2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第11讲 反比例函数

第11讲 反比例函数 考点1 反比例函数的图像性质 3 考点2 反比例函数解析式的确定 4 考点3 反比例函数与一次函数的结合 6 题型一 同一坐标系中函数图像的判断 6 题型二 反比例函数与一次函数的交点问题 7 题型三 反比例函数与不等式的问题 8 考点4 反比例函数与几何图形的结合 10 考点5 反比例函数与一次函数及几何图形的综合应用 11 考点6 反比例函数的实际应用 13 真题过关检测 15 一、反比例函数的概念 反比例函数 一般地，如果两个变量，之间的对应关系可以表示成(为常数，)的形式，那么称是的反比例函数。其中叫做比例系数，是自变量，是x的函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 表达式 反比例函数的表达式(为常数，)也可以写成(为常数，) 或(为常数，)的形式. 成反比例关系 两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系． 二、反比例函数的图像与性质 1、反比例函数的图像 反比例函数的图像 反比例函数(为常数，)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线． 反比例函数与()的图象关于轴对称，也关于轴对称． 画反比例函数图象 列表：反比例函数中自变量的取值范围是，为了便于计算，自变量通常取原点附近的数，如，，等，再求出对应的值. 描点：以表格中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点. 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，并向两端延伸. 2、反比例函数(为常数，)的性质 的符号 图像 图象的位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 对称性 图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴为，对称中心为坐标原点 三、反比例函数k的几何意义 在反比例函数的图象上任取一点，过这一点分别作轴、轴的垂线 、,与坐标轴围成的矩形 的面积 类型一 同一象限内运用的几何意义 类型二 两个象限内运用的几何意义 类型三 双反比例函数中运用的几何意义 考点1 反比例函数的图像性质 1．（2024·湖北武汉·一模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限； B．图象与坐标轴有交点； C．若图象经过点，则必经过点； D．图象上有两点，，若，则． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 3．（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的关系是（     ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·广东梅州·模拟预测）已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （   ） A． B． C． D． 8．（2024·山西·模拟预测）反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 考点2 反比例函数解析式的确定 9．（20-21九年级上·安徽合肥·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 11．（2024·广东·模拟预测）物理课上老师讲到镜面成像时提到老花镜镜片的度数与焦距呈反比例函数的关系，引起了大家探究的兴趣．小明找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数 度 镜片与光斑的距离 根据以上数据，当老花镜的镜片与光斑的距离为时，老花镜的度数是 度． 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值为 ． 13．（2024·广西桂林·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在y轴上，连接，则 ． 14．（2024·贵州遵义·二模）如图，点分别是反比例函数和图象上的点，轴，点P为y轴上动点，连接，若的面积为2，则k的值为 ．    15．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 16．（2024·安徽·三模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，反比例函数的图象上有，两点，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接，若的面积为1，则k的值为 ． 18．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角向右平移到位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数的图象经过与的交点，连接并延长交轴于点，若的面积为3，则的值是 ． 考点3 反比例函数与一次函数的结合 题型一 同一坐标系中函数图像的判断 19．（2024·湖南娄底·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 20．（2024·广东广州·二模）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 21．（2024·安徽合肥·三模）若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型二 反比例函数与一次函数的交点问题 22．（2024·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．则的面积是 23．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于点C，连接，过点C作轴于点D，，则k的值为 ． 24．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知反比例函数图象过第二象限内的点，轴于B，直角的面积为3， 若直线经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点． (1)求反比例函数的解析式及m、n的值； (2)求直线的解析式． 25．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 反比例函数与不等式的问题 26．（2024·山西·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 27．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 28．（2024·湖北·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 考点4 反比例函数与几何图形的结合 29．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．（2024·广东·模拟预测）如图，在等腰中，，顶点A为反比例函数（其中）图像上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作，交反比例函数的图像于点C，连接交于点D，若，，则的面积为（　　） A． B．6 C． D．5 31．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为 ． 32．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，点在对角线上，且满足，反比例函数的图像经过点、与相交于点，的面积为4，则的值为 ． 33．（2024·广东中山·三模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形若反比例函数的图象经过点，则的面积为 ． 34．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点5 反比例函数与一次函数及几何图形的综合应用 35．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点，且满足，求点的坐标． 36．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，直线与双曲线 在第二象限内交于A，B两点，已知 (1)求的值及直线的解析式； (2)点C是线段上的一个动点，过点C作轴于点D，交双曲线于点F，E是x轴上一点，当的面积最大时，求点F的坐标． 37．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知反比例函数的第一象限图象上的有两点和点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接、．已知与的面积满足． (1)求、、的值； (2)在线段上若有一点，当时，求出点的坐标． 38．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标； (3)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图象于点，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值． 考点6 反比例函数的实际应用 39．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知电功率与电压、电阻的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（    ） A．2 B．4 C． D． 40．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 41．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 42．（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 43．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 44．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 真题过关检测 45．（2024年重庆市中考数学试题B卷）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 46．