高二数学期末模拟卷02（新高考地区专用，空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列+导数）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

学易金卷 精创试 卷 ①R 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B , C 。 A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 10 11 BCD ACD ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 13. 14. 15 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)抛物线v-8x的焦点为(2.0). ## 由题意得 1,解得a②-8,b2-4. a2-b+22 (2)直线/的斜率存在,设斜率为灰: 直线/的方程为v-1=k(x+2),即y=x+2k+1 y=x+2k+1 消去y得.(.2”+.1)r?+4(1+)x+8}+.8-6.-0. ............9分 设A(xy).B(x2y2) 因为+-2,即x+x:-~4, 2 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究! _ 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 4k(1+2k) 所以一 --4 ,-......................1分 1+2} 此时A=24>0满足题意 所以所或求...............分 16.(15分) 【详解】(1)由a.=3,+2,得a+1=3a,+2+1,即a.+1=3(a+1),.分 +1-3(nz2.neN"). 又a+1=3z0,有 1 所以数列....是首项....为..等.数列.................6分 .S$1×1)]1)△(nR)1()①, ............... 135$.1×1)}+31)(n))"②, ①-②得 --)})1)-(一分() ........... #1#(]# 1(2-0()--2(1). # 1.-1(分0(1)( 0 -11. ..................... 17.(15分) 【详解】(1)由题可知,/'(x)=3x}-8ax-3a}, f"(x)=6x-8a, 24 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 因为(4.f(4))是函数f(×)的“拐点”, 所以f”(4)=6x4-8a=0,解得a =3 .............. 所以f(x)-x*-12x-27x+2, f(x)=3x2-24x-27. 令/(x)>0,得x<-1或x>9. 令f’(x)<0,得-1<x<9. 所以函数/f(x)的单调递减区间为(-1.9),单调递增区间为-x,-1)和(9,+).........-7分 (2)由(1)可知,函数f(x)的拐点横坐标为 4 .................. 所以/(1)的单减区问为(-3). 单调增区问为(-2- 和3a,+), ...........1..分. 所以f(x)的极小值为f(3a]=2-18a*. ...........................样... 当2-18a-0,即a=- 3 2 18.(17分) 【详解】(1)过A作4F1CD,垂足为F,则DF=1: 如图,以A为坐标原点,分别以AE.AB.AP为x,y.轴建立空间直角坐标系,...........1分 则A(0.0.0).B(0.1.0).E 22.0.0).D22.-1.0).C 22.1.0).P(0.0.1) N为PD的中点,:.MV2.-,则ANV2.-). BP=(0.-1.1),BC=22.0.0). 设平面PBC的一个法向量为i=(x.yz). 原创精品资源学科网独家享有版权, # 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 {$BP=-+=$ 则 令y三 .........................分 .BC-22x=0' 11 .AN.m=- --0,即AN1, 2+2 又AN . 苹平.所.以....甲.平........5分 2 (2)设平面PAD的一个法向量为i=(a,b.c),AP=(0.0.1),AD=(22,-1.0). [AP.n=c=0 所以 令-1,..........1. 4D.n=2v2a-b-0' ln:i 22 cos(i,iì)={ 所以 1| 2×13+(2、2)} ...............1... 即平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为2; ................... 3 假设线段PD上存在一点M,设M(x,y,z),DM=aDP,ael0,1]. -22.y+1.)=(-2v21.1)M(22-22-1.) 则CM=(-2v2-2.a).... 26 平面PBC的一个法向量 i=(0.1.1), 2 CM:l# 22-2l . 26 (CM|网 82+(-2)}+32' 化简得17”-550+2.40,即.13-2)(.7-11=0.,.............15分 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究! , 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 :_[0.1]l.:-_2 DM2 ,故存在M,且 DP3 ....................... 19.(17分) 【详解】(1)由题意得2m-1>1,且(m2+1)-2m>1,解得m>2,所以实数m的取值范围是(2.+oo)........ 3分 (2)不存在,理由:假设存在等差数列a.符合要求,设公差为d,则d>1; 2 2 当n=1时,dER: 当n1时,n+2 恒成立, n-1 因为n+2n-1+3 3=13 一>1,所以d<1,与d>1矛盾, 一1 n-1 n-1 所以这样的等差数列a.不存在. (3)设数列a.]的公比为q,则a。=aq”. 因为a的每一项均为正整数,且a-a.=aq-a.=a.(q-l)>1>0 所以在a一a中,a一a为最小项 同理, 由a为“x数列”,只需a。-a>1,即a(q-)>1. 由数列a. 的每一项均为正整数,可得a(q-1)-2, 所以.........2.......谁.分. 当=1.q=3时,a.=3--,则b.-- 3x t1 13* 3r 二-3,一 令c.=b.-b.(neN'),则c.=- 2n+1 n+2 n+1 (n+1)(n+2)' 原创精品资源学科网独家享有版权, # 侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 2n+3 2n+1 3 4n^{}+8n+6 --3”._ 又3*1._ ->0. (n+2)(n+3) (n+1)(n+2) n+2 (n+1)(n+3) 所以c为...列,.................”分 所以对于任意的.N”,都有...人.. .,即数列.. 为为“K数列”.....15分 当a=2,q=2时,a.-2”,则b.- 2 n: 3 综上所述,当a=1.q=3时,a.=3r,数列b为“K数列”; 当a=2.q=2时,a.=2”,数列b不是“K数列”。 _ 原创精品资源学科网独家享有版权, 侵权必究! 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列+导数。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知直线 2 1 0x my m    和直线 1 0mx y   平行，则实数m的值为（ ） A．0 B． 1 C．1 D． 1 或1 2．设等差数列 na 的前n项和为 nS ，且公差不为 0，若 4a ， 5a ， 7a 构成等比数列， 11 66S  ，则 8a （ ） A．7 B．8 C．10 D．12 3．已知向量    1 2 1 1m n t t      ，， , ，， ，且m   平面 ,n   平面 ，若平面 与平面 的夹角的余弦值为 2 2 3 ， 则实数 t的值为（ ） A． 1 2 或 1 B． 1 5 或 1 C． 1 或 2 D． 1 2  4．直线 : 6l y x  与圆 2 2 2: ( )0O x y r r   交于 ,A B两点，使得 OAB△ 恰好为正三角形，则 r 的值为（ ） A．2 2 B． 6 C．2 D． 3 5．已知 0a  ， 0b  ，若直线 2 0x y a   是函数  ln 1 1y x b    的一条切线，则 1 2 a b  的最小值是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．已知点  3,0M  ，点 P是圆 2 2: 6 55 0N x x y    上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则 动点Q的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1 16 9 x y   B． 2 2 1 16 7 x y   C． 2 2 1 9 16 x y   D． 2 2 1 7 16 x y   7．