复习04 圆锥曲线的焦点三角形、离心率及和差最值（十大题型）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习04 圆锥曲线的焦点三角形、离心率及和差最值 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 椭圆的焦点三角形】 【题型2 双曲线的焦点三角形】 【题型3 抛物线的定义应用】 【题型4 直接法求离心率】 【题型5 构造齐次式求离心率】 【题型6 构造齐次式求渐近线】 【题型7 求离心率的取值范围】 【题型8 椭圆的线段和差最值】 【题型9 双曲线的线段和差最值】 【题型10 抛物线的线段和差最值】 知识点 1 ：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 知识点 2 ：双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 知识点 3 ：抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 难点 1 ：离心率求解的常见方法 （1）由条件寻找所满足的等式，椭圆的常用公式变形为， 双曲线的常用公式变形为，其中； （2）依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含或的方程，解方程即可，注意依据的范围对所得解进行取舍. 难点 2 ：线段和差的最值问题 解决最值问题．在圆锥曲线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 题型归纳 【题型1 椭圆的焦点三角形】 例1．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ，若，则 . 例2．（多选）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 变式1-1．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 变式1-2．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 变式1-3．已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 【题型2 双曲线的焦点三角形】 例3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 例4．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 变式2-1．（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为15 变式2-2．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-3．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 . 【题型3 抛物线的定义应用】 例5．已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 例6．若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 ． 变式3-2．（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（    ） A． B．以为直径的圆与x轴相切 C．F的坐标为 D． 变式3-3．如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    【题型4 直接法求离心率】 例7．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（   ） A． B．2 C．2或 D．或 例8．已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 变式4-1．已知椭圆的长轴长与短轴长之差为2，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B． C． D．2 变式4-2．若椭圆：与双曲线：的离心率之和为，则（    ） A．2 B． C． D．1 变式4-3．设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为300km，远地点距地面约为400km，地球半径约为6400km，则此航天器轨道的离心率为 . 【题型5 构造齐次式求离心率】 例9．已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例10．已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点，其中点在第一象限，，，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知是椭圆的右焦点，是的右顶点，是的上顶点，为上一点且在第二象限，若，则的离心率为 . 【题型6 构造齐次式求渐近线】 例11．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例12．已知双曲线的离心率为，则点到C的渐近线的距离为 . 变式6-1．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，且则双曲线的渐近线方程可以是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为 . 【题型7 求离心率的取值范围】 例13．已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 例14．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，则的取值范围是 ． 变式7-1．已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则下列结论正确的是（   ） A．若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 B．若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 C．若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为 D．若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为 变式7-3．设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围. 【题型8 椭圆的线段和差最值】 例15．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 例16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ． 变式8-1．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式8-3．已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型9 双曲线的线段和差最值】 例17．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例18．若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 变式9-1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为 ． 变式9-2．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 变式9-3．如下图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远，则曲线的轨迹方程（以中点为原点）是 ；现要在曲线上选一处建一座码头，向两地转运货物，那么这两条公路的路程之和最短是 . 【题型10 抛物线的线段和差最值】 例19．设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 例20．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为 . 变式10-1．已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 . 变式10-2．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为 . 变式10-3．已知l，P分别是抛物线的准线与抛物线上一动点，定点，于，且恒成立，则实数的取值范围为 . 过关检测 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 2．已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 5．