（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（2023年山东省泰安市中考数学真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   48．（2024年江苏省扬州市中考数学试题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 49．（安徽省2024年中考数学试题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 50．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 51．（2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（    ） A． B． C． D． 52．（2024年江苏省苏州市中考数学试题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 53．（2024年四川省宜宾市中考数学试题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 54．（2024年北京市中考数学试题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 55．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则 ．     56．（2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 57．（2024年福建省中考真题数学试题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 58．（2024年四川省广元市中考数学试题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    59．（2024年广东省深圳市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．    60．（2024年江苏省扬州市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 61．（2024年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 62．（2024年江苏省盐城市中考数学试题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． 63．（2024年四川省眉山市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 64．（2024年江苏省苏州市中考数学试题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 65．（2024年山东省烟台市中考数学试题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求n的值及的面积． 66．（2024年四川省成都市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 反比例函数 考点1 反比例函数的图像性质 3 考点2 反比例函数解析式的确定 7 考点3 反比例函数与一次函数的结合 14 题型一 同一坐标系中函数图像的判断 14 题型二 反比例函数与一次函数的交点问题 16 题型三 反比例函数与不等式的问题 22 考点4 反比例函数与几何图形的结合 24 考点5 反比例函数与一次函数及几何图形的综合应用 35 考点6 反比例函数的实际应用 44 真题过关检测 51 一、反比例函数的概念 反比例函数 一般地，如果两个变量，之间的对应关系可以表示成(为常数，)的形式，那么称是的反比例函数。其中叫做比例系数，是自变量，是x的函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 表达式 反比例函数的表达式(为常数，)也可以写成(为常数，) 或(为常数，)的形式. 成反比例关系 两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系． 二、反比例函数的图像与性质 1、反比例函数的图像 反比例函数的图像 反比例函数(为常数，)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线． 反比例函数与()的图象关于轴对称，也关于轴对称． 画反比例函数图象 列表：反比例函数中自变量的取值范围是，为了便于计算，自变量通常取原点附近的数，如，，等，再求出对应的值. 描点：以表格中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点. 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，并向两端延伸. 2、反比例函数(为常数， 的符号 图像 图象的位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 对称性 图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴为，对称中心为坐标原点 三、反比例函数k的几何意义 在反比例函数的图象上任取一点，过这一点分别作轴、轴的垂线 、,与坐标轴围成的矩形 的面积 类型一 同一象限内运用的几何意义 类型二 两个象限内运用的几何意义 类型三 双反比例函数中运用的几何意义 考点1 反比例函数的图像性质 1．（2024·湖北武汉·一模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限； B．图象与坐标轴有交点； C．若图象经过点，则必经过点； D．图象上有两点，，若，则． 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 根据反比例函数的性质，对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象可得： 当时，反比例函数图象位于二、四象限，选项错误； 反比例函数图象与坐标轴无交点，选项错误； 由反比例函数表达式可得，，选项正确； 当时，，随着的增大而增大，即若，则； ，随着的增大而增大，即若，则， 但时，，选项错误． 故选：． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断反比例函数图象所在象限 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质. 先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 3．（2024·河南商丘·模拟预测）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出k的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选C． 4．（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则，． 【详解】解：∵， ∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 5．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：反比例函数中，， 此函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ， 点，在第二象限， ， ， 在第四象限， ， 、、的大小关系是， 故选：D． 6．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围． 【详解】解：，且， ∴反比例函数的图像在第二、四象限， ， ， 故选：B． 7．（2024·广东梅州·模拟预测）已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及反比例函数的增减性． 先用待定系数法求出该反比例函数的解析式，再根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数图象位于二、四象限，再每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴点A和点B位于第二象限，第C位于第四象限， ∴， 故选：C． 8．（2024·山西·模拟预测）反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过、两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在二、四象限， ∴． 故答案为：． 考点2 反比例函数解析式的确定 9．（20-21九年级上·安徽合肥·期中）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点在第三象限是解题的关键． 根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ， 解得． 故选：C． 11．（2024·广东·模拟预测）物理课上老师讲到镜面成像时提到老花镜镜片的度数与焦距呈反比例函数的关系，引起了大家探究的兴趣．小明找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数 度 镜片与光斑的距离 根据以上数据，当老花镜的镜片与光斑的距离为时，老花镜的度数是 度． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，设，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可求解，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：D与f成反比例函数，设，把代入得，， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数是(k为常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴ ∴， 故答案为：． 13．（2024·广西桂林·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在y轴上，连接，则 ． 【答案】5 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 连接，根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点在反比例函数的图象上，轴于点， ， 故答案为：5． 14．（2024·贵州遵义·二模）如图，点分别是反比例函数和图象上的点，轴，点P为y轴上动点，连接，若的面积为2，则k的值为 ．    