复习04 单调性、奇偶性、对称性与周期性的综合（十一大题型）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习04 单调性、奇偶性、对称性与周期性的综合 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【题型3 利用函数的单调性求最值】 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 【题型6 己知函数的奇偶性求解析式、求值】 【题型7 函数的对称性与周期性】 【题型8 类周期函数】 【题型9 利用函数的性质比较大小】 【题型10 利用函数的性质解不等式】 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 知识点 1 ：函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 知识点 2 ：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 知识点 3 ：函数的周期性 函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 知识点 4 ：函数的对称性 ①若函数满足，则其函数图象关于直线对称； ②若函数满足，则其函数图象关于点对称， 难点 1 ：复合函数的单调性 将复合函数分解为若干个常见函数，分别判断每个常见函数的单调性，然后根据复合函数的单调性规律（同增异减）来确定整个复合函数的单调性 难点 2 ：奇偶性与单调性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 难点 3 ：奇偶性与单调性比较大小 看自变量是否在同一单调区间上 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 难点 4 ：利用奇偶性、对称性求周期、函数值 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 难点 5 ：类周期函数问题 若满足：，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数，一般通过画图来处理. 题型归纳 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 例1．函数的单调减区间是 ． 例2．已知函数，其中. (1)当时，若，求函数的最小值； (2)当时，若，判断并证明函数的单调性. 变式1-1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．函数的单调递增区间为 . 变式1-3．已知函数满足 (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减. 【题型2 根据函数的单调性求参数】 例3．已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 例4．已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．若函数  在[1，+∞）上是严格减函数，且在[1，+∞）上函数值不恒为负，则实数的取值范围是 【题型3 利用函数的单调性求最值】 例5．函数的值域为（     ） A． B． C． D． 例6．函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．设函数，当时，的最小值为，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D．1 变式3-2．表示与中的较大者，设，则函数的最小值是 . 变式3-3．已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 例7．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 例8．设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．判断函数的奇偶性：（1）为 函数；（2）为 函数. 变式4-2．下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．函数的图象大致为（   ） A． B． C．   D． 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 例9．已知函数为奇函数，则（   ） A． B．， C．， D．， 例10．已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 变式5-1．已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 变式5-2．若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 变式5-3．已知函数为奇函数，则等于 ． 【题型6 己知函数的奇偶性求解析式、求值】 例11．已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 例12．已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 变式6-1．若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数且，则的值为 ． 变式6-3．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， . 【题型7 函数的对称性与周期性】 例13．设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．2025 例14．设是定义在R上的函数，满足，且；当时，，则 . 变式7-1．已知函数对任意都有，且的图象关于对称，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 变式7-2．（多选）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（   ） A． B．点是函数的图象的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上有个零点 变式7-3．已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则 ． 【题型8 类周期函数】 例15．定义在 上的函数 满足 ，且当 时，，则函数 在 上的零点个数为 A．5 B．6 C．7 D．8 例16．定义在上的函数满足：对，都有；当时，，给出如下结论：其中所有正确结论的序号是： ． ①对，有； ②函数的值域为； ③存在，使得； ④函数在区间单调递减的充分条件是“存在，使得”． 变式8-1．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．