腰三角形的性质和判定，中点坐标公式可求，再求出直线的解析式，进而求出直线与抛物线的交点坐标即可； （3）设点，，分别求出直线，直线的解析式，可得，，再求出，，根据可得，再求出直线的解析式，即可得证． 【详解】（1）解：抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 抛物线经过原点， 当时，， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：过点A作轴，过点B作于点M，过点C作于点N，连接交直线于点D， B是抛物线与x轴的另一交点， 当时，， 解得：，， ， 轴，，，， ，， ，， ， 将线段绕地物线顶点A逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 轴，，， ， 抛物线与x轴交于原点，B点，且顶点坐标为， ， ， ， 平分， 点D是的中点， ，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， （3）由题意设点，， 轴，， 当时，， ， 设直线的解折式， 把，得， ， 解得， 直线的解折式， 直线交x轴于点M， 当时，， ， ， 设直线的解折式， 把，代入得， ， 解得， 直线的解折式为， 当时，， ， ， ，，， ，， ， ， ， 设直线的解折式为， ，， ， 解得， 直线的解折式为， ， ， ， ， 当时，， 直线过一个定点，该定点为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 11．（2024年江苏省连云港市中考真题数学试卷）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； （2）解：连接，   ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3）解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）．      设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知：    当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知：    当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 考点4 特殊三角形判定问题 12．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为：；直线的解析式为 (2) (3)或或 【分析】（）待定系数法即可求出二次函数解析式，再求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的表达式； （2）过点作轴于点，交于点，由（1）知直线的解析式为，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移个单位得到，，勾股定理分别表示出，，，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； ∵与轴交于点，， 当时，， 解得：， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 由（1）知直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为； （3）解：∵抛物线， 将该抛物线向左平移个单位，得到，对称轴为直线， 由（2）知点D的横坐标为2，则， ， 点向左平移个单位得到， ∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则， ∴， ∴， ∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点， 则点的横坐标为， 设， ∴，， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B． (1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式． (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L． ①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若与交于点D， 求 m的值． (3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①② (3)存在，或或或 【分析】（1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； ②证明，得到，进行求解即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）①∵点 P 的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； ②∵轴，与交于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 14．（2024年四川省遂宁市中考数学试题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 考点5 特殊四边形判定问题 15．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． 16．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线过点，． (1)求直线的函数解析式； (2)设点在上，抛物线G：与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点． ①当时，试用含的代数式表示四边形的面积； ②当，，中有两点与点，围成的四边形是平行四边形时，求的函数解析式． 【答案】(1) (2)①或或②或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①分，，三种情况进行讨论求解即可； ②分与两点组成的四边形为平行四边形，且点在原点右侧，与两点组成的四边形为平行四边形，且点在原点左侧，以及当与两点组成的四边形为平行四边形，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）①∵点在上， ∴， ∵， ∴当时，， 令，则，解得：， 设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， 当，即时，， 则：四边形的面积； 当时， 则：四边形的面积； 当，即：时， 则：四边形的面积； 综上：四边形的面积为或或； ②当与两点组成的四边形为平行四边形，且点在原点右侧时，如图，则：， ∴的中点坐标为， ∴，两点中点的纵坐标为， ∴点坐标为， ∴两点的中点坐标为：， ∴， ∴， ∴， ∴，把代入，得： ∴，即：； 当与两点组成的四边形为平行四边形且点在原点左侧时，如图，则：， 同理可得：，， ∴， ∴，把，代入，得：， ∴，即：； 当与两点组成的四边形为平行四边形时，如图，则：， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴，把，代入，得：， ∴，即：； 综上：或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与抛物线的交点问题，平行四边形的性质，等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 17．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或 【分析】（1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【详解】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，    ∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． 考点6 相似三角形判定问题 18．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点落在边上的点处．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点． (1)求的长及抛物线的解析式； (2)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)3， (2)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质及二次函数的综合应用，解题时注意：折叠的性质叠种对称变换，属于对称，折叠前后图形的形和小不变，位变化，对边和对应角相等．解题时注意分类思想的运用． （1）根据折叠图形的轴对称性，、全等，首先在中求出的长，进而可得到的长；在中，、，利用勾股定理可求出的长．进一步能确定点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）由于，首先能确定的是，若以、、为顶点的三角形与相似，那么或，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的的值； 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，，． 由题意，． ，，． 由勾股定理易得． ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得，， ． 抛物线过点，， ， 解得 抛物线的解析式为：； （2）解：，， ， 由（1）可得，，． 而，， ． 当，， ， 即， 解得：． 当，， ， 即， 解得：． 当或时，以、、为顶点的三角形与相似． 19．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)，或，或，． 【分析】（1）设抛物线的解析式为．将点的坐标代入函数解析式求得系数的值即可； （2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标； （3）存在．假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．分类讨论：平行四边形是平行四边形、平行四边形是平行四边形、四边形为平行四边形．由平行线的性质和坐标与图形的性质求得符合条件的点、点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点， 因此可设抛物线的解析式为 将代入得，即 抛物线的解析式为； （2）解：， 对称轴为直线， 如图2，当时，，则， 当时，， ， ∴， ， ， ∴， 因此点的坐标为或； （3）解：存在． 假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 如图3，当平行四边形是平行四边形时， 此时，的横坐标为， ∴， ∴，， 当平行四边形是平行四边形时，同理，， 如图4，当四边形为平行四边形时，与互相平分，此时可设，则， 点在抛物线上， 此时，， 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得是解题的关键，在（2）、（3）中都需要用到数形结合和分类讨论的数学思想． 20．（2024年四川省内江市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入，求出b、c的值即可； （2）由对顶角的性质性质知，若存在和相似，则有和两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点，，，，则，，根据菱形的性质得出，可求出，过点作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：令，则，则；令，则 ∴， 把，代入，得： 解得： ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：； （2）解：存在点，使得和相似． 设点，则，， ∴，，，， ∵和相似， ∴或 ①如图1，当时， ∴ ∴点纵坐标为6 ∴，解得：或 ∴ ②如图2，当时， 过B作于H ∴ ∴ ∴ ∴，解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，点的坐标为或． （3）如图3，∵四边形为菱形 ∴，， 设点，，， ∴， ∴，即 ∵ ∴，即或 ∵， ∴， ∴ 过点作于 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（不合题意，舍去）或 故 答：点的横坐标为 【点睛】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$