已知函数 π ( ) 2sin sin 2 , [0, ] 2 f x x x x   ，则 ( )f x 的最大值为（ ）. A．2 B． 3 3 2 C． 2 1 D． 3 1 2  8．阅读材料：数轴上，方程  0 0Ax B A   可以表示数轴上的点，平面直角坐标系 xOy中，方程 0Ax By C   （A 、 B不同时为 0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系O xyz 中，方程 0Ax By Cz D    （A 、 B、C不同时为 0）可以表示坐标空间内的平面.过点  0 0 0, ,P x y z 且一个法向量 为𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)的平面 的方程可表示为      0 0 0 0a x x b y y c z z      .阅读上面材料，解决下面问题： 已知平面 的方程为3 5 7 0x y z    ，直线 l是两平面 3 7 0x y   与4 2 1 0y z   的交线，则直线 l与平 面 所成角的正弦值为（ ） A． 10 35 B． 7 5 C． 7 15 D． 14 35 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知点 P在左､右焦点分别为 1 2,F F 的双曲线 2 2: 1 4 x C y  上， 1 2 12PF PF  ，则（ ） A．渐近线方程为 2y x  B．离心率为 5 2 C． 1 2 15 cos 16 F PF  D． 1 2 31PF FS  10．如图，六面体 ABCDEFG的一个面 ABCD是边长为 2 的正方形，AE，CF，DG均垂直于平面 ABCD， 且 1AE  ， 2CF  ，则下列正确的有（ ） A． AC BG B．直线 AB与直线GF 所成角的余弦值为 1 2 C．平面 ABCD与平面EBFG所成角的余弦值为 2 3 D．当 1DP  时，动点 P到平面EBFG的距离的最小值为 1 11．已知函数   3 3 1f x ax x   ，则（ ） A．若 1a  ，则  f x 有三个零点 B．若 0a  ，则函数  f x 存在2个极值点 C．  f x 在  1,1 单调递减，则 1a  D．若   0f x  在  1,1 恒成立，则 4a  试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知点  ,P x y 在圆 2 2 2 4 4 0x y x y     上运动，则 x y 的最小值是 . 13．已知点M 在抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  上，过M 作C的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C的焦点．若 60HMF   ，点M 的横坐标为 1，则 p  ． 14．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     和双曲线 2 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b b      在第一象限的交点为 P，椭圆C 的右焦点为F ，OP  在OF  方向上的投影向量为 5 2 OF  ，则椭圆C的离心率为 ；双曲线E的渐近线方 程为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     过点 (2, 2)，且其一个焦点与抛物线 2 8y x 的焦点重合. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线 AB与椭圆C交于A ， B两点，若点 ( 2,1)M  是线段 AB的中点，求直线 AB的方程. 16．（15 分）已知数列 na 中  *1 12, 3 2 2, Nn na a a n n     ． (1)证明：数列 1na  是等比数列； (2)若数列 nb 的通项公式为 2 1 1n n n b a    ，求数列  nb 的前n项和 nS ； 17．（15 分）给出定义：设  f x 是函数  y f x 的导函数，  f x 是函数  f x 的导函数，若方程   0f x  有实数解 0x x ，则称   0 0,x f x 为函数  y f x 的“拐点”．已知函数   3 2 24 3 2f x x ax a x    ． (1)若   4, 4f 是函数  f x 的“拐点”，求 a的值和函数  f x 的单调区间； (2)若函数  f x 的“拐点”在 y轴右侧，讨论  f x 的零点个数． 18．（17 分）如图，在四棱锥 P ABCD ，PA 平面 ABCD， / /AB CD，且 2CD  ， 1AB  ， 2 2BC  ， 1PA  ， AB BC ，N 为 PD的中点. (1)求证： / /AN 平面PBC ； (2)求平面PAD与平面PBC 所成二面角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是 26 26 ，若存在，求出 DM DP 的 值，若不存在，说明理由. 19．（17 分）对于 *Nn  ，若数列 nx 满足 1 1n nx x   ，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列 1，2m， 2 1m  是“K数列”，求实数 m的取值范围． (2)是否存在首项为−2的等差数列 na 为“K数列”，且其前 n项和 nS 使得 2 1 2n S n n  恒成立?若存在，求出 数列 na 的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列 na 是“K数列”，数列 1 2 n a       不是“K数列”，若 1 1 n n a b n   ，试判断数列 nb 是否为“K数列”，并说明理由． 2024-2025学年高二数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列+导数。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线和直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 2．设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 3．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 4．直线与圆交于两点，使得恰好为正三角形，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 5．已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的最大值为（     ）. A．2 B． C． D． 8．阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 10．如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．当时，动点到平面的距离的最小值为1 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 13．已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则 ． 14．已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 16．（15分）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 17．（15分）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 18．（17分）如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 19．（17分）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列+导数。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线和直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 2．设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 3．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 4．直线与圆交于两点，使得恰好为正三角形，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 5．已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则的最大值为（     ）. A．2 B． C． D． 8．阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 10．如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．当时，动点到平面的距离的最小值为1 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 13．已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则 ． 14．已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 16．（15分）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 17．（15分）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 18．（17分）如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 19．（17分）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列+导数。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线和直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为直线和直线平行，所以，解得， 当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意，舍去. 故选：B 2．设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】设公差为， 由题意可得， 即， 解得舍去，或，所以， 可得. 故选：C. 3．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 4．直线与圆交于两点，使得恰好为正三角形，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 若恰好为正三角形，则. 故选：C. 5．已知，，若直线是函数的一条切线，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切线的切点为，则. 且由，及该直线斜率为，知. 所以，故，从而代入知，即. 所以 当，时，有，. 所以的最小值是. 故选：C. 6．已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 7．已知函数，则的最大值为（     ）. A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由于，则， 令,即，解得，,即，解得， 因此在单调递增，在单调递减， 故， 故选：B 8．阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 设两平面的交线的方向向量为， 由，令，则， 所以两平面的交线的方向向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故选：A． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确. 不妨设点在的右支上，则.因为， 所以.在中，， 则， 所以的面积， 故C，D正确. 故选：BCD 10．如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．当时，动点到平面的距离的最小值为1 【答案】ACD 【详解】对A，由平面，平面，得，又由正方形可得，又平面，所以平面， 由平面，可得，故A正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则， 设是平面的法向量，， 由，令，可得， ， ，解得，即， 对B，，，故B错误； 对C，平面的法向量，平面的法向量， 则，故C正确； 对D，由知，在以为球心，半径为1的球面上，， 球心到平面的距离， 到平面的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A：若，，，由，得：， 当时，，得：在上单调递减； 当和时，，得：在和上单调递增； 所以函数有极大值，有极小值， 所以三次函数有三个零点，故A选项正确； 对于选项B，若，， 由，得有两个解， 当和时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以存在两个极值点，故B选项正确； 对于选项C，由题意可知：是解集的子集， 当时，显然恒成立； 当时，，由于，可得：，即； 综上可得：，故C选项错误； 对于选项D，当时，恒成立， 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，则； 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 所以，则； 综上所述：若在恒成立，则，故D选项正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 13．已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则 ． 【答案】 【详解】如图所示，不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为， 联立方程组，解得，即， 又由，可得轴，因为，可得， 所以直线的倾斜角为， 因为抛物线的焦点为，则， 整理得且，解得， 即，解得或（舍去）. 故答案为：.    14．已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 / 【详解】 设椭圆的半焦距为， 则，，① 因为在方向上的投影向量为，点在第一象限， 所以点的横坐标， 代入椭圆的方程得， 又点在双曲线上， 所以，② 由①②解得，， 所以椭圆的离心率为； 双曲线的渐近线方程为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为..................................................................5分 （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：，..............................9分 设， 因为，即， 所以，解得，..............................................................11分 此时满足题意 所以所求直线的方程为...............................................................13分 16．（15分）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 【详解】（1）由，得，即，..............2分 又，有， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.................................................6分 （2）由（1）得，则有，....................7分 ，....................................................8分 ，...................................................10分 ①-②得.........................12分 ， ，即.................................................................15分 17．（15分）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 【详解】（1）由题可知，， ， .............................................................2分 因为是函数的“拐点”， 所以，解得． .......................4分 所以， ． 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和..........................7分 （2）由（1）可知，函数的拐点横坐标为，所以， ............................................8分 令，解得或； 令．解得． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， ..................10分 所以的极小值为， 的极大值为． .......................................................................................12分 当，即时，有三个零点; ...........................................................................13分 当，即时，有两个零点;...........................................................................14分 当，即时，有一个零点............................................................................15分 18．