专题3.3 函数的单调性、极值与最值【八大题型】（讲义）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题3.3 函数的单调性、极值与最值【八大题型】 【新高考专用】 1、函数的单调性、极值与最值 导数与函数是高中数学的重要内容，函数的单调性、极值与最值是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有：利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大. 【知识点1 导数中函数单调性问题及其解题策略】 1．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识点2 函数的极值问题及其解题策略】 1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识点3 函数的最值问题及其解题策略】 1．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 2．求含参函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1】（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，根据导数为负即可求解. 【解答过程】的定义域为， ， 令，解得， 故的单调递减区间为， 故选：B. 【变式1-1】（2024·北京东城·二模）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D，利用导数判断C选项的单调性. 【解答过程】对于A：在定义域上单调递增，故A错误； 对于B：在定义域上单调递减，故B正确； 对于C：，则， 当时，所以在上单调递增，故C错误； 对于D：在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【解答过程】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D. 【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数奇偶性定义可排除A，利用特殊值法可排除B，利用导数求函数单调性可排除C，根据函数奇偶性定义及复合函数单调性可得结果. 【解答过程】对于A，因为，所以， 即为非奇非偶函数，故排除A． 对于B，因为，，所以， 所以在上不是单调递减的，故排除B． 对于C，对求导，得．令，解得． 令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，故排除C． 对于D，易得的定义域为， 且 ，所以为奇函数． 令，则．易知在上单调递增， 在上单调递减．由复合函数的单调性，得 在上单调递减． 故选：D． 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2】（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，转化为在上恒成立，令，利用导数求得函数单调递减，得到，得出，即可求解. 【解答过程】由函数，可得 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 令，则， 所以在上单调递减，所以，即， 则，解得，即实数的取值范围是． 故选：D． 【变式2-1】（2024·云南大理·模拟预测）若函数在为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对恒成立，其中，令，则，从而得到，验证后得到答案. 【解答过程】，由题意对恒成立， 其中，令， 则需，其中，故， 当时，，故在上递增， ∴成立. 当时，取，易知在上单调递增， 若，则，所以在上递减， 故，与题意不符，舍去； 若时，，，所以存在，使得， 当时，，所以在上递减， 故，与题意不符，舍去； 综上得. 故选：A. 【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对数函数的单调性与底数有关，分和两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得的取值范围. 【解答过程】设函数，则 ． ①若，则在定义域上单调递减． 又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故对任意的恒成立． 又，所以对任意的显然成立． 又因为对任意恒成立，所以0，故． ②若，则在定义域上单调递增． 又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故对任意的恒成立． 因为抛物线 的开口向上，所以不可能对任意的恒成立． 所以的取值范围为． 故选：A． 【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）函数在上为单调递增函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】函数在上单调递增，则在上恒成立，求，构造函数，分析单调性，求的最小值，代入选项可得结果. 【解答过程】函数在上单调递增等价于在上恒成立，在上恒成立， 令， 若在上恒成立，只需满足． 易知为单调递增函数，， 分析各选项可知，当时，，符合题意. 故选：D． 【题型3 导数中函数单调性的应用】 【例3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先构造函数，再应用函数单调性得出，再根据，取对数判断得出，最后比较可得选项； 【解答过程】设，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以； 因为，所以，即； 又，所以． 故选：C． 【变式3-1】（2024·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求导分析函数单调性，利用函数单调性解不等式可得结果. 【解答过程】∵， ∴， ∴在上为增函数， 由得，，解得，故的取值范围是. 故选：B. 【变式3-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题构建函数，判断函数的单调性和奇偶性，再利用抽象函数单调性比较函数值大小即得. 【解答过程】令，由是定义在上的奇函数， 可得是定义在上的偶函数， 又因为时，， 所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数， 构建，则， 可知在内单调递增，则，可得； 构建，则， 可知在内单调递增，则，可得； 由，可得， 故，所以； 设，则， 所以在单调递增， 故，所以，即 所以，所以， 故选：D. 【变式3-3】（2024·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，求导，得到在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围. 【解答过程】令，则， 因为时，，故当时，， 故在上单调递增，且． 因为，故， 即，所以， 故关于直线对称，故在上单调递减，且， 当时，，则； 当时，，则； 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C． 【题型4 利用导数求函数的极值】 【例4】（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可. 【解答过程】因为函数在处取得极大值， 则，且， 即，所以； 所以，， 令，则或， 由，，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，. 故选：C. 【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的导函数，，则（    ） A．的极大值为，无极小值 B．的极小值为，无极大值 C．的极大值为，无极小值 D．的极小值为，无极大值 【解题思路】本题考查利用导数判断函数的极值，考查考生的运算求解能力，可按下列顺序求解： 的单调性的极值情况 【解答过程】的定义域为，， 所以 ， 求导得，令，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值． 