专题3.4 函数的单调性、极值与最值（练习）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题3.4 函数的单调性、极值与最值 【新高考专用】 题型一 利用导数判断单调性、求单调区间 1．（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得出函数的定义域，再令，解不等式即可. 【解答过程】函数的定义域为，，令，解得：， 多取一个端点不影响单调性，所以在上单调递减. 故选：D. 2．（2024·宁夏银川·一模）下列四个函数中，是偶函数且在区间上单调递增的函数个数是（    ） ①  ②  ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】由偶函数定义、导数工具以及基本初等函数的单调性依次检验各函数的奇偶性和单调性即可判断求解. 【解答过程】对于①，，则函数定义域为R，且， 所以是偶函数， 当时，恒成立， 故函数在上单调递增，故①符合； 对于②，，则函数定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故②不符合； 对于③，，则函数定义域为R，且， 故是偶函数， 当时，函数为单调递增，故③符合； 对于④，由正切函数图象性质可知函数在不单调，故④不符合. 故选：B. 3．（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 【解题思路】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可. 【解答过程】函数的定义域为，求导得， 由，得，所以的单调增区间为. 故答案为：. 4．（2024·四川巴中·一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 . 【解题思路】根据题意，由条件可得，即可求得在上的单调增区间，再由函数的奇偶性即可得到在上的单调增区间，即可得到结果. 【解答过程】因为时，则， 又，则，即， 所以， 令，即，即， 又，则，解得， 令，即，即， 即，解得， 所以在单调递增， 又为奇函数， 当时，在单调递增， 所以的单调增区间为. 故答案为：. 题型二 由函数的单调性求参数 5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 【解题思路】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案. 【解答过程】由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故a的最小值为. 故选：A. 6．（2024·四川德阳·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】化简函数，分类讨论，结合恒成立，即可求解. 【解答过程】由函数， 当时，，可得， 要使得在为单调递增函数，则恒成立， 即在恒成立，即在恒成立，可得； 当时，，可得， 要使得在为单调递增函数，则恒成立， 即在恒成立，即在恒成立，可得， 综上可得，实数的取值范围. 故选：D. 7．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为 ． 【解题思路】根据函数的导函数与函数的单调性之间的关系，结合常变量分离法、通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】在定义域内单调递增， 在上恒成立， 即在上恒成立． 令， ，， 即实数的取值范围为． 故答案为：. 8．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 【解题思路】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可. 【解答过程】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 题型三 导数中函数单调性的应用 9．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用导数研究其单调性，进而比较；对作差，运用对数的运算性质和基本不等式可得的大小关系.综合可得三者之间的大小关系. 【解答过程】设， 则在上恒成立， 所以在单调递减， 所以， 即， 所以， 因为 ， 所以， 综上：. 故选：A． 10．（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，求导可得在上单调递减，由已知可得，可得，可得不等式的解集. 【解答过程】由题意知，当时，， 令，则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以，解得. 故选：A. 11．（2024·广东东莞·三模）若，则的大小关系为 ． 【解题思路】构造函数，利用导数研究其单调性，即可求解. 【解答过程】，，， 令，则， 由，得，由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 最大， 而， ， 则． 故答案为：． 12．（2024·新疆·三模）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 【解题思路】构造函数，根据题意和导数求得函数在上单调递减，再由，得到为偶函数，结合对称性得到在上单调递增，把不等式，转化为，即可求解. 【解答过程】令函数， 因为，时，所以， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以函数，所以为偶函数， 根据偶函数的对称性，可得在上单调递增， 若 则， 整理得，所以， 两边平方可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型四 利用导数求函数的极值 13．（2024·浙江·模拟预测）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次导数研究的单调性，并通过观察得其零点，进而判断的单调性，然后可得极小值. 【解答过程】， 记，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 所以，当时，， 因为，且当时，， 所以，当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增. 所以，当时，取得极小值. 故选：B. 14．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则（    ） A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点 C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点 【解题思路】设，求导后，构造，求导，得到其单调性和极值情况，结合极小值为0，故当时，至多有1个变号零点，且在上无变号零点；分在区间上没有变号零点和1个变号零点两种情况，得到极值情况. 【解答过程】令，则， 故． 令， 所以， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的极小值为， 的极大值为， 所以当时，至多有1个变号零点，且在上无变号零点； 当在区间上没有变号零点时， 则，，单调递增，无极值点， 当在区间上有1个变号零点时， 可设为，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有且只有一个极小值点，无极大值点． 综上，最多有一个极小值点，无极大值点． 故选：C. 15．（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ． 【解题思路】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值. 【解答过程】， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有极大值. 故答案为：. 16．（2023·全国·模拟预测）函数的极小值为 或 ． 【解题思路】换元，设，求导，判断函数的单调性，进而可得极值. 【解答过程】设，则， 由，得．令，，则， 当时，； 当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 我们只考虑一个周期，即内的极值， ，设，， 设在上的两根分别为，在上的两根分别为， 则当时，，单调递增，单调递增； 当时，，单调递减，单调递减； 当时，，单调递减，单调递增； 当时，，单调递减，单调递减； 当时，，单调递增，单调递增； 当时，，单调递增，单调递减； 当时，，单调递增，单调递增； 所以当或时，取得极值， 且的极小值为或. 故答案为：或． 题型五 根据极值（点）求参数 17．（2024·贵州铜仁·二模）已知函数和有相同的极大值，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【解题思路】利用导数，先求得的极大值，然后根据与有相同的极大值求得. 【解答过程】求导，令，解得，令，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值， ，令，解得，令，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值， 依据题意，和有相同的极大值，故，解得. 故选：A. 18．（2024·云南昆明·一模）已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【解题思路】求得函数的导数，根据函数在上有两个极值点，转化为在上有不等于的解，令，利用奥数求得函数的单调性，得到且，又由在上单调递增，得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，借助函数在为单调递增函数，求得，即可得到答案. 【解答过程】由题意，函数， 可得， 又由函数在上有两个极值点， 则，即在上有两解， 即在上有不等于2的解， 令，则， 所以函数在为单调递增函数， 所以且， 又由在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 又由函数在为单调递增函数，所以， 综上所述，可得实数的取值范围是，即， 故选C. 19．（2024·上海·三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 . 【解题思路】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果. 【解答过程】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则. 综上，. 故答案为：. 20．（2024·陕西西安·二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是 ． 【解题思路】根据题意可得原题意等价于与有两个不同的交点，再数形结合分析两根的关系运算求解. 【解答过程】因为，则， 令，且，整理得， 原题意等价于与有两个不同的交点， 构建，则， 令，解得；令，解得或； 则在上单调递增，在上单调递减，且， 由图可得：若与有两个不同的交点，可得：， 因为，则， 由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小， 取，令，则， 因为，解得， 所以，则， 即实数a的取值范围是. 故答案为：. 题型六 利用导数求函数的最值 21．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（    ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【解题思路】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到时，单调递增，当时，单调递减，故C正确，D错误. 【解答过程】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为， 实线部分为， 故恒成立， 故在R上单调递增，则A，B显然错误， 对于C，D，， 由图像可知，恒成立，故单调递增， 当，，单调递减， 所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误. 故选：C. 22．（2024·陕西西安·二模）函数在上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，判断导数正负得函数在上的单调性求得结果. 【解答过程】，， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得，所以在和上单调递减， 又，，，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 故选：D. 23．（2024·陕西渭南·三模）设定义在R上的函数满足，且，则在R上的最大值为 ． 【解题思路】构造函数，对其求导，结合已知可求,进而可求，再由导数与最值关系可求. 【解答过程】令，则 可知，即， 因为，即，则 当时，，可知函数在上单调递增， 当时，，可知函数在上单调递减， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 24．（2024·山西临汾·二模）已知函数，函数有两个极值点．若，则的最小值是 . 【解题思路】求导后可知是方程在上的两根，结合韦达定理可得，；将化为，令，利用导数可求得，从而得到结果. 【解答过程】因为， 令 ， 因为，有两个极值点， 所以是方程在上的两根， 所以，，所以，， 所以 ， 设， 则， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 题型七 已知函数最值求参数 25．（2024·上海松江·二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点 【解答过程】， 当或时，，当时，， 所以函数在，上递增函数，在上递减函数， 故时函数有极大值，且， 所以当函数在上有最大值，则 且， 即，解得. 故选：B. 26．（2024·甘肃金昌·模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数在上单调递增，利用函数导数性质求出的取值范围，在由在区间上既有最大值又有最小值求出的取值范围，然后求交集即可. 【解答过程】1.因为，则， 若在上单调递增，则在上恒成立， 即恒成立，则，解得； 2.因为，则， ①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增， 此时只有最大值，没有最小值不满足题意； ②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减， 此时只有最小值，没有最大值不满足题意； ③当时，令，解得；令，解得； 则在单调递增，在单调递减，所以为最小值， 若在上既有最大值，又有最小值， 则且，解得：； 综上所述：． 故选：B. 27．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【解题思路】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 28．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，记的最大值为，则当取得最小值时，的值为 ． 【解题思路】先根据题意确定的值，结合导数讨论区间上最值可得，从而求出的值. 【解答过程】由题意，得函数的对称中心为， 因为是奇函数，图象关于原点对称，所以其最大值和最小值互为相反数， 所以不小于的最大值； 要使取得最小值，则， 令，，， 当时，则，为增函数，由于是奇函数，所以； 当时，令得； 若，即时，时，，为减函数，； 若，即时，时，，为增函数，时，，为减函数，结合的对称性可知 ， 因为，所以; 若，即时，结合以上分析可知； 若，即时，时，，为增函数，时，，为减函数，时，，为增函数，结合的对称性可知， 因为，所以； 综上可知的最小值为4，此时，，所以． 故答案为：. 题型八 函数单调性、极值与最值的综合应用 29．（2024·云南昆明·模拟预测）对于函数，有下列四个论断： ①是增函数 ②是奇函数 ③有且仅有一个极值点 ④的最小值为 若其中恰有两个论断正确，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据函数的定义域确定无论为何值，②一定错误，在讨论的范围，当时，恒大于零，故原函数没有极值点和最小值，故不满足题意，即选项B、D排除.当时，函数不是增函数，在分别验证选项A、C，当时，求得函数最小值不为，当时满足题意. 【解答过程】函数的定义域为，故函数是非奇非偶，即无论为何值，②一定错误 对函数进行求导， 当时，恒大于零，原函数单调递增， 故原函数没有极值点和最小值，故选项B、D排除. 当时，函数不是增函数，故只能有③④正确； 当时，函数，导函数， 令，，，在上单调递增， 由于，， 故，使得，即       ，，在单调递减， ，，在单调递增   故函数有且仅有一个极值点，的最小值为 故只满足③，排除选项A 当时，， 令，，，在上单调递增， ， ，，在单调递减， ，，在单调递增   故的最小值为 故满足③④ 故选：C. 30．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若函数，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解题思路】求出导函数，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题. 【解答过程】， 设，， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，则没有最小值，① ③正确； 当时，，即， 设，由上面的研究可知， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 且当时，，且，时，， 所以此时方程有两个解，即有两个零点， 所以有两个极值点，②正确， 所以正确答案是①②③. 故选：D. 31．（2024·四川成都·二模）已知函数的导函数为． (1)当时，求的最小值； (2)若存在两个极值点，求a的取值范围． 【解题思路】（1）求导判断函数的单调性即可求解， （2）求导，分类讨论导函数的正负，结合零点存在性定理即可求解. 【解答过程】（1）当时，，，， 令函数，，则有， 当时，，为减函数；当时，，为增函数， 所以，即的最小值为2； （2）因为，有， 令，有， ①当时，因为，所以，即在上为增函数， 所以至多存在一个，使得，故不存在两个极值点，     ②当时，解，得， 故当时，，为减函数，当时，， 为增函数，所以， （ⅰ）．当，即时，，在上为增函数， 故不存在极值点， （ⅱ）．当，即时，     又因为，所以， 又由第（1）问知，故，所以， 又因为，又， 所在，使得，     且在，上为增函数，在上为减函数， 所以，分别是的极大值点和极小值点， 综上所述，的取值范围为． 32．（2024·全国·模拟预测）设函数. (1)当时，求的极值点； (2)当时，设，且，记的最大值为，试求的取值范围. 【解题思路】（1）将代入,然后对求导，判断的正负，得到的单调性，进而求出极值点； （2）对求导，通过一元二次方程根的情况，判断的正负，得到的极值点，写出的表达式，利用导数判断的单调性，得到的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，定义域为， ， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此的极大值点是，极小值点是1. （2）由已知的定义域为， ， 对于方程，在上恒成立， 则方程有两个不同的正根，设为， 根据根与系数的关系，得，则，， 当或时，，当时，， 所以的极大值点为，极小值点为， 因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 令， 于是，， ，所以在上单调递减， 又，当时，，所以， 故的取值范围是. 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间． 【解答过程】由得：，即的定义域为； 因为， 所以当时，；当时，； 所以的单调递增区间为． 故选：A. 2．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数判断函数的单调性，作差比较得，令，利用导数判断的单调性得，进而利用函数单调性可得函数值的大小. 【解答过程】因为，所以， 当时，，故函数在上单调递减， 当时，，故函数在上单调递增， 因为，所以， 令，则， 即函数在上单调递减，故，即， 所以，因为函数在上单调递减， 所以，即. 故选：D. 3．（2024·吉林·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而判断的符号性，即可得的符号性. 【解答过程】令，则的定义域为，且， 因为，即，注意到，可得， 可知在定义域内单调递增，且， 当时，，即； 当时，，即； 所以不等式的解集为. 故选：B. 4．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两个极值点，看将问题转化为由两个不同的正实数根，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【解答过程】， 令，得. 令，则. 令，则，即，即. 当时，在单调递增；当时，在单调递减. ， 又当时，；当时，， 当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点. 故选：B. 5．（2024·吉林·模拟预测）若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】构建，分析可知的定义域为，且在内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建，利用导数求其最值即可. 【解答过程】设， 因为，可知的定义域为，所以在内恒成立， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：C. 6．（2024·江西新余·模拟预测）已知定义在上的函数处处导数存在，，则下列情况一定成立的是：（     ）. A． B． C． D． 【解题思路】利用构造函数法，结合导数来对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】， 令，则， 故单调递增，又， 所以，即， 移项可得A选项正确，B选项错误； 另外，，，由于与0的大小关系不确定， 故C、D无法判断. 故选：A. 7．（2024·四川绵阳·三模）已知函数既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】问题可化为有两个不同的根的问题，参变分离，数形结合法即可求解. 【解答过程】由题意得， ∵既有极大值，也有极小值， ∴有两个不同的根， 即有两个不同的根， 显然，故有两个不同的根， 令，则与图象有两个交点， 因为在R上单调递增，且， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以；而时，，时，， 所以，即，即， 故选：D. 8．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调逆增 C．存在实数，使得 D．有最小值 【解题思路】由条件可得函数可以看作为函数与函数的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果. 【解答过程】由得，令， 则函数可以看作为函数与函数的复合函数， 因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致， ， 由得，列表如下： 0 由表知，在上单调递减，在上单调递增， 在时，取得极小值（最小值）， 所以在上单调递增，即B正确； 在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【解题思路】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可． 【解答过程】由题意，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在，上单调递减， 若函数在区间上单调， 则或或，解得或或， 即或. 故选：CD. 10．（2024·甘肃白银·一模）已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．是的一个极小值点 D． 【解题思路】根据已知条件可知的图象关于直线对称，构造函数并求导得出函数单调性可得B错误，再由对称性计算可得C正确，利用单调性可判断不等式正确. 【解答过程】由，得，所以的图象关于直线对称，A正确. 当时，令，则. 因为，所以. 由，得，所以， 即，则. 令，得或（舍去， 当时，，单调递减， 当时，单调递增，B错误. 因为的图象关于直线对称，所以的一个极小值点为，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：ACD. 11．（2024·宁夏·模拟预测）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．当和时，函数分别取得极大值点､极小值点 C．无最大值，有最小值 D．当时，有三个零点 【解题思路】先考虑绝对值内式子的符号将整理成分段函数，然后对求导分析单调性可判断A，由在和点处的导数值和两侧的单调性可判断B，由在上的单调性和特殊点的函数值可判断C和D. 【解答过程】， 对于A，当时，，， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， 所以当时，函数取得极大值点， 当时，，， 在上单调递增，但不存在， 所以当时，函数不是极小值点，故B错误； 对于C，当时，， 当时，，又， 的大致图象如图所示： 所以的值域为，所以有最小值，无最大值，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增， 因为，所以，， 所以在上有一个零点， 当时，，当时，， ，结合的大致图象可知， 在上有一个零点，在上有一个零点， 综上，当时，有三个零点.故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是 ． 【解题思路】求导，令求解即可. 【解答过程】因为的定义域为，则， 且，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 13．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上无极值点，则的取值范围为 . 【解题思路】由题意可得在内单调，而当时，，所以在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最小值即可. 【解答过程】由，得， 因为在上无极值点， 所以在内单调， 因为当时，， 所以在恒成立， 即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以， 即的取值范围为， 故答案为：. 14．（2024·新疆喀什·三模）已知函数和（）有相同的最大值．则的最小值为 e ． 【解题思路】利用导数求函数的单调性，对参数分类讨论，分析得当时有最大值为，利用二次函数的性质求出函数的最大值为，所以，代入运用基本不等式求和的最小值即可. 【解答过程】，， 当时，，最大值为0， 又，所以当时，， 由得，与题设矛盾； 当时，令得，，即， 当时，，当时，， 当时， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值，没有最大值，不符合题意； 当时， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， . 与有相同的最大值， ，又， ，当且仅当，即时取等号. 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)讨论的单调性. 【解题思路】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解． 【解答过程】（1），则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得， 由，解得， （2），函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 16．（2024·广西柳州·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【解题思路】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【解答过程】（1）当时，则， 可得，，即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为. （2）定义域为，且， 若，则对任意恒成立． 所以在上单调递减，无极值，不合题意， 若，令，解得，令，解得， 可知在上单调递减，上单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即. 令，，在上单调递增, 又，不等式等价于，解得, 又，综上的取值范围是． 17．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若函数单调递增，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意求出，利用导数几何意义，可得切线斜率，可得切线方程； （2）根据二阶导数可得一阶导数在上单调递增，又，可得函数的单调性； （3）根据函数单调递增，则在上恒成立，再分离参数可得，转化为恒成立问题即可. 【解答过程】（1）当时，函数， 得，则， 所以的图象在点处的切线方程为. （2）因为当时，， ，. 所以在上单调递增，又， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述：单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由，且， 得单调递增， 所以在上恒成立， 又 由题意恒成立，得， 即恒成立，得恒成立， 设，得， 0 极大值 所以当时，最大为. 所以恒成立，得. 综上，若函数单调递增，则实数的取值范围为. 18．（2024·北京海淀·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若函数存在最大值，求的取值范围. 【解题思路】（1）对函数求导，得到，再求出和对应的取值，即可求出结果； （2）令，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出在上取值范围，从而将问题转化成成立，构造函数，再利用的单调性，即可求出结果. 【解答过程】（1）易知定义域为，因为，所以， 由，得到，当时，，当时，， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，则， 由（1）知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以在时取得最大值， 所以当时，，当时，， 即当时，， 所以函数在存在最大值的充要条件是， 即， 令，则恒成立， 所以是增函数，又因为， 所以的充要条件是， 所以的取值范围为. 19．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【解题思路】（1）把代入，求出，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）（i）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图象有两个交点，利用导数求出范围；（i）确定的范围，利用导数证明当时，恒成立，再结合（1）中切线方程推理得证. 【解答过程】（1）当时，，则，， 求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为. （2）（i），依题意，是方程的两根， 即，， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 而当时，，且，方程有两根，即直线与函数的图象有两个交点， 则，所以实数的取值范围为. （ii）由（i）不妨设， 由图象知，当时，直线恒在曲线的下方． 下面证明：令，求导得， 设，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， 当时，，且，因此在上恒成立， 则函数在上单调递减，，于是， 设在切线上，则，， 又，则，即， 要证，需证，即证， 由（i）知，则，又，因此， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 函数的单调性、极值与最值 【新高考专用】 题型一 利用导数判断单调性、求单调区间 1．（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏银川·一模）下列四个函数中，是偶函数且在区间上单调递增的函数个数是（    ） ①  ②  ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 4．