精品解析：山东省枣庄市台儿庄区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中阶段性监测九年级数学试题 亲爱的同学： 请你认真仔细审题，沉着、静心、尽心、诚实应答，相信你一定会有出色的表现！ 说明： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在题后的空格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共36分． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 3. 由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 4. 若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 2 5. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 6. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中（如图），点、分别为、的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 如图，矩形中，和相交于点O，，，点E是边上一点，过点E作于点H，于点G，则的值是（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 3 D. 4 12. 如图，在正方形中，点E是中点，点F是中点，与相交于点P，设，得到以下结论：①②③，则上述结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分，正确结果填在答题纸上． 13. 如图，与交于点，且．若，则__________． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 15. 盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 16. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 17. 如图，已知点A是一次函数y=x—4在第四象限的图像的一个动点，且矩形ABOC的面积为3，则A点坐标为_____． 18. 如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．连接，若，，则的长是____________． 三、解答题（共7道大题，满分66分） 19. 解方程： （1） （2）（配方法） 20. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率． 21. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 22. 泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副．鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元． （1）填表： 月份 九月 十月 清仓 销售单价(元) 100 50 销售量(件) 200 （2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？ 23. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？ （3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长． 24. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． （1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； （2）分别写出B，C两点的对应点的坐标； （3）已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 25. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点重合，点F是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接． ①求证：； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中阶段性监测九年级数学试题 亲爱的同学： 请你认真仔细审题，沉着、静心、尽心、诚实应答，相信你一定会有出色的表现！ 说明： 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在题后的空格里． 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写． 3．考试时，不允许使用科学计算器． 4．试卷分值：120分． 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共36分． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得，，然后求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴， ∴ ∴a的值为． 故选：A． 2. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 3. 由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，解题的关键是理解三视图的定义．根据小正方体一共5个，以及主视图和左视图，画出俯视图即可． 【详解】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示， 故选：C． 4. 若关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式以及根与系数的关系即可解答. 【详解】解 ：依题意△＞0，即(3a+1)2﹣8a(a+1)＞0， 即a2﹣2a+1＞0，(a﹣1)2＞0，a≠1， ∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a， ∴﹣＝1﹣a， 解得：a＝±1， 又a≠1， ∴a＝﹣1． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的综合运用，要注意根据题意舍弃一个根是解题关键. 5. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为(　　) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 连接，， 点和点分别是和的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ， ，， 四边形是平行四边形． ， ，且， ， 平行四边形是菱形， 与互相垂直平分． 故选：A． 6. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可． 【详解】解：分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球， 列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有种， 即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是， 故选：C． 7. 如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 9. 在中（如图），点、分别为、的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证出是的中位线，由三角形中位线定理得出，，证出，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：点、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键． 10. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 11. 如图，矩形中，和相交于点O，，，点E是边上一点，过点E作于点H，于点G，则的值是（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用矩形的性质可得， ，，即，再利用面积可得，，结合，可得，问题随之得解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 即， ∵，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及三角形的面积等知识，灵活利用面积得出，是解答本题的关键． 12. 