（17分）如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【详解】（1）过作，垂足为，则， 如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，.....................1分 则， 为的中点，，则， ， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，解得，....................................................................3分 ，即， 又平面，所以平面；..................................................................................5分 （2）设平面的一个法向量为， 所以 ，令，解得，.................................8分 所以 ，..................................................10分 即平面与平面所成二面角的余弦值为；................................................11分 （3）存在，且，理由如下： 假设线段上存在一点，设， ， 则....................................................................................13分 又直线与平面所成角的正弦值为， 平面的一个法向量， ， 化简得，即，.................................15分 ，故存在，且......................................................17分 19．（17分）对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由． 【详解】（1）由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是．..................3分 （2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得．....................................4分 由题意，得对均成立，即．...........................5分 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在．............................................................................................8分 （3）设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项 同理，中，为最小项................................................................................10分 由为“K数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或．..........................................................................................12分 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即，.........................................................14分 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”．..........................15分 当时，，则． 因为，所以数列不是“K数列”． 综上所述，当时，，数列为“K数列”； 当时，，数列不是“K数列”．.......................................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期末考试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列+导数。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知直线 2 1 0x my m    和直线 1 0mx y   平行，则实数m的值为（ ） A．0 B． 1 C．1 D． 1 或1 【答案】B 【详解】因为直线 2 1 0x my m    和直线 1 0mx y   平行，所以 2 1 0m   ，解得 1m   ， 当 1m  时，两直线方程分别为 1 0x y   ， 1 0x y   重合，不符合题意，舍去. 故选：B 2．设等差数列 na 的前n项和为 nS ，且公差不为 0，若 4a ， 5a ， 7a 构成等比数列， 11 66S  ，则 8a （ ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】设公差为d， 由题意可得 5 5 4 7 11 1 10 11 11 66 2 a a a a S a d          ， 即      21 1 1 1 4 3 6 11 55 66 a d a d a d a d          ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 解得 1 0 6 d a    舍去，或 1 2 4 d a     ，所以  4 2 1 2 6na n n      ， 可得 8 16 6 10  a . 故选：C. 3．已知向量    1 2 1 1m n t t      ，， , ，， ，且m   平面 ,n   平面 ，若平面 与平面 的夹角的余弦值为 2 2 3 ， 则实数 t的值为（ ） A． 1 2 或 1 B． 1 5 或 1 C． 1 或 2 D． 1 2  【答案】B 【详解】因为    1 2 1 1m n t t      ，， , ，， 所以 22 2 6 1 2m n t m n t          ， ， ， 因为m   平面 ,n   平面 ，若平面 与平面 的夹角的余弦值为 2 2 3 ， 所以 2 2 2 2 2 36 1 2 t t     ，化简得 25 6 1 0t t   ，解得 1 5 t  或 1． 故选：B 4．直线 : 6l y x  与圆 2 2 2: ( )0O x y r r   交于 ,A B两点，使得 OAB△ 恰好为正三角形，则 r 的值为（ ） A．2 2 B． 6 C．2 D． 3 【答案】C 【详解】由题意可知：圆O的圆心为  0,0O ，半径为 r ， 则圆心  0,0O 到直线 : 6 0l x y   的距离 6 3 2 d   ， 若 OAB△ 恰好为正三角形，则 3 2 sin 60 3 2 d r     . 故选：C. 5．已知 0a  ， 0b  ，若直线 2 0x y a   是函数  ln 1 1y x b    的一条切线，则 1 2 a b  的最小值是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】设切线 2 0x y a   的切点为   , ln 1 1t t b   ，则   ln 1 1 2 0t t b a      . 且由 1 1 y x b     ，及该直线斜率为1，知 1 1 1t b    . 所以 1 1t b   ，故 2t b  ，从而代入   ln 1 1 2 0t t b a      知  2 ln1 1 2 0b a     ，即2 1a b  . 所以  1 2 1 2 4 42 2 2 2 4 8b a b aa b a b a b a b a b                 当 1 4 a  ， 1 2 b  时，有 2 1 2 1 4 2 a b    ， 1 2 4 2 2 8 a b      . 所以 1 2 a b  的最小值是8 . 故选：C. 6．已知点  3,0M  ，点 P是圆 2 2: 6 55 0N x x y    上一动点，线段 MP的垂直平分线交NP于点Q，则动 点Q的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1 16 9 x y   B． 2 2 1 16 7 x y   C． 2 2 1 9 16 x y   D． 2 2 1 7 16 x y   【答案】B 【详解】 由题意得  2 23 64x y   ，圆心  3,0 ，半径 8r  ， 因为 QM QP ， 8 6QN QM QP QN NP MN       ， 所以点Q的轨迹是以 ,M N 为焦点的椭圆，其中 22 8,2 6, 3, 4, 7a c c a b       ， 所以动点Q的轨迹方程为 2 2 1 16 7 x y   ， 故选：B. 7．已知函数 π ( ) 2sin sin 2 , [0, ] 2 f x x x x   ，则 ( )f x 的最大值为（ ）. A．2 B． 3 3 2 C． 2 1 D． 