（多选）定义在R上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的m可以是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，则方程在区间内的解的个数是 个. 【题型9 利用函数的性质比较大小】 例17．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 例18．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 变式9-1．（多选）已知定义在上的函数满足，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知函数在上单调递增，且，记，则（   ） A． B． C． D． 变式9-3．（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【题型10 利用函数的性质解不等式】 例19．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 例20．已知是定义在上的偶函数，当时单调递增，且，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 变式10-1．定义在上的函数满足：①，，②，，，都有，③，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式10-2．已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式10-3．已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 例21．若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 例22．已知是定义在上的不恒为零的函数，且， ①若对任意，总有，则是奇函数； ②若对任意，总有，则是偶函数； ③若对任意，总有，则； ④若对任意，总有，则； 则上述说法正确的是 .（填写序号） 变式11-1．（多选）已知函数不为常数函数，且对任意，都有，则（    ） A． B．恒成立 C．为偶函数 D． 变式11-2．（多选）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 变式11-3．定义在上的函数，满足，，当时，. (1)求的值； (2)用定义证明在上是个增函数； (3)解关于的不等式. 过关检测 一、单选题 1．下列函数中，是上单调减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 3．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   4．已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 5．若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列关于函数的结论正确的是（   ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 10．已知函数是减函数，则的可能取值为（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 三、填空题 12．已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则 13．已知函数 ，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围是 ． 14．已知定义域为的函数满足，的图象关于直线对称，，则 ． 四、】题 15．已知是定义域为的奇函数，当时， (1)求当时，函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 16．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 17．已知函数，其中为常数 (1)若，设函数，若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)求函数在上的最大值． 18．已知函数为定义在区间上的奇函数，且． (1)求函数的解析式： (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．已知定义在上的函数满足，当时，成立，且． (1)求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对于，都有成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习04 单调性、奇偶性、对称性与周期性的综合 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【题型3 利用函数的单调性求最值】 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 【题型6 己知函数的奇偶性求解析式、求值】 【题型7 函数的对称性与周期性】 【题型8 类周期函数】 【题型9 利用函数的性质比较大小】 【题型10 利用函数的性质解不等式】 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 知识点 1 ：函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 知识点 2 ：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 知识点 3 ：函数的周期性 函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 知识点 4 ：函数的对称性 ①若函数满足，则其函数图象关于直线对称； ②若函数满足，则其函数图象关于点对称， 难点 1 ：复合函数的单调性 将复合函数分解为若干个常见函数，分别判断每个常见函数的单调性，然后根据复合函数的单调性规律（同增异减）来确定整个复合函数的单调性 难点 2 ：奇偶性与单调性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 难点 3 ：奇偶性与单调性比较大小 看自变量是否在同一单调区间上 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 难点 4 ：利用奇偶性、对称性求周期、函数值 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 难点 5 ：类周期函数问题 若满足：，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数，一般通过画图来处理. 题型归纳 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 例1．函数的单调减区间是 ． 【答案】 【详解】当时，， 所以，在上函数单调递增，在上函数单调递减， 当时，，即在上函数单调递增， 综上，函数的单调减区间为. 