故选：C． 【变式4-2】（2024·福建泉州·一模）已知，是函数两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数导数，解方程得出极值点，计算可判断选项. 【解答过程】，令，解得， 所以，故AB不正确； ，故C正确D错误. 故选：C. 【变式4-3】（2024·四川内江·一模）已知为常数，函数有两个极值点、，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】由可得出，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合得出，计算得出，，构造函数，其中，利用导数求该函数的值域，即可得出合适的选项. 【解答过程】因为，该函数的定义域为， ， 由题意可知，、为方程的两根， 由可得，令，其中， 由题意可知，直线与函数的图象有两个交点， ， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 故， 且当时，，当时，，如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点， 且，由题意可得， 所以，， ， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，则，即， 故选：A. 【题型5 根据极值（点）求参数】 【例5】（2024·陕西宝鸡·三模）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将原问题等价转换为关于的方程在上有两个不同的实数根，结合二次函数性质即可求解. 【解答过程】， 故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根， 即关于的方程在上有两个不同的实数根， 令，则， 所以关于的方程在上有两个不同的实数根， 令， 因为在上单调递增，故在上的值域为， 因为在上单调递减，故在上的值域为， 而，从而实数的取值范围是. 故选：A. 【变式5-1】（2024·四川泸州·一模）已知函数在处取得极大值，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案. 【解答过程】由题设，则，可得或， 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极小值，不符； 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极大值，符合； 综上，. 故选：C. 【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可. 【解答过程】由题意可知：的定义域为，且， 若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式5-3】（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可. 【解答过程】函数的定义域为，， 又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点， 由，所以方程有两个不同的正实数， 所以，即. 故选：B. 【题型6 利用导数求函数的最值】 【例6】（2024·福建·三模）函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为（    ） A． B．e C． D． 【解题思路】根据题设有，构造，易得，结合已知进一步得到，根据其导数求其最小值. 【解答过程】由题设，可得， 令，则，故， 所以，其中为常数，又，则， 所以，故，则， 而，定义域为， 当时，，故在上递减， 当时，，故在上递增， 所以的极小值，也是最小值为. 故选：D. 【变式6-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可. 【解答过程】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴当时，函数取得最小值， 即， ∴， 故选：B. 【变式6-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）求导得函数的单调区间，进一步得最值； （2）在区间上恒成立，分离参数即可求解. 【解答过程】（1）当时，， 且，                                              令，即； ，，                                                 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取最小值为． （2）因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立．      即在上恒成立， 则在上恒成立，                                 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，                                         所以，实数的取值范围为. 【变式6-3】（2024·吉林·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值与最小值. 【解题思路】（1）求导，根据导数的几何意义可得切点和切线斜率，即可得切线方程； （2）根据求导判断的单调性，结合单调性分析最值. 【解答过程】（1）因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为. （2）由（1）可得， 且，则， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 所以函数的最大值为2，最小值. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7】（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分段函数分别应用复合函数单调性及导数求解单调性，分段求解函数值范围及最值再比较列不等式关系即可. 【解答过程】当时，函数单调递减，无最小值； 当时，函数 当时，函数， 所以单调递增，当时， 要使函数存在最小值，即. 故选：C. 【变式7-1】（2024·甘肃金昌·模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数在上单调递增，利用函数导数性质求出的取值范围，在由在区间上既有最大值又有最小值求出的取值范围，然后求交集即可. 【解答过程】1.因为，则， 若在上单调递增，则在上恒成立， 即恒成立，则，解得； 2.因为，则， ①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增， 此时只有最大值，没有最小值不满足题意； ②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减， 此时只有最小值，没有最大值不满足题意； ③当时，令，解得；令，解得； 则在单调递增，在单调递减，所以为最小值， 若在上既有最大值，又有最小值， 则且，解得：； 综上所述：． 故选：B. 【变式7-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知实数，函数． (1)若存在零点，求实数a的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求a． 【解题思路】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的单调性再根据存在零点列出不等式求解； （2）分别求出函数的最小值，再列出方程化简构造新函数，根据函数单调性求值. 【解答过程】（1）因为，所以． 由，得，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，且，， 若存在零点，则只需要即可，所以， 故实数的取值范围是． （2）由（1）知，，且． 函数的定义域为，， 当时，，故在上为减函数; 当时，，故在上为增函数，故． 