3 1 2  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【答案】B 【详解】       22cos 2cos 2 2 2cos cos 1 2 cos 1 2cos 1f x x x x x x x         ， 由于 π 0, 2 x      ，则cos 0x  ， 令   0f x  ,即 1cos 2 x  ，解得 π 0 3 x  ，   0f x  ,即 1cos 2 x  ，解得 π π 3 2 x  ， 因此  f x 在 π0, 3       单调递增，在 π π , 3 2       单调递减， 故  max π 3 3 3 3 2 3 2 2 2 f x f          ， 故选：B 8．阅读材料：数轴上，方程  0 0Ax B A   可以表示数轴上的点，平面直角坐标系 xOy中，方程 0Ax By C   （A 、 B不同时为 0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系O xyz 中，方程 0Ax By Cz D    （A 、B、C不同时为 0）可以表示坐标空间内的平面.过点  0 0 0, ,P x y z 且一个法向量为 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)的平面 的方程可表示为      0 0 0 0a x x b y y c z z      .阅读上面材料，解决下面问题：已 知平面 的方程为3 5 7 0x y z    ，直线 l是两平面 3 7 0x y   与4 2 1 0y z   的交线，则直线 l与平面 所成角的正弦值为（ ） A． 10 35 B． 7 5 C． 7 15 D． 14 35 【答案】A 【详解】因为平面 的方程为3 5 7 0x y z    ，所以平面 的法向量可取 (3, 5,1)m    ， 平面 3 7 0x y   的法向量为 (1, 3,0)a    ， 平面4 2 1 0y z   的法向量为 (0,4,2)b   ， 设两平面的交线 l的方向向量为 ( , , )c p q r   ， 由 · 3 0 · 4 2 0 c a p q c b q r           ，令 3p  ，则 1, 2q r  ， 所以两平面的交线 l的方向向量为 (3,1, 2)c    ， 设直线 l与平面 所成角的大小为 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 则 2 10 sin cos , 3514 35 c m       . 故选：A． 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知点 P在左､右焦点分别为 1 2,F F 的双曲线 2 2: 1 4 x C y  上， 1 2 12PF PF  ，则（ ） A．渐近线方程为 2y x  B．离心率为 5 2 C． 1 2 15 cos 16 F PF  D． 1 2 31PF FS  【答案】BCD 【详解】因为 2, 1a b  ，所以 2 2 5,c a b C   的渐近线方程为 1 2 y x  ，离心率 5 2 e  ，故 A 错误，B 正确. 不妨设点 P在C的右支上，则 1 2 4PF PF  .因为 1 2 12PF PF  ， 所以 1 28, 4PF PF  .在 1 2PFF 中， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 15 cos 2 16 PF PF F F F PF PF PF      ， 则 2 2 1 2 1 2 15 31 sin 1 cos 1 16 16 FPF FPF            ， 所以 1 2PFF 的面积 1 2 1 2 1 2 1 1 31 sin 8 4 31 2 2 16PF F S PF PF F PF       ， 故 C，D 正确. 故选：BCD 10．如图，六面体 ABCDEFG的一个面 ABCD是边长为 2 的正方形，AE，CF，DG均垂直于平面 ABCD， 且 1AE  ， 2CF  ，则下列正确的有（ ） A． AC BG 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 B．直线 AB与直线GF 所成角的余弦值为 1 2 C．平面 ABCD与平面EBFG所成角的余弦值为 2 3 D．当 1DP  时，动点 P到平面EBFG的距离的最小值为 1 【答案】ACD 【详解】对 A，由GD 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，得GD AC ，又由正方形可得 AC BD ，又 , ,GD BD D GD BD  平面GBD，所以 AC 平面GBD， 由 BG 平面GBD，可得 AC BG ，故 A 正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0), (2,0,0), (2, 2,0), (0, 2,0), (0, 2, 2), (2,0,1), (0,0, )D A B C F E G h ， 设 ( , , )n x y z  是平面BEGF 的法向量， (0, 2,1), ( 2,0,2)BE BF      ， 由 2 0 2 2 0 n BE y z n BF x z               ，令 1y  ，可得 (2,1, 2)n   ， , ( 2, 2, )n BG BG h        ， 4 2 2 0n BG h         ，解得 3h  ，即 (0,0,3)G ， 对 B， (0,2,0), (0, 2, 1)AB GF      ， 4 2 5 cos , 54 5 AB GF AB GF AB GF            ，故 B 错误； 对 C，平面 ABCD的法向量 (0,0,1)m   ，平面BEGF 的法向量 (2,1, 2)n   ， 则 2 2 cos , 39 m n m n m n           ，故 C 正确； 对 D，由 1DP  知， P在以D为球心，半径为 1 的球面上， (2,2,0)DB    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 球心到平面EBFG的距离 6cos , 2 9 DB n d DB DB n n           ， P 到平面EBFG的距离的最小值为 2 1 1d r    ，故 D 正确. 故选：ACD 11．已知函数   3 3 1f x ax x   ，则（ ） A．若 1a  ，则  f x 有三个零点 B．若 0a  ，则函数  f x 存在2个极值点 C．  f x 在  1,1 单调递减，则 1a  D．若   0f x  在  1,1 恒成立，则 4a  【答案】ABD 【详解】对于选项 A：若 1a  ，   3 3 1f x x x   ，   23 3f x x  ，由   0f x  ，得： 1x   ， 当𝑥 ∈ (−1,1)时，𝑓 (𝑥) < 0，得：  f x 在𝑥 ∈ (−1,1)上单调递减； 当  , 1x    和(1,+∞)时，𝑓 (𝑥) > 0，得：  f x 在  , 1  和(1,+∞)上单调递增； 所以函数  f x 有极大值  1 3 0f    ，  f x 有极小值  1 1 0f    ， 所以三次函数  f x 有三个零点，故 A 选项正确； 对于选项 B，若 0a  ，   3 3 1f x ax x   ， 由   23 3 0f x ax    ，得 2 1x a  有两个解， 当 , a x a           和 , a a         时，𝑓 (𝑥) > 0，  f x 在 , a a          和 , a a         上单调递增； 当 , a a x a a         时，𝑓 (𝑥) < 0，  f x 在 ,a a a a        上单调递减， 所以  f x 存在两个极值点，故 B 选项正确； 对于选项 C，由题意可知：  1,1x  是   0f x  解集的子集， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 当 0a  时，显然   0f x  恒成立； 当 0a  时， 2 1 x a  ，由于  1,1x  ，可得： 1 1 a  ，即0 1a  ； 综上可得： 1a  ，故 C 选项错误； 对于选项 D，当 0x  时，  0 1 0f   恒成立， 当 0x  ，令   0f x  ，则 2 3 3 1 a x x   ， 令   2 3 3 1 g x x x   （  0,1x ），    3 4 4 3 1 26 3 x g x x x x      ， 当 1 0 2 x  时，   0g x  ，  g x 单调递增； 当 1 1 2 x  时，   0g x  ，  g x 单调递减； 故   1 4 2 g x g       ，则 4a  ； 当 0x  ，令   0f x  ，则 2 3 3 1 a x x   ， 令   2 3 3 1 h x x x   （  1,0 x ），    3 4 4 3 1 26 3 x h x x x x      ， 当 1 0x   时，ℎ (𝑥) > 0，ℎ(𝑥)单调递增； 所以    1 4h x h   ，则 4a  ； 综上所述：若   0f x  在  1,1 恒成立，则 4a  ，故 D 选项正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知点  ,P x y 在圆 2 2 2 4 4 0x y x y     上运动，则 x y 的最小值是 . 