故答案为： 例2．已知函数，其中. (1)当时，若，求函数的最小值； (2)当时，若，判断并证明函数的单调性. 【答案】(1) (2)单调递减；证明见详解. 【详解】（1）因为，则， ∵，∴， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的最小值为. （2）因为，则 ，且，则 由，得，， 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减. 变式1-1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 变式1-2．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 变式1-3．已知函数满足 (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为恒成立，所以的定义域为， ， 令，，则， 故的解析式为，. （2）证明：任取，令， 则， 因为，所以，， 从而，即， 故在上单调递减. 【题型2 根据函数的单调性求参数】 例3．已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知在，上单调递减， 则或， 得或. 故选：B. 例4．已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数满足对任意， ，当时都有成立， 所以在R上的增函数， 于是，即， 解得，即. 故选：A 变式2-1．若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A 变式2-2．若在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分段函数在是减函数需满足， 解得， 故选：D. 变式2-3．若函数  在[1，+∞）上是严格减函数，且在[1，+∞）上函数值不恒为负，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】解：， 因为函数在[1，+∞）上是严格减函数， 所以，解得， 因为函数在[1，+∞）上函数值不恒为负， 所以时，，解得， 综上：， 故答案为： 【题型3 利用函数的单调性求最值】 例5．函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得定义域为； 因为单调递增，单调递减，所以单调递增； 当，，当时，， 所以函数的值域为， 故选：C. 例6．函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得函数图象的对称轴为直线，且函数在区间上单调， 则或，解得或， 又，即，所以或， 即的取值范围是. 故选：C. 变式3-1．设函数，当时，的最小值为，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】， 当时，单调递减，在上的最小值为； 当时，，； 当时，单调递增，在上的最小值为， 因此 可得当时，取得最大值为1． 故选：D 变式3-2．表示与中的较大者，设，则函数的最小值是 . 【答案】0 【详解】令得或， 画出的图像，如图所示：    则， 故， 故答案为：0. 变式3-3．已知函数，且. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【详解】（1）因为，且，所以，所以. （2）函数在上单调递增.证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 例7．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数. (2)偶函数. (3)非奇非偶函数 【详解】（1）函数的定义域为， ， 是奇函数. （2）函数的定义域是， ， 是偶函数. （3）函数的定义域是，不关于原点对称， 是非奇非偶函数. 例8．设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，, 不满足，故不是奇函数，故A错误； 对于B，，定义域为, 满足，是奇函数，故B正确； 对于C，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，其定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故D错误. 故选：B 变式4-1．判断函数的奇偶性：（1）为 函数；（2）为 函数. 【答案】 奇 偶 【详解】（1）因为的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是奇函数； （2）因为的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数. 故答案为：（1）奇；（2）偶. 变式4-2．下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，定义域为R，，是偶函数，A不是； 对于B，定义域为，而， 即函数在上不单调，B不是； 对于C，定义域为R，，在上不递增，C不是； 对于D，定义域为R，，是奇函数， 当时，在上单调递增，D是. 故选：D 变式4-3．函数的图象大致为（   ） A． B． C．   D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为，且， 所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除CD， 当时，， 因为在上单调递增， 将其图象上所有的点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的图象，单调性不变， 所以在上单调递增，排除B． 故选：A 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 例9．已知函数为奇函数，则（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意可知，，即， 整理得， 即对于恒成立， 则，所以，， 故选：D． 例10．已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 【答案】0，0 【详解】由题意知，故． 由是奇函数知， 即， ∴，∴. 故答案为：0，0. 变式5-1．已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】是上的奇函数， 定义域关于原点对称，即， 所以，，此时定义域为， 又，则，故， 则 故选：A 变式5-2．若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 【答案】D 【详解】已知时，. 当时，，根据函数表达式，.   因为是奇函数，所以. 当时，. 由可得. 对于，等式两边对应项系数相等. 对于的系数，可得，解得. 对于的系数，可得.   故，. 故选：D. 变式5-3．已知函数为奇函数，则等于 ． 【答案】 【详解】设，则，所以， 所以， 又当时，，所以，，故， 故答案为：． 