已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线交于四点，这四点的连线组成的四边形是正方形，设双曲线的渐近线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D．5 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上且异于C的顶点，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 二、多选题 9．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 10．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（   ） A． B． C． D． 11．已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则（    ） A．直线AB的斜率为 B． C． D．为钝角 三、填空题 12．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且点位于第一象限，，则 ， . 14．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为 ． 四、解答题 15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 16．已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 17．已知双曲线的左、右焦点分别是，P 是双曲线右支上一点，，垂足为点 H，，. （1）当时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率e 的取值范围. 18．已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 19．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习04 圆锥曲线的焦点三角形、离心率及和差最值 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 椭圆的焦点三角形】 【题型2 双曲线的焦点三角形】 【题型3 抛物线的定义应用】 【题型4 直接法求离心率】 【题型5 构造齐次式求离心率】 【题型6 构造齐次式求渐近线】 【题型7 求离心率的取值范围】 【题型8 椭圆的线段和差最值】 【题型9 双曲线的线段和差最值】 【题型10 抛物线的线段和差最值】 知识点 1 ：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 知识点 2 ：双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 知识点 3 ：抛物线的简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 难点 1 ：离心率求解的常见方法 （1）由条件寻找所满足的等式，椭圆的常用公式变形为， 双曲线的常用公式变形为，其中； （2）依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含或的方程，解方程即可，注意依据的范围对所得解进行取舍. 难点 2 ：线段和差的最值问题 解决最值问题．在圆锥曲线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 题型归纳 【题型1 椭圆的焦点三角形】 例1．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ，若，则 . 【答案】 20 8 【详解】椭圆，∴， 的周长是， 所以 故答案为∶20，8 例2．（多选）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【详解】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 变式1-1．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【答案】 / 【详解】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 【点睛】 变式1-2．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【详解】 因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即， 所以， 故的面积， 设的内切圆半径为， 则， 解得,. 故答案为：. 变式1-3．已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 【答案】6 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 【题型2 双曲线的焦点三角形】 例3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线的对称性以及，是双曲线上关于原点对称的两点可知，，，三点共线， 连接，，，，，则四边形为矩形， 所以，，    由双曲线可得，， 则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以. 故选：B. 例4．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，当的面积为2时，的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】设点，依题意得， 而，所以， 又=1，所以， 所以. 故选：B 变式2-1．（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为15 【答案】ACD 【详解】，因为,则，A正确； 由，根据双曲线的定义可得，知，则， 中由余弦定理可得，解得(舍)或，故B错误； 设，则中由余弦定理,可得， 则，C正确； ，D正确； 故选：ACD 变式2-2．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 则，， 故在和中由余弦定理可得， 即，解得，则 又因为，则， 故选：D. 变式2-3．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 . 【答案】24 【详解】由题设，令且，则，即， 所以，而，则， 所以为直角三角形，且，故其面积为. 故答案为： 【题型3 抛物线的定义应用】 例5．已知过抛物线的焦点作斜率为的直线，与的一个交点位于第四象限，且与的准线交于点，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，， 由，得，则， 因此，所以. 故选：B 例6．若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等边三角形的边长为， 则由等边三角形和抛物线的对称性可得等边三角形一个顶点的坐标为， 代入抛物线方程得，解得. 故选：B 变式3-1．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点， 所以，， 因为在中，， 所以由正弦定理可得，,      因为为抛物线上一点，所以可设为 由此可得， 平方化简可得：，即，可得, . 故答案为：. 变式3-2．（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（    ） A． B．以为直径的圆与x轴相切 C．F的坐标为 D． 【答案】AB 【详解】抛物线的焦点为，故C错误； 点在抛物线C上，若， 则，所以，故A正确； 代入，得，故或 所以，故D错误； 所以以为直径的圆的圆心为：或，半径为， 所以圆心为：或到x轴的距离为：等于圆的半径， 故以为直径的圆与x轴相切，故B正确； 故选：AB 变式3-3．如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    【答案】10 【详解】依题意， 过向轴作垂线，记垂足为，如下图所示，设的横坐标为， 则，. 因为，所以. 由，得，故. 故答案为：      【题型4 直接法求离心率】 例7．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则的离心率等于（   ） A． B．2 C．2或 D．或 【答案】D 【详解】由题意可设：，，． 当圆锥曲线为椭圆时，，．离心率； 当圆锥曲线为双曲线时，，，离心率． 综上可知，圆锥曲线的离心率为或． 故选：． 例8．已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意可知，双曲线焦点在轴，，右焦点到渐近线的距离， 所以，，. 故选：A 变式4-1．已知椭圆的长轴长与短轴长之差为2，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由椭圆的长轴长与短轴长之差为2， 当时，可得，可得，解得， 则，所以椭圆的离心率为； 当时，可得，可得，解得， 则，所以椭圆的离心率为， 所以椭圆的离心率为或. 