【答案】 4 3  【详解】由 2 2 2 4 4 0x y x y     得 2 2( 1) ( 2) 1x y    ， 故圆的圆心为  1, 2 ，半径为 1，当  0, 2P  时， 0 0 2 0 x y     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 当   , 0P x y x  时， 0 1 1 00 0 OP x x yy y k x       ， 如图可知 0OPk < ，故此时 x y 的最小值是直线OP斜率 k的最大值的倒数， 令 y kx ，即 0kx y  ，则圆心到该直线的距离满足 2 2 1 1 k d k     ， 两边平方整理得4 3 0k   ，解得 3 4 k   ，故此时 x y 的最小值是 4 3  ， 又 4 0 3   ，故 x y 的最小值为 4 3  . 故答案为： 4 3  . 13．已知点M 在抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  上，过M 作C的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C的焦点．若 60HMF  ，点M 的横坐标为 1，则 p  ． 【答案】 2 3 【详解】如图所示，不妨设点M 在第一象限，因为点M 的横坐标为1， 联立方程组 2 2 1 y px x     ，解得 1, 2x y p  ，即 (1, 2 )M p ， 又由MH l ，可得 / /MH x轴，因为 60HMF  ，可得 60xFM HMF    ， 所以直线PF 的倾斜角为60， 因为抛物线的焦点为 ( ,0) 2 p F ，则 2 0 3 1 2 MF p k p     ， 整理得2 2 3(2 )p p  且2 0p  ，解得0 2p  ， 即 23 20 12 0p p   ，解得 2 3 p  或 6p  （舍去）. 故答案为： 2 3 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 14．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     和双曲线 2 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b b      在第一象限的交点为 P，椭圆C 的右焦点为F ，OP  在OF  方向上的投影向量为 5 2 OF  ，则椭圆C的离心率为 ；双曲线E的渐近线方 程为 . 【答案】 15 5 / 1 15 5 6 3 y x  【详解】 设椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的半焦距为c， 则𝐹(𝑐, 0)， 2 2 2a b c  ，① 因为OP  在OF  方向上的投影向量为 5 2 OF  ，点 P在第一象限， 所以点 P的横坐标 5 2P x c ， 代入椭圆C的方程得  2 2 22 2 4 5 4P b a c y a   ， 又点 P在双曲线 2 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b b      上， 所以   2 2 2 22 2 5 4 5 1 44 c a c aa b     ，② 由①②解得 2 2 5 3 a c ， 2 2 2 3 b c ， 所以椭圆C的离心率为 3 15 5 5 c e a    ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 双曲线E的渐近线方程为 2 2 2 2 2 2 63 3 c y x x x b a b c        . 故答案为： 15 5 ； 6 3 y x  . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     过点 (2, 2)，且其一个焦点与抛物线 2 8y x 的焦点重合. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线 AB与椭圆C交于A ， B两点，若点 ( 2,1)M  是线段 AB的中点，求直线 AB的方程. 【详解】（1）抛物线 2 8y x 的焦点为 (2,0)， 由题意得 2 2 2 2 2 4 2 1 2 a b a b        ，解得 2 8a  ， 2 4b  ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 8 4 x y   ..................................................................5 分 （2）直线 l的斜率存在，设斜率为k， 直线 l的方程为 1 ( 2)y k x   ，即 2 1y kx k   ， 联立 2 2 2 1 1 8 4 y kx k x y        ， 消去 y 得： 2 2 2(2 1) 4 (1 2 ) 8 8 6 0k x k k x k k       ，..............................9 分 设𝐴(𝑥 , 𝑦 ), 𝐵(𝑥 , 𝑦 )， 因为 1 2 2 2    x x ，即 1 2 4x x   ， 所以 2 4 (1 2 ) 4 1 2 k k k      ，解得 1k  ，..............................................................11 分 此时 24 0   满足题意 所以所求直线 l的方程为 3 0x y   ...............................................................13 分 16．（15 分）已知数列 na 中  *1 12, 3 2 2, Nn na a a n n     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 (1)证明：数列 1na  是等比数列； (2)若数列 nb 的通项公式为 2 1 1n n n b a    ，求数列  nb 的前n项和 nS ； 【详解】（1）由 13 2n na a   ，得 11 3 2 1n na a     ，即  11 3 1n na a    ，..............2 分 又 1 1 3 0a    ，有  * 1 1 3 2, N 1 n n a n n a       ， 所以数列 1na  是首项为 3，公比为 3 的等比数列.................................................6 分 （2）由（1）得 11 3 3 3n nna     ，则有 2 1 1 (2 1) 3 3 n n n n b n          ，....................7 分 1 2 1 1 1 1 3 (2 1) 3 3 3 n nS n                           ①，....................................................8 分 2 3 1 1 1 1 1 1 3 (2 1) 3 3 3 3 n nS n                           ②，...................................................10 分 ①-②得 2 3 1 2 1 1 1 1 1 2 (2 1) 3 3 3 3 3 3 n n nS n                                     .........................12 分 1 1 1 1 1 9 31 1 2 (2 1) 13 31 3 n n n                       2 2 2 1 3 3 3 n n         ， 1 1 ( 1) 3 n nS n          ，即 1 1 3n n n S    .................................................................15 分 17．（15 分）给出定义：设  f x 是函数  y f x 的导函数，  f x 是函数  f x 的导函数，若方程   0f x  有实数解 0x x ，则称   0 0,x f x 为函数  y f x 的“拐点”．已知函数   3 2 24 3 2f x x ax a x    ． (1)若   4, 4f 是函数  f x 的“拐点”，求 a的值和函数  f x 的单调区间； (2)若函数  f x 的“拐点”在 y轴右侧，讨论  f x 的零点个数． 【详解】（1）由题可知，   2 23 8 3f x x ax a    ，   6 8f x x a   ， .............................................................2 分 因为   4, 4f 是函数  f x 的“拐点”， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 所以  4 6 4 8 0f a     ，解得 3a  ． .......................4 分 所以   3 212 27 2f x x x x    ，   23 24 27f x x x    ． 令   0f x  ，得 1x   或 9x  ， 令   0f x  ，得 1 9x   ， 所以函数  f x 的单调递减区间为  1,9 ，单调递增区间为 , 1  和  9, ..........................7 分 （2）由（1）可知，函数  f x 的拐点横坐标为 4 3 a ，所以 0a  ， ............................................8 分 令   0f x  ，解得 3 a x   或 3x a ； 令   0f x  ．