【题型6 己知函数的奇偶性求解析式、求值】 例11．已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，则，所以， 根据偶函数性质可知. 故选：C 例12．已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】5 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 变式6-1．若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为奇函数和偶函数满足， 则， 即，解得， 因此，. 故选：C. 变式6-2．已知函数且，则的值为 ． 【答案】 【详解】令，定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 所以，所以， 代入，可得， 故答案为：. 变式6-3．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】解：是定义域为的奇函数， 当时，， , 即时，， 设，则， ， 是定义域为的奇函数， . 故答案为：. 【题型7 函数的对称性与周期性】 例13．设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．2025 【答案】B 【详解】在上的函数的图象关于对称，则， 由为奇函数，得，于是， ，因此函数是以4为周期的周期函数， 由，得，由，得， 而，则，所以. 故选：B 例14．设是定义在R上的函数，满足，且；当时，，则 . 【答案】3 【详解】函数满足，且 则有， 故函数是周期为2的函数． . 故答案为：3. 变式7-1．已知函数对任意都有，且的图象关于对称，，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】函数对任意都有， ，因此函数的周期. 又的图象关于对称， 所以的图象关于对称，因此函数为奇函数． . 故选：B. 变式7-2．（多选）已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（   ） A． B．点是函数的图象的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．函数在上有个零点 【答案】AB 【详解】在中，令，得， 又函数是R上的奇函数，所以，故A正确； 因为，故是一个周期为的奇函数， 因为是的对称中心， 所以也是函数的图象的一个对称中心，故B正确； 作出函数的部分图象如图所示， 易知函数在上不具单调性，故C不正确； 函数在上有个零点，故D不正确. 故选：AB. 变式7-3．已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则 ． 【答案】4 【详解】因为为奇函数，所以的图像关于点对称， 所以， 又因为图象关于直线对称， 所以 用替换解得： 用替换解得： 故有 所以8是的周期， 所以 故答案为：4 【题型8 类周期函数】 例15．定义在 上的函数 满足 ，且当 时，，则函数 在 上的零点个数为 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】设，则.因为时， ，所以.因为，所以当时， 同理可得当时，； 当时，，此时最大值为x=-3时，f(x)=, 因为函数 在 上的零点个数等价于直线与函数 在上的图象的交点的个数， 结合的图象（如图）， 直线与函数在上的图象有7个交点，即函数在上有7个零点. 故选C. 【点睛】本题主要考查函数零点的个数及函数解析式的求解方法，考查了数形结合思想，利用f（x+2）＝3f（x）求解解析式是解决本题的关键． 例16．定义在上的函数满足：对，都有；当时，，给出如下结论：其中所有正确结论的序号是： ． ①对，有； ②函数的值域为； ③存在，使得； ④函数在区间单调递减的充分条件是“存在，使得”． 【答案】①②④． 【详解】对于①，令，则，当时， ，即①正确； 对于②，因为当时，，当时，，即， 所以，，即②正确； 对于③，因为，假设存在使得，即，因为无整数解，即③不正确； 对于④，根据③同理可得，当时，为减函数， 所以函数在区间上单调递减的充分条件是存在，使得，即④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查了函数的单调性、值域等，是一道较为综合的难题. 变式8-1．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时取等号. 当时，，则 ， 当且仅当，即时取等号，此时成立. 当时，，则 ， 当且仅当，即时取等号. 令，则，在上单调递减，在上单调递增. 令，则，解得或，即或，即或. 所以当时，都有成立，故的取值范围是， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是求得，，时函数的最小值，明确时，m的最大值所在区间为而得解. 变式8-2．（多选）定义在R上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的m可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可知， ， 当时，，故， 当时，，故， 令 解得或， 所以或， 所以m的最大值为，故或， 故选：AB 变式8-3．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，则方程在区间内的解的个数是 个. 【答案】 【详解】由已知中函数满足： ①定义域为；②对任意，有；③当时，， 首先作出时的图象，由可知： 当自变量增加函数值变为原来的倍，或者图象向左平移两个单位函数值变为原来的，作出函数与函数的图象如图： 当时； 当时，， 此时是方程的一个根， 当时，； 当时，， 此时是方程的一个根， 当时，的函数值小于，函数的函数值大于， 所以两个函数图象不再有交点， 当时方程有个根， 由图知当时，函数与函数的图象在区间有个交点， 所以函数与函数在区间共有 11个交点， 即方程在区间内的解的个数是， 故答案为：. 【题型9 利用函数的性质比较大小】 例17．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义域为的偶函数， 所以， 因为，且是上的增函数，故， 又，即. 因为在上单调递增， 所以，所以，即. 故选：C. 例18．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 变式9-1．（多选）已知定义在上的函数满足，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由得，关于对称， ，，且，，故在上单调递增， 故， 故，A正确；，B错误； ，C正确；，D正确. 故选：ACD 变式9-2．已知函数在上单调递增，且，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，函数满足， 所以，函数关于对称； 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 又因为， ，即. 故选：D. 变式9-3．（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以，，， 所以BD正确，C错误； 若，则，故A错误. 故选：BD. 【题型10 利用函数的性质解不等式】 例19．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 解得， 所以函数的定义域为； 又因为在上为增函数， 即在上为增函数， 所以在上为减函数， 又因为， 所以， 整理得， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据函数的奇偶性及单调性，将原不等式转化为，再结合定义域即可求解. 例20．已知是定义在上的偶函数，当时单调递增，且，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是定义在上的偶函数，当时单调递增， 所以当时单调递减，由，可得， 由，可得或， 所以或， 故选：D 变式10-1．定义在上的函数满足：①，，②，，，都有，③，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则为偶函数， ，，，都有 当函数为增函数， 又因为是偶函数，所以当时，为减函数， ，， 作出函数的图象如图： 等价为或，即或， 由图像可得解集为 故选：C 变式10-2．已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D 变式10-3．已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 所以为偶函数. 对于，且，有， 设，则，得，即， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 且，. 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：B 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析函数在指定区间上单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解不等式的解集. 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 例21．若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【详解】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 例22．已知是定义在上的不恒为零的函数，且， ①若对任意，总有，则是奇函数； ②若对任意，总有，则是偶函数； ③若对任意，总有，则； ④若对任意，总有，则； 则上述说法正确的是 .（填写序号） 【答案】①③④ 【详解】对于①，令得：；令得：，； 令得：，； 令得：，是奇函数，①正确； 对于②，令得：； 令得：， 是奇函数，②错误； 对于③，由①知：， 令，得：，又， ，③正确； 对于④，由②知：；令得：； 令，得：，； 令得：； 令，得：，； 令，得：，，④正确. 故答案为：①③④. 变式11-1．（多选）已知函数不为常数函数，且对任意，都有，则（    ） A． B．恒成立 C．为偶函数 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，得． 由题意，得不恒为零，所以，故A正确； 对于B，令，得，再令，得， 于是得到，， 令，得，故，所以， 从而恒成立，故B正确； 对于C，若为偶函数，则，即， 令，得， 又，所以为常数函数，与已知条件矛盾，故C错误； 对于D，由，， 得，当且仅当时，等号成立， 由函数不为常数函数，，满足，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛： 本题考查抽象函数的性质，关键掌握函数奇偶性的判定及性质： （1）赋值法，赋值法在抽象函数中是常用的一种方法，易理解，好计算； （2）换元法，根据换元法将抽象函数转化为具体函数，更易分析解析式； （3）运用函数奇偶性的性质可得到对称位置的函数值； （3）结合基本不等式可求出最值，注意“一正二定三相等”． 变式11-2．（多选）已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数在上是减函数 D． 【答案】ABC 【详解】对A：令得：.故A正确； 对B：由题意，故B正确； 对C：设，则 ， 因为，所以，即，所以函数在上是减函数，故C正确； 对D：因为，所以，故D错误. 故选：ABC 变式11-3．定义在上的函数，满足，，当时，. (1)求的值； (2)用定义证明在上是个增函数； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由已知， 令时，， 解得； （2）由已知，可得， 任取，，且，即， 所以， 即， 即函数在上是个增函数； （3）由已知， 即， 又， 所以即为， 又函数在上单调递增， 则， 解得. 过关检测 一、单选题 1．下列函数中，是上单调减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，结合一次函数的性质可知是R上的递增函数，故A错误； 对于B，结合反比例函数的性质可得在上的单调递增，故B错误； 对于C，结合二次函数的性质可得在上的单调递减，故C满足题意； 对于D，因为与都是上的增函数，所以在上的单调递增，故D错误， 故选：C. 2．已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【答案】C 【详解】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，, 由图知，则，故A正确； 对于B，，为奇函数，则，故B正确； 对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为， 因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误； 对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确. 故选：C. 3．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】函数的定义域为R，， 即函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 当时，，当且仅当时取等号，排除CD，A符合题意. 故选：A 4．已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 又． 故选:C． 5．若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数为偶函数. 由二次函数知识知函数在上递减，在上递增. 所以由是偶函数，可知在和上递减，在和上递增. ①当时，在上递减，不满足条件； ②当时，在上递增，不满足条件； ③当时，在上递减，在上递增，所以在上不单调，满足条件； ④当时，在上递增，在上递减，所以在上不单调，满足条件； ⑤当时，在上递减，在上递增，所以在上不单调，满足条件. 