故选：A. 变式4-2．若椭圆：与双曲线：的离心率之和为，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【详解】椭圆：的离心率为， 双曲线：的离心率为， 所以，解得：. 故选：A. 变式4-3．设某航天器轨道可近似为一个以地心为其中一个焦点的椭圆，其近地点距地面约为300km，远地点距地面约为400km，地球半径约为6400km，则此航天器轨道的离心率为 . 【答案】 【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.则根据题意得 ，解得， 故此航天器轨道的离心率为. 故答案为：. 【题型5 构造齐次式求离心率】 例9．已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，设点，则，即， 依题意，，因此， 所以椭圆的离心率. 故选：A 例10．已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以． 故选：B． 变式5-1．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D. . 变式5-2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点，其中点在第一象限，，，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，所以，即，所以． 因为，所以，所以，所以，所以， 所以． 若在双曲线的同一支时，知轴，所以，所以，得，，所以； 若分别在双曲线的左、右两支，则，，则，解得，所以， 故选：BD． 变式5-3．已知是椭圆的右焦点，是的右顶点，是的上顶点，为上一点且在第二象限，若，则的离心率为 . 【答案】 【详解】    由题意可得， 设，由可得直线方程为， 代入椭圆方程可得，解得， 所以， 由，即， 又，联立解得， 所以的离心率为， 故答案为：. 【题型6 构造齐次式求渐近线】 例11．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设点在第一象限，且双曲线的焦点在x轴上， 联立方程,解得，即， 又因为，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 又因为，故所求渐近线方程为． 故选：C． 例12．已知双曲线的离心率为，则点到C的渐近线的距离为 . 【答案】 【详解】因为双曲线的离心率为，可得，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 所以点到双曲线的渐近线的距离为. 故答案为：. 变式6-1．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由双曲线定义知，因为， 所以，， 在中，因为，， 所以， 即，化简得， 又，所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 变式6-2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直且交于点，且则双曲线的渐近线方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】 已知，不妨设点在第三象限， 与渐近线垂直，的斜率为， 直线方程为，由，得 设由知， 即 所以在双曲线上，， 所以化简得，， 所以渐近线方程是． 故选：CD． 变式6-3．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】    由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为：与， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以， 即双曲线的渐近线方程为：. 故答案为： 【题型7 求离心率的取值范围】 例13．已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则，且，可得， 易知、， 所以，， 所以，，可得， 故. 故选：D. 例14．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设的长半轴长为，的实半轴长为，焦距为， 由题意可知： 将②式和③式平方相加得， 将①式代入可得，即． 设，，由于，，，，且，，令，，， ，， 故． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用椭圆和双曲线的定义得到离心率的关系，然后设圆的参数方程结合辅助角公式求解. 变式7-1．已知双曲线的左､右焦点分别为，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与轴交点为，连接， 由对称性可知， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 在中，， 所以， 所以， 由，且三角形内角和为， 所以， 所以，即， 则， 综上：. 故选：. 变式7-2．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则下列结论正确的是（   ） A．若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 B．若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 C．若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为 D．若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为 【答案】BCD 【详解】对于A，若存在点，使得，则当在短轴顶点时，即， 因为，所以，所以，故A错误. 对于B，若存在，则只需，所以，故B正确. 对于C，因为，，所以，. 因为，所以，，所以，故C正确. 对于D，因为，所以. 因为，所以，所以. 因为， 所以，所以. 由，得，所以D正确. 故选：BCD. 变式7-3．设分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围. 【答案】 【详解】如图，    设直线与轴的交点为，连接， ∵的中垂线过点， ∴，可得， 又∵，且， ∴，即， ∴，， 又椭圆的离心率，得， 故离心率的取值范围是． 【题型8 椭圆的线段和差最值】 例15．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】B 【详解】 如图，连接,因，则， 由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小， 最小值为,此时，的最小值为. 故选：B. 例16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】在椭圆中，，，则，即点、， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点， . 当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 变式8-1．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在椭圆中，，，则，则， 则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为， 由椭圆的定义可得， 则 . 当且仅当、、、四点共线且、在线段上时， 上述不等式两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 变式8-2．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为. 故选：C. 变式8-3．已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图,    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 【题型9 双曲线的线段和差最值】 例17．已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，， 所以下焦点，设上焦点为，则， 根据双曲线定义：，在上支， ，, 在中两边之差小于第三边，， ,   . 故选：D. 例18．若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】 如图所示， 由双曲线方程， 可知双曲线的右焦点为， 则由双曲线定义可知，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又， 即， 故答案为：. 变式9-1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为 ． 【答案】 【详解】 因为点P在双曲线的右支上，所以， 所以，连接， 又，，所以， 当且仅当点在线段上时取“＝”， 故的最小值为． 故答案为：. 变式9-2．设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 变式9-3．