解得 3 3 a x a   ． 所以  f x 的单调递减区间为 ,3 3 a a      ，单调递增区间为 , 3 a      和  3 ,a  ， ..................10 分 所以  f x 的极小值为   33 2 18f a a  ，  f x 的极大值为 3142 0 3 27 a f a       ． .......................................................................................12 分 当 32 18 0a  ，即 3 3 3 a  时，  f x 有三个零点; ...........................................................................13 分 当 32 18 0a  ，即 3 3 3 a  时，  f x 有两个零点;...........................................................................14 分 当 32 18 0a  ，即 3 3 0 3 a  时，  f x 有一个零点............................................................................15 分 18．（17 分）如图，在四棱锥 P ABCD ，PA 平面 ABCD， / /AB CD，且 2CD  ， 1AB  ， 2 2BC  ， 1PA  ， AB BC ，N 为 PD的中点. (1)求证： / /AN 平面PBC ； (2)求平面PAD与平面PBC 所成二面角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是 26 26 ，若存在，求出 DM DP 的 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 值，若不存在，说明理由. 【详解】（1）过A 作 AE CD ，垂足为E，则 1DE  ， 如图，以A 为坐标原点，分别以 , ,AE AB AP为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，.....................1 分 则            0,0,0 , 0,1,0 , 2 2,0,0 , 2 2, 1,0 , 2 2,1,0 , 0,0,1A B E D C P ， N 为 PD的中点， 1 1 2, , 2 2 N       ，则 1 1 2, , 2 2 AN        ，    0, 1,1 2 2,0,0BP BC   ， ， 设平面PBC 的一个法向量为  , ,m x y z ， 则 0 2 2 0 m BP y z m BC x             ，令 1y  ，解得  0,1,1m   ，....................................................................3 分 1 1 0 2 2 AN m        ，即 AN m   ， 又 AN 平面PBC ，所以 / /AN 平面PBC ；..................................................................................5 分 （2）设平面PAD的一个法向量为      , , , 0,0,1 , 2 2, 1,0n a b c AP AD     ， 所以 0 2 2 0 AP n c AD n a b            ，令 1a  ，解得  1, 2 2,0n  ，.................................8 分 所以  22 2 2 2 cos , 3 2 1 2 2 m n m n m n              ，..................................................10 分 即平面PAD与平面PBC 所成二面角的余弦值为 2 3 ；................................................11 分 （3）存在，且 2 3 DM DP  ，理由如下： 假设线段PD上存在一点M ，设    , , , , 0,1M x y z DM DP     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15      2 2, 1, 2 2,1,1 , 2 2 2 2 , 1,x y z M          ， 则  2 2 , 2,CM      ....................................................................................13 分 又直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为 26 26 ， 平面PBC 的一个法向量  0,1,1m  ， 2 2 2 2 226 26 8 ( 2) 2 CM m CM m                  ， 化简得 221 50 24 0    ，即   3 2 7 12 0    ，.................................15 分   20,1 , 3     ，故存在M ，且 2 3 DM DP  ......................................................17 分 19．（17 分）对于 *Nn  ，若数列 nx 满足 1 1n nx x   ，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列 1，2m， 2 1m  是“K数列”，求实数 m的取值范围． (2)是否存在首项为−2的等差数列 na 为“K数列”，且其前 n项和 nS 使得 2 1 2n S n n  恒成立?若存在，求出 数列 na 的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列 na 是“K数列”，数列 1 2 n a       不是“K数列”，若 1 1 n n a b n   ，试判断数列 nb 是否为“K数列”，并说明理由． 【详解】（1）由题意得2 1 1m  ，且  2 1 2 1m m   ，解得 2m  ，所以实数 m的取值范围是 (2, ) ．..................3 分 （2）不存在．理由：假设存在等差数列 na 符合要求，设公差为 d，则 1d  ， 由 1 2a   得 ( 1) 2 2n n n S n d     ．....................................4 分 由题意，得 2( 1) 12 2 2 n n n d n n      对 *n N 均成立，即 ( 1) 2n d n   ．...........................5 分 当 1n  时，dR ； 当 1n  时， 2 1 n d n    恒成立， 因为 2 1 3 3 1 1 1 1 1 n n n n n           ，所以 1d  ，与 1d  矛盾， 所以这样的等差数列 na 不存在．............................................................................................8 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 （3）设数列 na 的公比为 q，则 11 nna a q  ． 因为 na 的每一项均为正整数，且 1 ( 1) 1 0n n n n na a a q a a q        ， 所以在 1n na a  中， 2 1a a 为最小项 同理， 1 1 1 2 2n n a a       中， 2 1 1 1 2 2 a a 为最小项................................................................................10 分 由 na 为“K数列”，只需 2 1 1a a  ，即 1( 1) 1qa   ． 又因为 1 2 n a       不是“K数列”，且 2 1 1 1 2 2 a a 为最小项， 所以 2 1 1 1 1 2 2 a a  ，即 1( 1) 2a q   ． 由数列 na 的每一项均为正整数，可得 1( 1) 2qa   ， 所以 1 1, 3a q  或 1 2, 2a q  ．..........................................................................................12 分 当 1 1, 3a q  时， 13nna  ，则 3 1 n nb n   ． 