综上，实数的取值范围为． 故选：A. 6．已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键. 7．已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，易知在上，在上，且， 由，则或， 所以原不等式的解集为. 故选：C 8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，偶函数在上是减函数， 由不等式对任意恒成立，得不等式对任意恒成立， 因此对任意恒成立，而，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 二、多选题 9．下列关于函数的结论正确的是（   ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 【答案】ABC 【详解】函数，定义域为， 由函数和在和上都单调递增， 所以在和上单调递增，A选项正确； 函数，图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 由反比例函数在和上单调递减， 所以在和上单调递减，B选项正确； 当时，函数，所以在上为增函数，C选项正确； 函数在上单调递减，上单调递增，D选项错误. 故选：ABC. 10．已知函数是减函数，则的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】根据题意，函数在上为减函数，则，可得， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：CD. 11．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 【答案】BD 【详解】①， ②， 由②可得：③， ①③联立可得：④， 所以的图象关于点对称，A错； 由④，又为偶函数，所以， 所以，两式相减可得：， 又，，结合 所以，B对， ，由，可知：， 所以，所以，C错； 由，可得，结合， 得：， 所以， 又，所以 即，，， 所以， 所以，D正确. 故选：BD 三、填空题 12．已知函数和分别是相同定义域上的偶函数和奇函数，且，则 【答案】 【详解】由题意可得， 由，即. 故答案为：. 13．已知函数 ，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令函数， 不等式， 依题意，对任意的实数且，都有， 则函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 有，解得， 此时函数在上都单调递增，即在上单调递增， 又，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．已知定义域为的函数满足，的图象关于直线对称，，则 ． 【答案】 【详解】方法一：，， ，， 是周期为的周期函数； 的图象关于对称，， ，为偶函数， ，，解得：， ，，， . 方法二：令，则由得：， ，即， 是周期为的周期函数； 图象关于直线对称，， 又，； 令，则，又，， ． 故答案为：. 【点睛】结论点睛：（1）若函数的图象关于直线对称（当时，为偶函数），则①；②；③； （2）若函数的图象关于点对称（当时，为奇函数），则①；②；③； （3）若函数的图象关于点对称，则①；②；③． 四、解答题 15．已知是定义域为的奇函数，当时， (1)求当时，函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，当时，， 则当时，，， 所以当时，函数的解析式为. （2）当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，则或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 16．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且当时，， 则，解得，即时，； 当时，，， 故； （2）作出函数的大致图象如图所示： 当时，函数在上单调递增，则； 当，，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，则， 则； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则， 则，所以； 当时，即当时，函数在上单调递增， 此时， 综上所述，． 17．已知函数，其中为常数 (1)若，设函数，若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (2)求函数在上的最大值． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1），解得． 可得，其对称轴方程为， 若在上为增函数，则，解得， 若在上为减函数，则，解得， 综上可知，的取值范围为或． （2）当时函数在上单调递增，最大值是11； 当时，对称轴， 在上单调递增，所以， 当时，对称轴； ①当，即时， 在上单调递减， ②当，即时， ③当，即时， 在上单调递增，， 综上所述，当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是11； 当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是； 当时，函数的最大值是； 18．已知函数为定义在区间上的奇函数，且． (1)求函数的解析式： (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在是增函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，所以， ，解得， 所以，经检验，该函数为奇函数； （2）在上递增，证明如下： 任取，，使得， 则， 因为，所以，，所以， 即，所以， 所以在上递增； （3）若对任意的，存在，使得成立，则 由（2）得在上递增，所以， 存在，成立，即 若，则在上为增函数，， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数，   综上可知：．即实数的取值范围是：． 19．已知定义在上的函数满足，当时，成立，且． (1)求，判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对于，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，为奇函数，证明见解析 (2) 【详解】（1）因为定义在上的函数满足， 令，即，即； 为奇函数，证明如下： 因为的定义域为， 令，，则，即， 所以为奇函数； （2）当时，成立， 所以在上单调递增， 因为， 所以，即， 若对于，都有，即成立， 则在上恒成立， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则，， 又在上单调递增，所以当时， 即当时，取得最大值， 所以，故实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$