如下图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远，则曲线的轨迹方程（以中点为原点）是 ；现要在曲线上选一处建一座码头，向两地转运货物，那么这两条公路的路程之和最短是 . 【答案】 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图， . 由题意得，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支， 故， 所以曲线的轨迹方程为； 因为， 所以， 当且仅当共线时，等号成立， 所以这两条公路的路程之和最短为. 故答案为：. 【题型10 抛物线的线段和差最值】 例19．设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】抛物线，则焦点，准线， 最小时，即最小，根据抛物线的定义，， 所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时， 最小，且最小值为，解得. 故选：C. 例20．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接， 由题知，焦点，，． 因为直线的斜率为，所以为正三角形， 所以，， 所以． 记关于直线的对称点为，则． 当，，三点共线时，， 所以周长的最小值为． 故答案为： 变式10-1．已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设抛物线的准线为，则. 如图，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， 则，又， 当且仅当共线且在之间时等号成立， 故的最小值为12， 故答案为：. 变式10-2．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为 . 【答案】6 【详解】抛物线，所以焦点为，准线方程为， 当时，所以，因为，所以点在抛物线内部， 如图，    过作准线的垂线垂足为，交抛物线于， 由抛物线的定义，可知， 故． 即当、、三点共线时，距离之和最小值为． 故答案为：． 变式10-3．已知l，P分别是抛物线的准线与抛物线上一动点，定点，于，且恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】抛物线焦点，准线方程为，由抛物线的定义可知， ∴，即当三点共线时取得最小值，所以最小值为， 所以等价于. 故答案为：. 过关检测 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以，所以， 故选：C. 2．已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 3．已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由知；两条渐近线之间的夹角小于，故；故离心率. 故选：B 4．已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ， 故选：A． 5．已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，， 所以，， 在中，，即， 解得，或（舍去），所以，，， 在中，由勾股定理可得，即， 整理可得，解得. 故选：C. 6．双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线交于四点，这四点的连线组成的四边形是正方形，设双曲线的渐近线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知圆的方程为， 由于以为直径的圆与双曲线交于四点，这四点的连线组成的四边形是正方形， 所以双曲线与圆的一个交点为， 代入双曲线方程得1，即，故， 解得或（舍），结合得. 故选：B. 7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D．5 【答案】A 【详解】由题意设抛物线的方程为， 因为，， 所以点在抛物线上， 将的坐标代入到抛物线的方程中，可得，故， 所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 圆的圆心位,半径位，可知圆在抛物线内部，如图： 如图，过点作与准线垂直，为垂足， 点作与准线垂直，为垂足，则， 所以， 当且仅当，，三点共线时，所以的最小值为4． 故选：A 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上且异于C的顶点，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意可知，的实半轴长，虚半轴长， 半焦距， 故选：C. 二、多选题 9．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【详解】解：圆与圆的圆心分别为：；， 则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为， 所以的最大值为； 的最小值. 故选：AD. 10．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，即， ，即， 故选：AC 11．已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则（    ） A．直线AB的斜率为 B． C． D．为钝角 【答案】CD 【详解】对于A，易得，，由， 则的横坐标为， 代入抛物线可得，即，，则直线的斜率为，故A错误； 对于B：由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，，则，则，代入抛物线得， 解得，则，， 故，故B错误； 对于C,，故C正确； ，，，则为钝角，故D正确． 故选：CD．    三、填空题 12．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】解：设与渐近线的交点为A， 因为关于C的一条渐近线的对称点为M， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以C的渐近线方程为. 故答案为：. 13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且点位于第一象限，，则 ， . 【答案】 / / 【详解】设，，由于点位于第一象限，所以, 由焦点，,则 有， , 解得，. 故答案为：，. 14．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点，为上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接， 由题知焦点，，. 因为，直线的斜率为，所以为正三角形， 所以，， 记关于直线的对称点为，则， 则当，，三点共线时，周长， 即周长的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，因为，所以， 点在椭圆上，将其代入椭圆的， 可得，即①， 又因为，即②， 联立①②，整理得，解得或， 因为，所以， 所以， 故椭圆的标准方程为； （2）因为，所以的面积， 则， 因为长轴长为，即， 根据椭圆的定义得， 所以，即③， 由余弦定理可得， 整理得 ④， 联立③④得：，即， 则，所以， 在椭圆中有，即， 解得. 16．已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 【答案】(1)， (2)2 【详解】（1）由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； （2）设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 17．已知双曲线的左、右焦点分别是，P 是双曲线右支上一点，，垂足为点 H，，. （1）当时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率e 的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）如图所示，当时，代入双曲线，可得 由与相似，可得， 因为，所以，整理得， 可得，所以， 当时，可得，所以，所以双曲线渐近线方程为. （2）由（1）可得， 则， 又由函数在上单调递增函数， 所以当时，取得最大值，当时，取得最小值， 即，所以. 18．已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 【答案】(1)，准线方程为. (2)3 【详解】（1）将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. （2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小， 则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 19．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$