因为和有相同的最小值， 所以，整理得到，其中， 设，，则 故为上的减函数，而，故的唯一解为， 故的解为． 综上，． 【变式7-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数，其中 (1)若，求函数的增区间； (2)若在上的最大值为0．求a的取值范围． 【解题思路】（1）由已知对函数求导，令导数大于0即可求解； （2）求导，分和三种情况，讨论的最大值，即可求解． 【解答过程】（1）当时，， 其定义域为， ， 令，解得， 函数的增区间为． （2）由，得， 若，则，单调递增； 若，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 当时，在上单调递增， ，满足题意； 当时，即时，在上单调递增， ，满足题意； 当时，即时，在上单调递增，在上单调递减， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， ，即，不满足题意， 综上，的取值范围是. 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数，下列命题中，是假命题的为（    ） A．若在上单调递减，则 B．若是函数的极值点，则在上的最小值为 C．若是函数的极值点，则 D．若在上恒成立，则 【解题思路】利用导函数与函数单调性之间的关系可知，若在上单调递减，即可得在恒成立，可判断A正确；若是函数的极值点，代入导函数可得，且在上的最小值为，即BC正确；构造函数，可得若在上恒成立，则，可知D错误. 【解答过程】根据题意可知，若在上单调递减, 则在上恒成立，即在恒成立； 易知函数在上单调递增，所以可得；即A正确； 若是函数的极值点，则，可得， 经检验，满足题意，故C正确； 此时， 若，可得当时，，时，； 即在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即B正确； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则； 易知恒成立，所以函数在上单调递增， 则，即，所以D错误. 故选：D. 【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上有极小值 C．设在区间上的最大值为M，最小值为m，则 D．在区间内有且只有一个零点 【解题思路】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断. 【解答过程】因为 ， 所以． 当时，令，解得，则当x变化时，，的变化情况如下表所示． x － 0 ＋ 0 － 单调递减 单调递增 单调递减 所以在区间上的图象如图所示． 对A，在区间上单调递增，A错； 对B，在区间上有极大值，无极小值，B错； 对C，在区间上的最大值为，最小值为，，C错； 对D，在区间内有且只有一个零点，D对. 故选：D. 【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【解题思路】（1）根据极值点求出，再求导，根据导数正负得出单调性即可； （2）根据（1）的结论，用m对区间进行分类讨论，再根据再结合单调性得到最值. 【解答过程】（1）的定义域为R，． 当时，，不是的极值点． 当时，令，得，． 在小于0，在区间大于0，在小于0， 故在单调递减，在区间单调递增，在单调递减，此时是的极小值点，符合题意． 综上，在单调递减，在区间单调递增，在单调递减． （2）由（1）可知：在单调递减，在区间单调递增，在单调递减．分类讨论. 当,即时，在区间单调递减，故最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，故最大值为； 当时，在区间单调递增，故最大值为； 当时，在单调递增，在单调递减，故最大值为； 当时，在区间单调递减，故最大值为． 【变式8-3】（2024·浙江温州·一模）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)若与在原点处的切线重合，且函数有且仅有三个极值点，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）求导，分析函数的单调性，可求的最小值. （2）先根据确定的关系，再把函数有且仅有三个极值点转化成有且仅有三个变号零点.求导，分析函数的单调性，结合该函数零点的个数求参数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，， 令得：， 当时，，时，， 所以在单调递减，单调递增 所以时，. （2），，由得：， 所以， 问题即：有且仅有三个变号零点 当时，，故在单调递减，又，所以故此时在有且仅有一个变号零点0，不合题意； 当时，所以在有唯一零点.在递增，递减，故此时在至多有两个变号零点，不合题意； 当时，，，， 所以在有两个零点：， 且时，，时，，时，， 所以在递减，递增，递减， 又，故，， 又时，， 因为的增长速度大于的增长速度， 故，，于是， 又，，所以， 令，则， 因为的增长速度大于的增长速度， 故，，于是， 所以在，各有一个零点，，故此时有三个零点：，0，，符合题意； 所以. 1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【解题思路】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【解答过程】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2．（2024·上海·高考真题）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在严格增 D．存在在处取到极小值 【解题思路】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ACD，构造函数可判断B. 【解答过程】对，若存在 是偶函数，取 ， 则对于任意 ，而 矛盾，故A错误； 对 C ，假设存在，使得严格递增，则，与已知 矛盾，故 C错误； 对B，可构造函数 ，满足集合 当 时，则. 当时，， 当时， . 则存在在处取最大值，故B正确； 对 ，假设存在，使得在处取极小值， 则在的左侧附近存在n，使得， 这与已知集合M的定义矛盾，故错误. 故选：B. 3．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【解答过程】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD. 4．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【解题思路】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【解答过程】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 5．（2024·广东江苏·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【解题思路】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【解答过程】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【解题思路】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【解答过程】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【解题思路】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 8．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【解题思路】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； （2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 9．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解； 法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以 ， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 10．