【答案】7 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是关键． 延长交轴于点，连接、，根据值的几何意义求出面积即可计算出值． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，   点在反比例函数的图象上， ， 轴， ， ， 点在反比例函数上， ． 故答案为：7． 15．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出反比例函数解析式，利用解析式得到，，再根据即可求解，熟练掌握反比例函数值几何意义是解题的关键． 【详解】∵对角线的中点，且点， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 16．（2024·安徽·三模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，，，可得，再利用面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵点M为线段的中点， ∴， ∵轴交反比例函数图像于点N， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为： 17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，反比例函数的图象上有，两点，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接，若的面积为1，则k的值为 ． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键．记延长线交y轴于点，根据、点的横坐标可知，可得，再根据反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：记延长线交y轴于点， 反比例函数的图象上有，两点，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点C， ， ， ， 反比例函数在第一象限， ， 故答案为：． 18．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角向右平移到位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数的图象经过与的交点，连接并延长交轴于点，若的面积为3，则的值是 ． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查反比例函数函数k的几何意义，设的长为，则，表示出点的坐标为，证明，得，知 【详解】解：设的长为，则 当时，点的坐标为， ∴， 又是直角三角形，且 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：6 考点3 反比例函数与一次函数的结合 题型一 同一坐标系中函数图像的判断 19．（2024·湖南娄底·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数与（k为常数，）的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，分别令和，分别找出函数图象所经过的象限，相同的即为本题的答案，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：可化为， 当时，经过第一、二、四象限，经过第一、三象限； 当时，经过第一、三、四象限，经过第二、四象限； 故选：A． 20．（2024·广东广州·二模）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】此题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，分和两种情况讨论即可．灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象分布在一、三象限，选项A符合题意； 当时，函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在二、四象限，没有正确选项． 故选：A． 21．（2024·安徽合肥·三模）若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程的两根， ， ， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B.由图象得：，，符合题意； D .由图象得：，，，结论错误，不符合题意； 故选：B． 题型二 反比例函数与一次函数的交点问题 22．（2024·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．则的面积是 【答案】12 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】利用待定系数法求得点坐标，把点，代入求得一次函数解析式为，再求得，利用解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，， ， ． ． 一次函数的图象经过点，， ， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 即， ， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，数形结合是解题的关键． 23．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于点C，连接，过点C作轴于点D，，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由一次函数解析式可得点B坐标，根据，可得点D坐标，继而可得点C的坐标，即可求出k值． 【详解】解：在函数中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 24．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知反比例函数图象过第二象限内的点，轴于B，直角的面积为3， 若直线经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点． (1)求反比例函数的解析式及m、n的值； (2)求直线的解析式． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数性质和图象，重点掌握与一次函数的交点问题，此题难度不是很大． （1）根据面积为3，即可求出点的坐标，把点坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，又知反比例函数图象过点，代入解析式求出的值， （2）根据题干条件直线经过点、，已知两点坐标，列出二元一次方程组解得和的值，即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：面积为3，， ， ， ， 反比例函数为过点， ， ， 即反比例函数为：， 反比例函数为过点， ， ； （2）解：直线经过点、， ， 解得：， 直线的解析式为：． 25．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；② (2)或或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 题型三 反比例函数与不等式的问题 26．（2024·山西·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图像问题．根据图像中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：由图像知，当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方， 即， 故选：D． 27．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 观察函数图象即可求解． 【详解】解： 观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 故选：A． 28．（2024·湖北·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)解集是或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得m、a、b值，进而利用待定系数法求解即可； （2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴相交于点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴，， ∴，， ∵点在反比例函数图象上的点， ∴， 反比例函数的表达式为； （2）解：观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， ∴不等式的解集是或． 考点4 反比例函数与几何图形的结合 29．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 30．（2024·广东·模拟预测）如图，在等腰中，，顶点A为反比例函数（其中）图像上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作，交反比例函数的图像于点C，连接交于点D，若，，则的面积为（　　） A． B．6 C． D．5 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】过点A作轴于点H，交于点E，进而求出，而求出反比例函数的解析，根据易证，由相似三角形的性质求出，设，则，，进而求出面积即可． 【详解】解：过点A作轴于点H，交于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴，轴， ， ， ，， ， ，， 设，则，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练识记这些知识是解题的关键． 31．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，坐标与几何长度之间的转化是解题的关键． 设，则．设，则，求出，根据，求出，再根据直线 的斜率即可求得结果． 【详解】解：设，则． 设，则， ， ∴， ∵， ∴， 那么直线 的比例系数可表示为 或， ∴ 变形得． 又， ∴． 32．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，点在对角线上，且满足，反比例函数的图像经过点、与相交于点，的面积为4，则的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，作轴于点E，证明，得出，根据，得出，设点，则，点，，根据，求出结果即可． 