令  *1n n nc b b n  N ，则 13 3 2 1 3 2 1 ( 1)( 2) n n n n n c n n n n           ， 又 2 1 2 3 2 1 3 4 8 63 3 0 ( 2)( 3) ( 1)( 2) 2 ( 1)( 3) n n nn n n n n n n n n n n                  ， 所以 nc 为递增数列，即 1 2 1n n nc c c c     ，.........................................................14 分 因为 2 1 3 3 3 1 2 2 b b     ， 所以对于任意的 *nN ，都有 1 1n nb b   ，即数列 nb 为“K数列”．..........................15 分 当 1 2, 2a q  时， 2nna  ，则 12 1 n nb n    ． 因为 2 1 2 1 3 b b   ，所以数列 nb 不是“K数列”． 综上所述，当 1 1, 3a q  时， 13nna  ，数列 nb 为“K数列”； 当 1 2, 2a q  时， 2nna  ，数列 nb 不是“K数列”．.......................................................17 分 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期期末考试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列+导数。 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知直线 2 1 0x my m    和直线 1 0mx y   平行，则实数m的值为（ ） A．0 B． 1 C．1 D． 1 或1 2．设等差数列 na 的前n项和为 nS ，且公差不为 0，若 4a ， 5a ， 7a 构成等比数列， 11 66S  ，则 8a （ ） A．7 B．8 C．10 D．12 3．已知向量    1 2 1 1m n t t      ，， , ，， ，且m   平面 ,n   平面 ，若平面 与平面 的夹角的余弦值为 2 2 3 ， 则实数 t的值为（ ） A． 1 2 或 1 B． 1 5 或 1 C． 1 或 2 D． 1 2  4．直线 : 6l y x  与圆 2 2 2: ( )0O x y r r   交于 ,A B两点，使得 OAB△ 恰好为正三角形，则 r 的值为（ ） A．2 2 B． 6 C．2 D． 3 5．已知 0a  ， 0b  ，若直线 2 0x y a   是函数  ln 1 1y x b    的一条切线，则 1 2 a b  的最小值是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．已知点  3,0M  ，点 P是圆 2 2: 6 55 0N x x y    上一动点，线段 MP的垂直平分线交NP于点Q，则动 点Q的轨迹方程为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． 2 2 1 16 9 x y   B． 2 2 1 16 7 x y   C． 2 2 1 9 16 x y   D． 2 2 1 7 16 x y   7．已知函数 π ( ) 2sin sin 2 , [0, ] 2 f x x x x   ，则 ( )f x 的最大值为（ ）. A．2 B． 3 3 2 C． 2 1 D． 3 1 2  8．阅读材料：数轴上，方程  0 0Ax B A   可以表示数轴上的点，平面直角坐标系 xOy中，方程 0Ax By C   （A 、 B不同时为 0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系O xyz 中，方程 0Ax By Cz D    （A 、B、C不同时为 0）可以表示坐标空间内的平面.过点  0 0 0, ,P x y z 且一个法向量为 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)的平面 的方程可表示为      0 0 0 0a x x b y y c z z      .阅读上面材料，解决下面问题：已 知平面 的方程为3 5 7 0x y z    ，直线 l是两平面 3 7 0x y   与4 2 1 0y z   的交线，则直线 l与平面 所成角的正弦值为（ ） A． 10 35 B． 7 5 C． 7 15 D． 14 35 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知点 P在左､右焦点分别为 1 2,F F 的双曲线 2 2: 1 4 x C y  上， 1 2 12PF PF  ，则（ ） A．渐近线方程为 2y x  B．离心率为 5 2 C． 1 2 15 cos 16 F PF  D． 1 2 31PF FS  10．如图，六面体 ABCDEFG的一个面 ABCD是边长为 2 的正方形，AE，CF，DG均垂直于平面 ABCD， 且 1AE  ， 2CF  ，则下列正确的有（ ） A． AC BG B．直线 AB与直线GF 所成角的余弦值为 1 2 C．平面 ABCD与平面EBFG所成角的余弦值为 2 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 D．当 1DP  时，动点 P到平面EBFG的距离的最小值为 1 11．已知函数   3 3 1f x ax x   ，则（ ） A．若 1a  ，则  f x 有三个零点 B．若 0a  ，则函数  f x 存在2个极值点 C．  f x 在  1,1 单调递减，则 1a  D．若   0f x  在  1,1 恒成立，则 4a  第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知点  ,P x y 在圆 2 2 2 4 4 0x y x y     上运动，则 x y 的最小值是 . 13．已知点M 在抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  上，过M 作C的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C的焦点．若 60HMF   ，点M 的横坐标为 1，则 p  ． 14．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     和双曲线 2 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b b      在第一象限的交点为 P，椭圆C 的右焦点为F ，OP  在OF  方向上的投影向量为 5 2 OF  ，则椭圆C的离心率为 ；双曲线E的渐近线方 程为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     过点 (2, 2)，且其一个焦点与抛物线 2 8y x 的焦点重合. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线 AB与椭圆C交于A ， B两点，若点 ( 2,1)M  是线段 AB的中点，求直线 AB的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 16．（15 分）已知数列 na 中  *1 12, 3 2 2, Nn na a a n n     ． (1)证明：数列 1na  是等比数列； (2)若数列 nb 的通项公式为 2 1 1n n n b a    ，求数列  nb 的前n项和 nS ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 17．（15 分）给出定义：设  f x 是函数  y f x 的导函数，  f x 是函数  f x 的导函数，若方程   0f x  有实数解 0x x ，则称   0 0,x f x 为函数  y f x 的“拐点”．已知函数   3 2 24 3 2f x x ax a x    ． (1)若   4, 4f 是函数  f x 的“拐点”，求 a的值和函数  f x 的单调区间； (2)若函数  f x 的“拐点”在 y轴右侧，讨论  f x 的零点个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 18．（17 分）如图，在四棱锥 P ABCD ，PA 平面 ABCD， / /AB CD，且 2CD  ， 1AB  ， 2 2BC  ， 1PA  ， AB BC ，N 为 PD的中点. (1)求证： / /AN 平面PBC ； (2)求平面PAD与平面PBC 所成二面角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是 26 26 ，若存在，求出 DM DP 的 值，若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 19．（17 分）对于 *Nn  ，若数列 nx 满足 1 1n nx x   ，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列 1，2m， 2 1m  是“K数列”，求实数 m的取值范围． (2)是否存在首项为−2的等差数列 na 为“K数列”，且其前 n项和 nS 使得 2 1 2n S n n  恒成立?若存在，求出 数列 na 的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列 na 是“K数列”，数列 1 2 n a       不是“K数列”，若 1 1 n n a b n   ，试判断数列 nb 是否为“K数列”，并说明理由．