黄金卷08（新高考八省专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷 黄金卷08 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法表示集合、交并补混合运算 【分析】根据补集与并集的概念求解即可． 【详解】由题知，则，故． 故选：D． 2．已知复数满足，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 3．已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8．故选：A． 4．在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则.故选：C. 5．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ） A．10 B．13 C．18 D．26 【答案】B 【解析】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得到，即可判断； 【详解】解：令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立，即（当时取等号）， 所以，∴， 又（当时取等号）， 所以当且时，有，∴，∴． 故选：A 7．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再结合，可得，进而可得数列是等差数列，即可求出的通项，从而可求出数列的通项，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，， 即， 所以数列是等差数列， 又，，所以， 所以数列的公差为，首项为， 所以，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 8．已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（    ） A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4） 【答案】A 【解析】函数在区间上恰有8个零点， 则函数与函数在区间上有8个交点 由知，是R上周期为2的函数， 作函数与函数在区间上的图像如下， 由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则； 故，解得；故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一组数据为，下列说法错误的是（    ） A．众数是6 B．中位数是 C．平均数是7 D．标准差是 【答案】ABC 【解析】依题意，原数据组由小到大排列为：， 所以这组数据的众数是6或8，故A错误； 中位数是6，故B错误； 平均数为.故C错误； 方差为， 标准差为.故D正确.故选：ABC. 10．如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交于点Q，点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（    ） A．直线与点P的轨迹无公共点 B．存在点P使得 C．三棱锥体积最大值为 D．点P运动轨迹长为 【答案】ABD 【详解】 因为为的角平分线，在中，由正弦定理可知，设，则，所以， 在中，由正弦定理可知，， 因为，所以，且，设，， 所以，所以，， 所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧，且，点到该直线的距离为， 所以与圆无公共点，A正确； 若，设，所以，所以， 所以，即，联立，解得 所以点满足条件，所以B正确； 若最大，则到距离最大，即到与圆的交点处，但不在正方形边界上，所以最大值取不到，故C错误； 令，得到点，又因为，所以，所以为等边三角形，所以，因为为点的运动轨迹，所以， 故D正确；故选:ABD 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，过P作C的切线交直线于点Q，则（    ） A．C的离心率为 B．C的离心率为 C．△OPQ的面积为 D．△OPQ的面积为 【答案】AC 【分析】设，由题意可求得， ，中，利用正弦定理求得，即可求得双曲线得离心率；通过设点表示出，利用切线求得P，Q两点坐标，可求△OPQ的面积． 【详解】直线和直线，是双曲线C：的两条渐近线，    设，则有， 又垂直于渐近线，渐近线方程为，，， ，而，， ， 在中，，由正弦定理：， ，，， ，A选项正确； 双曲线C的方程为：，渐近线为， 过点的切线与双曲线切于点，则有， 又，均在双曲线的渐近线上，故设， 又，， ， 当点为切点时，由，切线斜率存在， 设切线方程为，代入双曲线方程， 得 令，得，解得， 过点的切线方程为， 切线方程代入，解得， 切线方程代入，解得， ， ，则C选项正确. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 1.求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值． 2.解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】 根据二项式展开式有关知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 13．已知实数成公差非零的等差数列，集合，，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】实数成公差非零的等差数列，则直线过定点，由，点在以为直径的圆上，可求圆外的点到圆上的点的最大距离. 【详解】成公差非零的等差数列，则，动直线变形为， 令，解得，动直线过定点，直线的一个法向量为， 若，则直线，点在以为直径的圆上，圆心为中点，半径，，则的最大值为. 故答案为：   14．已知函数 的部分图象如图所示，则下列四个结论： ①关于点对称；      ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. 正确结论的序号为 . 【答案】②③ 【分析】先由图象求出，接着将点代入函数结合正弦函数性质和求得，再由和求出，进而求得函数解析式，对于①，计算即可判断；对于②，计算即可判断；对于③，先求出的单调递减区间即可判断；对于④，由得即可得，从而即可求出在区间上的值域. 【详解】由图得，，故有， 将点代入函数得，即， 所以或，又， 所以，故， 又，所以， 所以， 又由图像可知，又， 所以，所以，所以， 对于①，因为，所以不关于点对称，故①错； 对于②，因为，故②正确； 对于③，令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 故当时，函数在区间上单调递减， 因为，所以函数在区间上单调递减，故③正确； 对于④，时，，所以， 所以，所以在区间上的值域为，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由图象求出函数的解析式，而求是本题难点，故求函数的解析式的关键在于求出，通过图像特征得出和即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）构造函数，利用导函数与单调性、最值的关系即可证明. 【详解】（1）,， ,所以切点为，由点斜式可得，， 所以切线方程为：. （2）由题可得， 设， ， 所以当时，， 当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 16．（15分）如图，在三棱柱中，中，侧面为正方形，平面平面，，. (1)求证：； (2)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由为正方形，推出，再由面面垂直推出线线垂直，再证明线面垂直，推出线线垂直； （2）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面法向量求解即可. 【详解】（1）因为侧面为正方形，所以. 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）由（1）知，，，， 故以为原点，分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，. 设，其中. 则， 所以， 又. 设平面的一个法向量为， 则，所以， 令，，所以. 由题意，为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 解得或（舍）. 所以. 17．