【详解】解：作轴于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，则，点，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 33．（2024·广东中山·三模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形若反比例函数的图象经过点，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，过点作轴，作轴，证明，得到，进而求出点坐标，求出点坐标，进而求出的长，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作轴，作轴，则四边形为矩形， ∴， ∵以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， 则：， ∴（负值舍掉）， ∴， ∵将直线向上平移个单位，与轴、轴分别交于点、， ∴平移后的直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 34．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点的坐标为或或 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）将和点两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （3）由直线的解析式，求得，，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：函数的图像过点和点， ， 解得：， ，； （2）解：由（1）可知，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， ，， ， 即， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 直线交轴于点，交轴于点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ； ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ； ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， 在和中， ， ， ，， 矩形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 考点5 反比例函数与一次函数及几何图形的综合应用 35．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（）把代入解析式，求出一次函数与反比例函数解析式，然后联立方程，解出方程即可； （）过点做轴，并分别作，，交点分别为点，，得，然后根据同角的余角相等得，证明，则，设，则，，，，再代入求，（舍去）即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）将代入，可得， ∴反比例函数解析式为， 将代入，可得， ∴， 令，解得，， 经检验均为方程的解， 当时，， 故点的坐标为； （2）如图，过点做轴，并分别作，，交点分别为点，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴， 解得，（舍去）， 又∵在轴负半轴上， ∴点坐标为． 36．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，直线与双曲线 在第二象限内交于A，B两点，已知 (1)求的值及直线的解析式； (2)点C是线段上的一个动点，过点C作轴于点D，交双曲线于点F，E是x轴上一点，当的面积最大时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、面积问题(二次函数综合)、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象性质与几何问题，反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数解析式，得出，再将代入， 得，即可作答． （2）先求出双曲线的解析式为；设，，则，根据求的面积列式得，结合二次函数的图象性质，，即可作答． 【详解】（1）解：将代入， 得 整理得， 解得(不合题意，舍去) ∴ ∴ ∴直线的解析式为 将代入， 得； （2）解：由（1）可知， ∴双曲线的解析式为 依题意，设，， ∵过点C作轴于点D 则 . ∴ ∴ ∵，， ∴当时，有最大值． ∴点F的坐标为． 37．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知反比例函数的第一象限图象上的有两点和点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接、．已知与的面积满足． (1)求、、的值； (2)在线段上若有一点，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】解分式方程、一次函数图象与坐标轴的交点问题、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出点坐标，然后利用三角形的面积公式可求出，根据即可求出，设，于是可得，根据点在反比例函数上即可求出的值，利用点在反比例函数上即可求出的值，利用一次函数的图象经过点即可求出的值； （2）连接，首先求出直线与轴的交点的坐标，然后可证得，于是可得，设，则有，解该分式方程，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， 又点在反比例函数上， ， ， 点在反比例函数上， ， ， 又一次函数的图象经过点， ， 解得：， 、、的值分别为，，； （2）解：如图，连接， 由（1）可知：直线的表达式为， 当时，， ， ， 轴， ， 轴轴， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得：或， 经检验，或是原分式方程的解， 点在第一象限， 将舍去， ， ， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解一元一次方程，垂线的定义，相似三角形的判定与性质，解分式方程等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 38．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标； (3)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图象于点，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值． 【答案】(1)反比例函数为，一次函数为 (2)，，， (3) 【知识点】公式法解一元二次方程、求反比例函数解析式、已知两点坐标求两点距离、平行四边形性质和判定的应用 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设点G的坐标为，根据两点间距离公式得到， ，。若是以为腰的等腰三角形，则或，分别代入求解即可； （3）证得四边形是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， ∴， 故反比例函数的解析式为， ∴， 故， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵，， ∴， 设点G的坐标为， 则， 。 若是以为腰的等腰三角形，则或， ①当时，， 解得， ∴或； ②当时，， 解得或， ∴或； 综上所述，点G的坐标为，，，； （3）解：∵，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴， ∵在上， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设与x轴交于点C，连接，如图所示： 把代入，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴当时，符合题意． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 考点6 反比例函数的实际应用 39．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知电功率与电压、电阻的关系式是：．当两个灯泡并联接在电压为的电路中时，如果它们的电功率的比，那么它们的电阻的比（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，明确经过两个电阻的电压相同是解题的关键． 由题意得，经过两个电阻的电压相同，进而求解． 【详解】解：由题意得，经过两个电阻的电压相同， 故， 即． 故选：C． 40．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为，把代入求出，得出该反比例函数的解析式为，再把代入求出，根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小， ∴为了安全起见，气球的体积应不小于， 故选：B． 41．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意； 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意； 令，则， ∴， ∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为， 设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：， 解得：， ∴此时， ∴水温与通电时间的函数关系式为， 上午10点到共30分钟，， ∴当时，， 即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意； 在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ∵， ∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 42．（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【答案】15 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，利用待定系数法求出，再分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：设， 把代入中得：，解得 ∴， 在中，当时，，当时，， ∴若压强由加压到，则气体体积压缩了， 故答案为：15． 43．（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． (1)求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， (2)求电流关于电路中的电阻的函数关系； (3)如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 【答案】(1) (2) (3)接入电路的滑动变阻器的电阻为． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键． （1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，即可求解； （2）由欧姆定律可知，，进而得出电源的电压为，即可求解； （3）将代入（2）所求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和， 电路中的电阻； （2）解：由欧姆定律可知，， 由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为， ，解得：， 即电源的电压为， 电流关于电路中的电阻的函数关系为； （3）解：电流表的读数为， ， 解得：， 答：接入电路的滑动变阻器的电阻为． 44．（2024·浙江杭州·模拟预测）某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)能超过130分钟，见解析 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）根据“从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克”可得的值，运用待定系数法求一次函数，反比例函数解析式的方法即可求解； （2）令分别代入一次函数，反比例函数求出时间进行比较即可求解． 【详解】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克， ∴， 当时，设y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴； 当时，y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得，即； （2）解：令， 解得， 令， 解得， ∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟． 真题过关检测 45．（2024年重庆市中考数学试题B卷）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 46．（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 47．（2023年山东省泰安市中考数学真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、判断反比例函数图象所在象限 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 48．（2024年江苏省扬州市中考数学试题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，且当时，，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 49．（安徽省2024年中考数学试题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 50．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据图形面积求比例系数（解析式）、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 51．（2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为2，则k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键． 过点E作，则，设，由，可得，再由，列方程，即可得出k的值． 【详解】过点E作，则， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴ ∴ 即，解得： 故选D 52．（2024年江苏省苏州市中考数学试题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 53．（2024年四川省宜宾市中考数学试题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、三线合一、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 54．（2024年北京市中考数学试题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 55．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则 ．     【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、求反比例函数解析式 【分析】作交于点，根据题意可得，由点为的中点，可得，在 中，通过解直角三角形可得，从而得到点，代入函数解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于点，   ， ，，， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 56．（2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 57．（2024年福建省中考真题数学试题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 58．（2024年四川省广元市中考数学试题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、勾股定理与折叠问题、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即． 【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，    ∵与的图象交于点， ∴把代入，得出， ∴， 把代入， 解得， ∴， 设， 在， ∴， ∵点B为y轴上一点，将沿翻折， ∴，， ∴， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 59．（2024年广东省深圳市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．    【答案】8 【知识点】反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 60．（2024年江苏省扬州市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、折叠问题、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 61．（2024年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【答案】(1)和； (2)； (3)或． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、因式分解法解一元二次方程 【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解； （）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解； （）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解； 本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； （3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或．    62．（2024年江苏省盐城市中考数学试题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式； (2)点C坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、两直线平行同位角相等、求角的正切值 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 63．（2024年四川省眉山市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． 64．（2024年江苏省苏州市中考数学试题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 65．（2024年山东省烟台市中考数学试题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求n的值及的面积． 【答案】(1) (2)， 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、根据特殊角三角函数值求角的度数、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可； （2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵将正比例函数图象向下平移个单位， ∴平移后的解析式为：， 如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴， ∵，，在上 ∴ 解得：（负值舍去） ∴， ∴的解析式为， 当时，，则， ∴，，则 ∵直线与关于直线成轴对称，轴， ∴，和是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ 66．（2024年四川省成都市中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可； （3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； （2）解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； （3）解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，不存在， 故满足条件的k值为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$