如图，在正方形中，点E是中点，点F是中点，与相交于点P，设，得到以下结论：①②③，则上述结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得，，根据点E是中点，点F是中点得，，即，利用证明，得，根据得，可得，故①正确；延长交延长线于点M，利用证明，得，即可得，根据得为斜边上的中线，是斜边的一半，即，故②正确；根据得，根据勾股定理得，计算得，故③正确，综上，即可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是中点，点F是中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确； 如图所示，延长交延长线于点M， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线，是斜边的一半， 即， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴③正确， 综上，①②③正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线． 二、填空题：本题共6小题，每小题填对得3分，共18分，正确结果填在答题纸上． 13. 如图，与交于点，且．若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 15. 盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴，则， 故答案为：． 16. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 【答案】3或4.8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是应用分类讨论的思想方法．本题先设运动t秒，再分两种情况，与，利用其性质列出方程即可求解． 【详解】解：设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当点D与点B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当点D与点C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒． 故答案为：3或． 17. 如图，已知点A是一次函数y=x—4在第四象限的图像的一个动点，且矩形ABOC的面积为3，则A点坐标为_____． 【答案】（1，-3）或（3，-1） 【解析】 【详解】设点A的横坐标为x，则纵坐标为x-4，则AB=4-x，OB=x， 由矩形ABOC的面积等于3，可得x(4-x)=3， 解得：x=1或x=3， ∴点A的坐标为（3，-1）或（1，-3）. 18. 如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．连接，若，，则的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的中线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，分别根据直角三角形中的三角函数求出AM和DM，从而得到答案． 【详解】解：如下图所示，设交BM于点O，连接AO， ∵点是中点， ∴在和 中，, ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴, ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的折叠、直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键是证明是等边三角形以及熟练掌握直角三角形中的三角函数． 三、解答题（共7道大题，满分66分） 19. 解方程： （1） （2）（配方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用公式法求解即可； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【小问1详解】 解： ∵，， ∴ ∴ ∴，； 【小问2详解】 解： ∴，． 20. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案； （2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2， 所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率． 【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键． 21. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴．明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴． （2）AE=9 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键． 22. 泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副．鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元． （1）填表： 月份 九月 十月 清仓 销售单价(元) 100 50 销售量(件) 200 （2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？ 【答案】（1）100－x；200＋2x；400－2x；（2）十月份的销售单价应是80元 【解析】 【分析】（1）十月份的单价等于九月份的单价减去降价的数量；十月份的销售量等于九月份的销售量加上下降价格的2倍；清仓的数量等于总的数量减去九月份和十月份的数量； （2）根据总获利等于总的销售价格减去进货的总价得出一元二次方程，最后根据售价进行验根得出答案． 【详解】解：（1）由题意，十月份单价为：100－x； 十月份销量为：； 清仓数量为：； 故答案为：100－x；200＋2x；400－2x； （2）根据题意得： 100×200＋(100－x)(200＋2x)＋50[800－200－(200＋2x)]－60×800＝9200， 解得x1＝20，x2＝－70(舍去)． 当x＝20时，100－x＝80＞60，符合题意． 答：十月份的销售单价应是80元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确通过表格分析列出一元二次方程并求解检验是解题关键． 23. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过D作DG⊥CF于点G． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？ （3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，根据已知条件即可求证四边形ADCF是平行四边形； （2）根据菱形的性质，可得，结合已知条件证明是平行四边形，则，进而可得，即可知是直角三角形； （3）根据菱形的面积及勾股定理即可求得． 【详解】（1）点E是边AC的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 四边形ADCF是平行四边形； （2）点D是边BC的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当四边形ADCF是菱形时， ， ， 是直角三角形， （3）是直角三角形，AB＝6，BC＝10， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形ADCF是菱形， 菱形，， DG⊥CF， 菱形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键． 24. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． （1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； （2）分别写出B，C两点的对应点的坐标； （3）已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据位似的性质作出B，C两点的对应点，然后顺次连接即可； （2）由（1）所作图形即可解答； （3）观察点的变化规律，并运用规律即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）所作图形得：； 【小问3详解】 解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍． 点的对应点的坐标为． 25. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点重合，点F是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ． 又， ． （2）①证明：由（1）得， ． ． 为等腰直角三角形． 又， 点H为的中点． ． 同理，由是斜边上的中线得， ． ． ②． 【解析】 【分析】（1）直接根据SAS证明即可； （2）①根据（1）中结果及题意，证明为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线即可证明；②根据已知条件，先证明，再证明，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵四边形是正方形， ． 又， ． ． 又为等腰直角三角形， ． ． 四边形是正方形， ． ． ． ． ． 又∵在等腰直角三角形中， ． ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的性质，熟知图形的性质与判定是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $