第01讲 实数及其运算（练习）【3大考点16大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第01讲 实数及其运算【3大考点16大题型】 考点一 实数的有关概念 【题型1 实数的相关概念辨析】 1．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 3．（2024·江苏·中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可． 【详解】解：A. 的相反数是，则，故该选项符合题意； B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意； C. 的相反数是，则，故该选项不符合题意； B. 的相反数是，则，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可． 【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年； 故答案为：． 5．（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【题型2 实数与数轴】 6．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个实数的绝对值表示的是这个实数在数轴上与原点的距离，故离原点越近，其绝对值越小，据此可得答案． 【详解】解：由数轴上点的位置可知，， ∴这四个实数中绝对值最小的是， 故选：C． 7．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点是点C， 故选：C． 8．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    【答案】 【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9 ∴， 即， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键． 9．（2024·广西桂林·中考真题）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是 ． 【答案】 【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明⊙O'之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数 【详解】因为圆的周长为πd=1×π=π， 所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO′=π 即O′点对应的数是π； 故答案为：π 【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题需注意：确定点O'的符号后，点O'所表示的数是距离原点的距离． 10．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，整式的运算等，由数轴是上A、M、B的位置可得出，，，，再根据整式的运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴原点在A、M之间，， ∴，，， ∴运算结果一定是正数的是， 故选：A． 【题型3 用科学记数法表示数】 11．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 12．（2024·江苏南通·中考真题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：1582亿． 故选：C． 13．（2024·江苏南京·中考真题）纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是 ． 【答案】s． 【分析】根据科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】∵， ∴=20×10-9s， 用科学记数法表示得s， 故答案为：s． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 14．（2024·江西·中考真题）长度单位1纳米米，目前发现一种新型病毒直径为23150纳米，用科学记数法表示该病毒直径是 米（保留两个有效数字） 【答案】2.3× 【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，23150科学记数法可表示为2.3×104，然后把纳米转化成米2.3×104×10-9化简得结果． 解答：解：23150科学记数法可表示为2.315×104， 然后把纳米转化成米，即2.315×104×10-9=2.3×10-5． 故答案为2.3×10-5． 15．（2024·广西崇左·中考真题）据统计，参加“崇左市2015年初中毕业升学考试”的人数用科学记数法表示为人，则原来的人数是 人． 【答案】14700． 【详解】试题分析：∵=14700，故答案为14700． 考点：科学记数法—原数． 【题型4 估算无理数】 16．（2024·安徽·中考真题）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】首先得出＜＜，进而求出的取值范围，即可得出n的值． 【详解】解：∵＜＜， ∴8＜＜9， ∵n＜＜n+1， ∴n=8， 故选D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数，得出＜＜是解题关键． 17．（2024·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 18．（2024·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是 ． 【答案】2或3 【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2或3 【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键． 19．（2024·海南·中考真题）设为正整数，若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先估算出的范围，即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了无理数的估算，能估算出的大小是解题的关键． 20．（2024·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 【答案】7（答案不唯一） 【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案． 【详解】将两个方程相减得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的一个整数值可以是7． 故答案为：7（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点． 21．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得，，再根据无理数的估算结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴正方形的边长，即， ∴正方形的边长可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【题型5 实数的大小比较】 22．（2024·四川自贡·中考真题）在0，，，四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得： ， ∴在0，，，四个数中，最大的数是， 故选：C． 23．（2024·浙江杭州·中考真题）下列各数中，最小的是（   ）. A．0 B．1 C．－1 D．－ 【答案】D 【详解】， 所以． 故选：D． 24．（2024·湖南永州·中考真题）请写出一个比大且比10小的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据实数的大小比较即可求出答案． 【详解】解：∵5＜7＜100， ∴<<10 ∴比大且比10小的无理数为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是熟练运用实数比较大小的法则，本题属于基础题型． 25．（2024·湖南永州·中考真题）如图，有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6，，，，．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数比3小的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了概率的求法，关键是根据无理数的估算，求出近似值与3进行比较． 先根据无理数的估算，和实数的大小比较判断出比3小的数，然后求概率即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴数字6，，，，中，比3小的数有：，，， ∴从中随机抽取一张卡片，抽到正面的数比3小的概率． 故答案为． 26．（2024·湖北荆州·中考真题）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】＞ 【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞． 【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1， ∴CD=2，AD==，AB==， ∴BD+AD=+1， 又∵△ABD中，AD+BD＞AB， ∴+1＞， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以及三角形三边关系是解题的关键． 【题型6 平方根、立方根及非负性的性质】 27．（2024·四川凉山·中考真题）的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∵9的平方根为， ∴的平方根是， 故选：A． 28．（2024·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，错误，故不符合题意； B、，正确，故符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、，错误，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根是解题的关键． 29．（2009·山东潍坊·中考真题）一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一个自然数的算术平方根为，先求解这个自然数及与之相邻的下一个自然数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这个自然数是，则相邻的下一个自然数是， 故选B． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，掌握算术平方根的含义是解题的关键． 30．（2024·浙江·中考真题）已知实数a，b满是，则的最大值为 ． 【答案】55 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解一元一次不等式组，根据题意得出的取值范围是解题的关键． 根据得出，从而得出，根据得出的取值范围，再根据即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的最大值为55， 故答案为：55 ． 31．（2024·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键． 考点二 实数的运算 32．（2024·福建·中考真题）计算22+(－1)0的结果是(   ). A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可． 【详解】解：原式＝4＋1＝5 故选A． 【点睛】此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握零指数幂的运算法则，难度一般． 33．（2024·浙江杭州·中考真题）计算下列各式，值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的运算法则，遵循先乘除后加减的运算顺序即可得到答案. 【详解】根据实数的运算法则可得：A.； B.；C.； D.；故选A. 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算顺序和法则是解题的关键.. 34．（2024·湖北黄石·中考真题）计算： ． 【答案】3 【分析】根据有理数的乘法与零次幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂以及有理数的乘方运算是解题的关键． 35．（2024·四川凉山·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1是解题的关键． 36．（2024·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ． 【答案】1 【分析】根据程序分析即可求解． 【详解】解：∵输出y的值是2， ∴上一步计算为或 解得（经检验，是原方程的解），或 当符合程序判断条件，不符合程序判断条件 故答案为：1 【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键． 【题型8 数的简便运算】 37．（2024·江苏盐城·中考）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式进行简便运算． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了用乘法公式简便运算，解题的关键是利用平方差公式对数字进行变形，凑出平方差公式的结构形式． 38．（2024·河北承德·中考）嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目可知，有理数的加减混合运算，先计算含有相同分母的两数，再把所得结果相加，运算简便． 【详解】， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算和简便运算，添括号法则，解题关键是熟练掌握有理数混合运算和添括号的法则． 39．（2024·河南周口·一模）请你参考如下图所示的黑板中老师的讲解，利用运算律简便计算． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1． 例2． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查乘法运算律： （1）将原式变形为即可进行简便运算； （2）将原式变形为即可进行简便运算； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 40．（23-24·辽宁营口·一模）计算 （1）计算：；      （2）找规律： 观察下列一组算式的特征，并探索规律： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1） ； （2） ；（用含n的代数式表示） （3）简便计算： 【答案】（1）；（2）225；；41075 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及数字的变化规律探索. （1）本题主要考查了实数的混合运算． （2）本题主要考查数字的变化规律，（1）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得；（2）根据所给的各式，得到规律，即可求解；（3）先根据规律，可求出和，然后相减即可求解． 【详解】解：（1） （2）（1）根据题意得：， 故答案为：225． （2） 故答案为： （3）由（2）得， ． 41．（2024·河北邯郸·一模）有个补充运算符号的游戏：在“1□2□□9”中的每个□内，填入+、-、×、÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算： （直接写出结果）； (2)若□，请推算□内的符号应是什么？ (3)请在□内填上×、÷中的一个，使计算更加简便，然后计算□ 【答案】(1)0 (2)＋ (3)填上÷， 【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）根据计算结果确定出□内的符号即可； （3）□内填上÷，利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可得到结果． 【详解】（1）解： 故答案为：0 （2）解：∵，且□，， ∴□内的符号应是＋ （3）解：填上÷， 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型9 实数的混合运算】 42．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 43．（2024·湖北·中考真题）计算： 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 44．（2024·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 45．（2024·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算． 46．（2024·四川广安·中考真题）计算： 【答案】 【分析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【题型10 实数的实际应用】 47．（2024·浙江杭州·中考真题）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 【答案】B 【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果． 【详解】由题意得：（元） 即需要付费19元 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数运算的实际应用，依据题意，正确列出算式是解题关键． 48．（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（  ） A．50秒 B．45秒 C．40秒 D．35秒 【答案】D 【详解】试题分析：∵甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶， ∴两车的速度为：（m/s）. ∵AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米， ∴分别通过AB，BC，CD所用的时间为：（s），（s），（s）. ∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯， ∴当每次绿灯亮的时间为50s时，∵，∴甲车到达B路口时遇到红灯，故A选项错误； ∴当每次绿灯亮的时间为45s时，∵，∴乙车到达C路口时遇到红灯，故B选项错误； ∴当每次绿灯亮的时间为40s时，∵，∴甲车到达C路口时遇到红灯，故C选项错误； ∴当每次绿灯亮的时间为35s时，∵，， ∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D选项正确. 则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒． 故选D． 考点：推理与论证． 49．（2024·浙江宁波·中考真题）如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6.其中可看见7个面，其余11个面是看不见的面上的点数总和是 A．41 B．40 C．39 D．38 【答案】C 【详解】三个骰子共18个面，其点数之和为3×(1+2+3+4+5+6)=63，而可以看见的7个面上的点数为1,2,3,4,5,3,6，其和为1+2+3+3+4+5+6=24，则其余11个看不见的面上的点数之和是63-24=39. 故选C． 50．（2024·浙江绍兴·中考真题）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0．5cm． 【答案】，， 【分析】由甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别求解即可． 【详解】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1:2:1，∴甲、乙、丙三个圆柱形容器的底面积之比为1：4：1，∵每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，注水1分钟，乙的水位上升cm，∴注水1分钟，丙的水位上升cm， 当甲比乙高0．5cm时，此时乙中水位高0．5cm，用时0．5÷=分； 当丙的高度到5cm时，此时用时为5÷=分，此时乙中水高=<1+0．5，在这之后丙中的水流入乙中，乙每分钟水位上升cm，1．5-=，分，即开始注水后乙比甲高0．5cm的用时为分； 当乙的水位达到5cm时开始流向甲，此时用时为=分，甲水位每分上升cm，当甲的水位高为4．5cm时，乙比甲高0．5cm，此时用时=分； 综上，开始注入分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0．5cm 【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，考虑各种不同情况，全面分析是解题的关键. 51．（2024·江苏无锡·中考真题）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 元． 【答案】838或910/910或838 【详解】解：由题意得，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元，这两件商品的原价分两种情况： 第一种情况，小红看中的商品原价为480元，小红母亲看中的商品原价为520÷0.8=650元，所以合并付款的数目为800×0.8+（480+650-800）×0.6=838元； 第二种情况，小红看中的商品原价为480÷0.8=600元，小红母亲看中的商品原价为520÷0.8=650元，所以合并付款的数目为800×0.8+（600+650-800）×0.6=910元， 所以她们总共只需付款838元或910元． 故答案为∶838或910 【题型11 实数计算中的规律问题】 52．（2024·湖北随州·中考真题）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（    ） A．100 B．121 C．144 D．169 【答案】B 【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可． 【详解】解：根据图中数据可知： 则，， ∵第个图中的， ∴， 解得：或(不符合题意，舍去) ∴， 故选：B． 53．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 54．（2024·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则 ． 【答案】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 55．（2024·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则 ． 【答案】5050 【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可． 【详解】解： ，， ， ， ， …， 故答案为：5050 【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键． 56．（2024·湖南怀化·中考真题）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和． 【详解】由题意规律可得：． ∵ ∴， ∵， ∴ ． ． ． …… ∴． 故． 令 ②-①，得 ∴= 故答案为：． 【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键． 考点三 二次根式 【题型12 二次根式有意义的条件】 57．（2024·江苏徐州·中考真题）要使式子有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，解不等式即可得到答案. 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，， 解得， 故选：B 58．（2024·四川眉山·中考真题）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选：D． 59．（2024·浙江衢州·中考真题）若有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】3 【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案． 【详解】∵有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是3， 故答案为：3 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键． 60．（2024·四川内江·中考真题）若，则 ． 【答案】1002． 【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答 【详解】∵， ∴． 由，得， ∴， ∴． ∴． 故答案是：1002． 【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则 61．（2024·贵州六盘水·中考真题）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　． 【答案】 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x2-6x+m=（x-3）2-9+m≥0，所以（x-3）2≥9-m．通过偶次方（x-3）2是非负数可求得9-m≤0，则易求m的取值范围． 【详解】由题意，得 x2-6x+m≥0，即（x-3）2-9+m≥0， ∵（x-3）2≥0，要使得（x-3）2-9+m恒大于等于0， ∴m-9≥0， ∴m≥9， 故答案为m≥9． 62．（2024·湖北荆州·中考真题）若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第 象限． 【答案】二 【详解】试题分析：根据题意得，2﹣2k＞0，∴2k﹣2＜0． ∴反比例函数的图象位于第二、四象限． ∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为（0，2﹣2k）在y轴正半轴， ∴抛物线的图象不经过第四象限． ∴双曲线与抛物线的交点在第二象限． 【题型13 二次根式的值】 63．（2024·浙江杭州·二模）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】A 【分析】将x取值代入二次根式求值即可． 【详解】解：当x＝1时，原式＝， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的计算，注意算术平方根开出来是正数，这一点是本题关键． 64．（2024·河北·中考真题）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案． 65．（2024·湖北武汉·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 66．（2024·云南曲靖·中考真题）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是 （只需填一个）． 【答案】﹣2（答案不唯一） 【详解】解：∵|x|≤3， ∴﹣3≤x≤3． ∵x为整数，∴x=﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3． 分别代入可知，只有x=﹣2，3时为整数． ∴使为整数的x的值是﹣2或3（填写一个即可）． 故答案为： 67．（2024·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ． 【答案】4或7或8 【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值． 【详解】解：∵ ∴ ∵为正整数 ∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵为整数 ∴为4或7或8 故答案为：4或7或8． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 【题型14 二次根式的混合运算】 68．（2024·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 69．（2024·山西·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质化简，进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 70．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 71．（2024·山东青岛·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】4 【分析】先化简二次根式，然后计算括号内的二次根式减法，再根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 72．（2024·山东济宁·中考真题）已知，，求代数式的值． 【答案】－4 【分析】先将代数式因式分解，再代入求值． 【详解】 故代数式的值为． 【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算． 73．（2024·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 74．（2024·山东临沂·中考真题）计算． 【答案】 【分析】化简绝对值，同时利用平方差公式计算，最后合并． 【详解】解： = = = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是合理运用平方差公式进行计算． 75．（2024·上海·中考真题）计算： 【答案】-3． 【分析】首先进行二次根式的化简、去绝对值符号以及二次根式的乘法，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： = =-3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 【题型15 复合二次根式的化简】 76．（2024·安徽芜湖·二模）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键． 77．（2024·浙江杭州·一模）化简： . 【答案】 【分析】将5拆成3和2，然后运用完全平方公式化简即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的性质和完全平方公式，灵活运用所学知识是解题关键. 78．（2024·重庆九龙坡·一模）阅读材料： 材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到． 如： ∵，∴，即 ∴的最小值为 阅读上述材料解决下面问题： （1） ， ； （2）求的最值； （3）已知，求的最值． 【答案】（1）；（2）-；（3）-4. 【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解； （2）利用完全平方公式配方即可求解； （3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解. 【详解】（1），； 故答案为：； （2）∵==≥-1 ∴的最小值为-； （3）∵= ∴ = = =≤-4 故的最大值为-4. 【点睛】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用. 79．（2024·山东淄博·模拟预测）我们将、称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如， ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）比较大小________（用“”、“”或“”填空）； （2）已知，，求的值； （3）计算： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可； （2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单； （3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可． 【详解】（1）∵＝ ； ∵＞，2＞， ∴+2＞+， ∴〉． （2）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝（ ）2﹣2 ＝182﹣2 ＝324﹣2 ＝322 答：x2+y2的值为322． （3） ＝＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣ ＝1﹣ ＝ 【点睛】考查二次根式的化简求值，同时考查了完全平方公式的变形应用以及裂项法的应用，计算量较大． 80．（2024·北京·模拟预测）阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）． 【答案】（1）1+；（2）. 【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴. 【题型16 二次根式的实际应用】 81．（2024·浙江杭州·一模）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 82．（2024·湖北宜昌·中考真题）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积； 【详解】 ，，． ， 的面积； 故选A． 【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大． 83．（2024·湖南怀化·一模）一个长方体的长减少，宽不变，高增加，就得到一个与原长方体体积相同的正方体，求原长方体的表面积． 【答案】84 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设原长方体的宽为x，则原长方体的长为，原长方体的高为，根据长方体和正方体体积计算公式得到方程，解方程求出原长方体的长、宽、高即可求出答案． 【详解】解：设原长方体的宽为x，则原长方体的长为，原长方体的高为 由题意得：， 解得或（舍去）， ∴原长方体的长为，原长方体的高为， ∴原长方体的表面积为． 84．（2024·山东济南·中考真题）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是　 　． 【答案】2 【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积． 【详解】因为正三角形和正方形的面积分别是2和2， 则正方形的边长为 设正三角形的边长为a，则a2×=2， 解得a=2． 则图中阴影部分的面积=2×-2=2 故答案是：2 【点睛】考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽． 85．（2024·浙江宁波·一模）小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算的应用．先求得矩形的长和宽，再利用二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：如图，线段的长度即为矩形的长，的长度即为矩形的宽． 设，可得， ∵， ∴， ∴矩形的长与宽之比为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 实数及其运算【3大考点16大题型】 考点一 实数的有关概念 【题型1 实数的相关概念辨析】 1．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（2024·江苏·中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 5．（2024·四川资阳·中考真题）若，则 ． 【题型2 实数与数轴】 6．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 7．（2024·四川南充·中考真题）如图，数轴上表示的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    9．（2024·广西桂林·中考真题）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是 ． 10．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【题型3 用科学记数法表示数】 11．（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏南通·中考真题）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏南京·中考真题）纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是 ． 14．（2024·江西·中考真题）长度单位1纳米米，目前发现一种新型病毒直径为23150纳米，用科学记数法表示该病毒直径是 米（保留两个有效数字） 15．（2024·广西崇左·中考真题）据统计，参加“崇左市2015年初中毕业升学考试”的人数用科学记数法表示为人，则原来的人数是 人． 【题型4 估算无理数】 16．（2024·安徽·中考真题）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 17．（2024·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 18．（2024·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是 ． 19．（2024·海南·中考真题）设为正整数，若，则的值为 ． 20．（2024·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 21．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 【题型5 实数的大小比较】 22．（2024·四川自贡·中考真题）在0，，，四个数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 23．（2024·浙江杭州·中考真题）下列各数中，最小的是（   ）. A．0 B．1 C．－1 D．－ 24．（2024·湖南永州·中考真题）请写出一个比大且比10小的无理数： ． 25．（2024·湖南永州·中考真题）如图，有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6，，，，．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数比3小的概率是 ． 26．（2024·湖北荆州·中考真题）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”） 【题型6 平方根、立方根及非负性的性质】 27．（2024·四川凉山·中考真题）的平方根是（　　） A． B． C． D． 28．（2024·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 29．（2009·山东潍坊·中考真题）一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A． B． C． D． 30．（2024·浙江·中考真题）已知实数a，b满是，则的最大值为 ． 31．（2024·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 考点二 实数的运算 32．（2024·福建·中考真题）计算22+(－1)0的结果是(   ). A．5 B．4 C．3 D．2 33．（2024·浙江杭州·中考真题）计算下列各式，值最小的是（    ） A． B． C． D． 34．（2024·湖北黄石·中考真题）计算： ． 35．（2024·四川凉山·中考真题）计算 ． 36．（2024·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ． 【题型8 数的简便运算】 37．（2024·江苏盐城·中考）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2024·河北承德·中考）嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（   ） A． B． C． D． 39．（2024·河南周口·一模）请你参考如下图所示的黑板中老师的讲解，利用运算律简便计算． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1． 例2． (1)； (2)． 40．（23-24·辽宁营口·一模）计算 （1）计算：；      （2）找规律： 观察下列一组算式的特征，并探索规律： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1） ； （2） ；（用含n的代数式表示） （3）简便计算： 41．（2024·河北邯郸·一模）有个补充运算符号的游戏：在“1□2□□9”中的每个□内，填入+、-、×、÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算： （直接写出结果）； (2)若□，请推算□内的符号应是什么？ (3)请在□内填上×、÷中的一个，使计算更加简便，然后计算□ 【题型9 实数的混合运算】 42．（2024·甘肃临夏·中考真题）计算：． 43．（2024·湖北·中考真题）计算： 44．（2024·四川广元·中考真题）计算：． 45．（2024·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 46．（2024·四川广安·中考真题）计算： 【题型10 实数的实际应用】 47．（2024·浙江杭州·中考真题）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　） A．17元 B．19元 C．21元 D．23元 48．（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（  ） A．50秒 B．45秒 C．40秒 D．35秒 49．（2024·浙江宁波·中考真题）如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6.其中可看见7个面，其余11个面是看不见的面上的点数总和是 A．41 B．40 C．39 D．38 50．（2024·浙江绍兴·中考真题）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0．5cm． 51．（2024·江苏无锡·中考真题）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 元． 【题型11 实数计算中的规律问题】 52．（2024·湖北随州·中考真题）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（    ） A．100 B．121 C．144 D．169 53．（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式： …… 则的值为 ． 54．（2024·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则 ． 55．（2024·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则 ． 56．（2024·湖南怀化·中考真题）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 考点三 二次根式 【题型12 二次根式有意义的条件】 57．（2024·江苏徐州·中考真题）要使式子有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（2024·四川眉山·中考真题）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 59．（2024·浙江衢州·中考真题）若有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可） 60．（2024·四川内江·中考真题）若，则 ． 61．（2024·贵州六盘水·中考真题）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　． 62．（2024·湖北荆州·中考真题）若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第 象限． 【题型13 二次根式的值】 63．（2024·浙江杭州·二模）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 64．（2024·河北·中考真题）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 65．（2024·湖北武汉·中考真题）计算的结果是 ． 66．（2024·云南曲靖·中考真题）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是 （只需填一个）． 67．（2024·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ． 【题型14 二次根式的混合运算】 68．（2024·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 69．（2024·山西·中考真题）计算： ． 70．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算的结果是 ． 71．（2024·山东青岛·中考真题）计算的结果是 ． 72．（2024·山东济宁·中考真题）已知，，求代数式的值． 73．（2024·青海西宁·中考真题）计算：． 74．（2024·山东临沂·中考真题）计算． 75．（2024·上海·中考真题）计算： 【题型15 复合二次根式的化简】 76．（2024·安徽芜湖·二模）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 77．（2024·浙江杭州·一模）化简： . 78．（2024·重庆九龙坡·一模）阅读材料： 材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如： 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到． 如： ∵，∴，即 ∴的最小值为 阅读上述材料解决下面问题： （1） ， ； （2）求的最值； （3）已知，求的最值． 79．（2024·山东淄博·模拟预测）我们将、称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如， ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）比较大小________（用“”、“”或“”填空）； （2）已知，，求的值； （3）计算： 80．（2024·北京·模拟预测）阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）． 【题型16 二次根式的实际应用】 81．（2024·浙江杭州·一模）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 82．（2024·湖北宜昌·中考真题）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（  ） A． B． C． D． 83．（2024·湖南怀化·一模）一个长方体的长减少，宽不变，高增加，就得到一个与原长方体体积相同的正方体，求原长方体的表面积． 84．（2024·山东济南·中考真题）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是　 　． 85．（2024·浙江宁波·一模）小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$