（2024·四川巴中·一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 . 题型二 由函数的单调性求参数 5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 6．（2024·四川德阳·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为 ． 8．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 题型三 导数中函数单调性的应用 9．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广东东莞·三模）若，则的大小关系为 ． 12．（2024·新疆·三模）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 题型四 利用导数求函数的极值 13．（2024·浙江·模拟预测）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则（    ） A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点 C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点 15．（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ． 16．（2023·全国·模拟预测）函数的极小值为 ． 题型五 根据极值（点）求参数 17．（2024·贵州铜仁·二模）已知函数和有相同的极大值，则（    ） A．0 B．2 C． D． 18．（2024·云南昆明·一模）已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 19．（2024·上海·三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 . 20．（2024·陕西西安·二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是 ． 题型六 利用导数求函数的最值 21．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（    ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 22．（2024·陕西西安·二模）函数在上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 23．（2024·陕西渭南·三模）设定义在R上的函数满足，且，则在R上的最大值为 ． 24．（2024·山西临汾·二模）已知函数，函数有两个极值点．若，则的最小值是 . 题型七 已知函数最值求参数 25．（2024·上海松江·二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·甘肃金昌·模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 28．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，记的最大值为，则当取得最小值时，的值为 ． 题型八 函数单调性、极值与最值的综合应用 29．（2024·云南昆明·模拟预测）对于函数，有下列四个论断： ①是增函数 ②是奇函数 ③有且仅有一个极值点 ④的最小值为 若其中恰有两个论断正确，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若函数，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 31．（2024·四川成都·二模）已知函数的导函数为． (1)当时，求的最小值； (2)若存在两个极值点，求a的取值范围． 32．（2024·全国·模拟预测）设函数. (1)当时，求的极值点； (2)当时，设，且，记的最大值为，试求的取值范围. 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·吉林·模拟预测）若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 6．（2024·江西新余·模拟预测）已知定义在上的函数处处导数存在，，则下列情况一定成立的是：（     ）. A． B． C． D． 7．（2024·四川绵阳·三模）已知函数既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调逆增 C．存在实数，使得 D．有最小值 二、多选题 9．（2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 10．（2024·甘肃白银·一模）已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．是的一个极小值点 D． 11．（2024·宁夏·模拟预测）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．当和时，函数分别取得极大值点､极小值点 C．无最大值，有最小值 D．当时，有三个零点 三、填空题 12．（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是 ． 13．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上无极值点，则的取值范围为 . 14．（2024·新疆喀什·三模）已知函数和（）有相同的最大值．则的最小值为 ． 四、解答题 15．（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)讨论的单调性. 16．（2024·广西柳州·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 17．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若函数单调递增，求实数的取值范围. 18．（2024·北京海淀·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若函数存在最大值，求的取值范围. 19．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$