（15分）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）题目告诉了椭圆焦距和顶点，即知道了，再由，即可求解； （2）由对称性可设，则，通过表示直线的方程，求得的坐标，从而表示出面积，再根据点Ｐ在椭圆上，得到与的关系以及的范围，即可求解. 【详解】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为. （2）如图所示， 因为四边形是平行四边形， 所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称. 设，则且，， 所以直线的方程为， 令，得，即. 又，直线的方程为， 令，得，即. 四边形面积为， ①， 因为点在椭圆上， 所以且， 所以②， 将②代入①得， 所以当时，. 所以四边形面积的最小值为. 18．（17分）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图： (1)估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） (2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，） (3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析， 【解析】（1）； （2）由，∴，， . （3）小兔子开始在第1格，为必然事件，， 点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即， 小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况. ①小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为； ②小兔了先跳到第格，又点一下开始按钮跳了1格，其概率为； ∵，∴． ∴当时， 数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ． ∴获胜的概率． 19．（17分）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由见解析 【解析】（1）， 其中. （2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值， 理由如下： ， 只需，则， 即，整理得， 因为，， 所以，，， 则， 所以，则， 所以， 即， 整理得，故， 因为，所以，， 则，， 检验，将，代入得 ，满足要求， 故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值， 此时. 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷 黄金卷08·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A C B A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。 9 10 11 ABC ABD AC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14.②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）,， ,所以切点为，由点斜式可得，， 所以切线方程为：. （2）由题可得， 设， ， 所以当时，， 当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 16．（15分） 【详解】（1）因为侧面为正方形，所以. 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）由（1）知，，，， 故以为原点，分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，. 设，其中. 则， 所以， 又. 设平面的一个法向量为， 则，所以， 令，，所以. 由题意，为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 解得或（舍）. 所以. 17．（15分） 【详解】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为. （2）如图所示， 因为四边形是平行四边形， 所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称. 设，则且，， 所以直线的方程为， 令，得，即. 又，直线的方程为， 令，得，即. 四边形面积为， ①， 因为点在椭圆上， 所以且， 所以②， 将②代入①得， 所以当时，. 所以四边形面积的最小值为. 18．（17分） 【解析】（1）； （2）由，∴，， . （3）小兔子开始在第1格，为必然事件，， 点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即， 小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况. ①小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为； ②小兔了先跳到第格，又点一下开始按钮跳了1格，其概率为； ∵，∴． ∴当时， 数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ． ∴获胜的概率． 19．（17分） 【解析】（1）， 其中. （2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值， 理由如下： ， 只需，则， 即，整理得， 因为，， 所以，，， 则， 所以，则， 所以， 即， 整理得，故， 因为，所以，， 则，， 检验，将，代入得 ，满足要求， 故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值， 此时. 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷 黄金卷08 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ） A．10 B．13 C．18 D．26 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（    ） A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．一组数据为，下列说法错误的是（    ） A．众数是6 B．中位数是 C．平均数是7 D．标准差是 10．如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交于点Q，点P在运动过程中始终满足．下列说法中正确的为（    ） A．直线与点P的轨迹无公共点 B．存在点P使得 C．三棱锥体积最大值为 D．点P运动轨迹长为 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，过P作C的切线交直线于点Q，则（    ） A．C的离心率为 B．C的离心率为 C．△OPQ的面积为 D．△OPQ的面积为 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 13．已知实数成公差非零的等差数列，集合，，若，则的最大值为 . 14．已知函数 的部分图象如图所示，则下列四个结论： ①关于点对称；      ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. 正确结论的序号为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 16．（15分）如图，在三棱柱中，中，侧面为正方形，平面平面，，. (1)求证：； (2)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 17．（15分）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 18．（17分）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图： (1)估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） (2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，） (3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值. 19．（17分）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$