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【解题思路】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 11．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【解题思路】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【解答过程】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 12．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【解题思路】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【解答过程】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证. 13．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 14．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解题思路】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 函数的单调性、极值与最值【八大题型】 【新高考专用】 1、函数的单调性、极值与最值 导数与函数是高中数学的重要内容，函数的单调性、极值与最值是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有：利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大. 【知识点1 导数中函数单调性问题及其解题策略】 1．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识点2 函数的极值问题及其解题策略】 1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识点3 函数的最值问题及其解题策略】 1．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 2．求含参函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1】（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·北京东城·二模）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2】（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·云南大理·模拟预测）若函数在为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）函数在上为单调递增函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 【题型3 导数中函数单调性的应用】 【例3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用导数求函数的极值】 【例4】（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的导函数，，则（    ） A．的极大值为，无极小值 B．的极小值为，无极大值 C．的极大值为，无极小值 D．的极小值为，无极大值 【变式4-2】（2024·福建泉州·一模）已知，是函数两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·四川内江·一模）已知为常数，函数有两个极值点、，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型5 根据极值（点）求参数】 【例5】（2024·陕西宝鸡·三模）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·四川泸州·一模）已知函数在处取得极大值，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用导数求函数的最值】 【例6】（2024·福建·三模）函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为（    ） A． B．e C． D． 【变式6-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的最小值； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【变式6-3】（2024·吉林·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值与最小值. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7】（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·甘肃金昌·模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知实数，函数． (1)若存在零点，求实数a的取值范围； (2)当函数和有相同的最小值时，求a． 【变式7-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数，其中 (1)若，求函数的增区间； (2)若在上的最大值为0．求a的取值范围． 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数，下列命题中，是假命题的为（    ） A．若在上单调递减，则 B．若是函数的极值点，则在上的最小值为 C．若是函数的极值点，则 D．若在上恒成立，则 【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上有极小值 C．设在区间上的最大值为M，最小值为m，则 D．在区间内有且只有一个零点 【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）已知是函数的极小值点． (1)求的单调性； (2)讨论在区间的最大值． 【变式8-3】（2024·浙江温州·一模）已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)若与在原点处的切线重合，且函数有且仅有三个极值点，求实数的取值范围. 1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2024·上海·高考真题）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在严格增 D．存在在处取到极小值 3．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 5．（2024·广东江苏·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 8．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 9．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 10．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 11．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 12．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 13．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 14．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$