3.1.1 函数及其表示方法 第一课时 函数的概念及表示方法（讲义）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦函数的概念及表示方法核心知识点，衔接初中变量依赖关系，通过集合语言刻画函数定义，明确三要素（定义域、对应关系、值域），强调判断函数相等的标准，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示方法及拓展的抽象函数、复合函数与图象变换。 资料设计“想一想”引导概念辨析，随学随练即时巩固，分题型（如定义域求解、函数值计算）系统训练，结合数学抽象（集合语言刻画）、直观想象（图象变换）素养，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，深化对函数本质的理解。

第三章 函数 3.1.1 函数及其表示方法 第一课时 函数的概念及表示方法 课标要点 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（数学抽象）. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用（数学抽象）. 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域（数学抽象、数学运算）. 4.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用（数学抽象、直观想象） 学习重难点 重点： 函数定义：非空数集 A、B，按对应关系 f，A 中任意 x，B 有唯一 y 对应； 三要素：定义域、对应关系、值域； 判断两函数相等看定义域与对应关系； 区间表示定义域、值域。 难点： 区分 “任意、唯一” 理解函数对应关系； 准确求解含分式、根式的定义域； 辨析解析式相同定义域不同的不等函数； 知识点一　函数的相关概念 定 义 给定两个　非空实数集　A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的　每一个　实数x，在集合B中都有　唯一　确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个　函数　，记作y＝f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量 三要素 对应关系 y＝f（x），x∈A 定义域 自变量x的取值的范围（即数集A） 值域 所有函数值组成的集合{y｜y＝f（x），x∈A} 　　提醒：（1）给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值的集合；（2）函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. 【想一想】 1.有同学认为“y＝f（x）”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 2.f（x）与f（a）（a为x定义域内的一个定值）有何区别与联系？ 随学随练 1. 下列变量x与y的关系中，不能构成y式x的函数关系的是（ ） 2．（多选）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点二　同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数　定义域　相同，　对应关系　也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 【想一想】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 随学随练 1.下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是（　　） A.y＝（）2　 B.y＝＋2 C.y＝＋2　 D.y＝＋2 2.〔多选〕下列各选项给出的两个函数中，表示同一个函数的有（　　） A.f（x）＝x与g（x）＝ B.f（t）＝｜t－1｜与g（x）＝｜x－1｜ C.f（x）＝与g（x）＝－x D.f（x）＝与g（x）＝x－1 知识点三　函数的表示方法 1.函数的图象 （1）定义：将函数y＝f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图象，即F＝{（x，y）｜y＝f（x），x∈A}； （2）F是函数y＝f（x）的图象，必须满足下列条件： ①图象上　任意一点　的坐标（x，y）都满足函数关系y＝f（x）； ②满足函数关系y＝f（x）的点（x，y）都在函数图象F上. 2.函数的表示法 【想一想】 所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？ 随学随练 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 拓展1 抽象函数与复合函数 1.抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数. 2.复合函数的定义 如果函数y＝f（t）的定义域为A，函数t＝g（x）的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f（g（x））为f与g在D上的复合函数.其中t叫做中间变量，t＝g（x）叫做内层函数，y＝f（t）叫做外层函数. 3.抽象函数与复合函数定义域的求法 复合函数f（g（x））的定义域是指x的取值范围，而不是g（x）的取值范围. （1）已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已知g（x）的取值范围（值域）为A，求x的取值范围； （2）已知f（g（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f（g（x））中的x的取值范围为B，求出g（x）的取值范围（值域），即f（x）的定义域； （3）已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域，先由x的取值范围，求出g（x）的取值范围，即f（x）中的x的取值范围，即h（x）的取值范围，再根据h（x）的取值范围求出x的取值范围. 【典例】　（1）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则g（x）＝f＋f的定义域为　 ； （2）若函数f（x＋3）的定义域为[－5，－2]，则函数F（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）的定义域为　　. 【迁移应用】 已知函数f（x－1）的定义域为（2，4），则函数f（x）＋f（x2）的定义域为（　　） A.（1，）　　　　　　 B.（1，） C.（1，4）　 D.（1，9） 拓展2 函数图象的三种变换 1.函数图象的平移变换 左加右减：函数y＝f（x）的图象沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位长度得到函数y＝f（x＋a）的图象. 上加下减：函数y＝f（x）的图象沿y轴方向向上（b＞0）或向下（b＜0）平移｜b｜个单位长度得到函数y＝f（x）＋b的图象. 例如：函数f（x）＝x2，分别作出y＝f（x＋1），y＝f（x－1），y＝f（x）＋1，y＝f（x）－1的图象如图所示. 图象向左平移 图象向右平移 一个单位长度　　　一个单位长度 图象向上平移 图象向下平移 一个单位长度　　一个单位长度 2.函数图象的对称变换 例如：f（x）＝（x＞0），分别作出y＝－f（x），y＝f（－x），y＝－f（－x）的图象如图所示. 横坐标不变， 横坐标取相反数， 横坐标、纵坐标 纵坐标取相反数 纵坐标不变 同时取相反数 3.函数图象的翻折变换 例如：已知函数y＝f（x）＝x2－2x－3，分别作出函数y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图象如图所示. y＝｜f（x）｜的图象为保留y＝f（x）图象在x轴上方的部分，把x轴下方的部分沿x轴翻折上去. y＝f（｜x｜）的图象为保留y＝f（x）图象在y轴右侧的部分，把y轴右侧的图象翻折到y轴左侧. 【迁移应用】 画出下列函数的大致图象： （1）y＝； （2）y＝｜x2－1｜. 题型一 函数关系的判断 解题贴士：1.判断一个对应关系是否是函数的方法 2.根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 （1）任取一条垂直于x轴的直线l； （2）在定义域内平行移动直线l； （3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．  B．  C．  D．   【变式1】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．  B．  C．  D．   【变式2】（25-26高一上·广东广州·期末）集合与对应关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．是从集合到集合的函数 C．对应关系 D．的定义域为集合，值域为集合 题型二 求函数的定义域 解题贴士：求函数定义域的常用方法 （1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； （4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 【例2】（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（2026·甘肃·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 题型三 求函数值 解题贴士：函数求值的方法 （1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值； （2）求f（g（a））的值时应遵循由里往外的原则. 【例3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【变式2】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【变式3】（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型四 求函数值域 解题贴士：求函数值域常用的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f（x）＝ax＋b＋（其中a，b，c，d为常数，且a≠0）型的函数常用换元法. 【例4】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026·云南曲靖·二模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型五 判断两个函数是否是同一个函数 解题贴士：判断同一个函数的方法 判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则： （1）先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数； （2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同. 【例5】（25-26高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型六 函数的表示法 解题贴士：函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少. 在应用三种方法表示函数时要注意： （1）解析法必须注明函数的定义域； （2）列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； （3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 【例6】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 【变式1】（25-26高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 【变式3】已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 题型七 函数图象的作法及应用 解题贴士：描点法作函数图象的步骤 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f（x），并用表格的形式表示出来； （2）描点：把第（1）步表格中的点（x，f（x））一一在平面直角坐标系中描出来； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大（或由大到小）的顺序连接起来. 【例7】作出下列函数的图象并求出其值域： （1）y＝2x＋1，x∈[0，2]； （2）y＝，x∈[2，＋∞）； （3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 【变式1】直角梯形ABCD，如图①，动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）.如果函数y＝f（x）的图象如图②所示，则△ABC的面积为　　. 【变式2】已知函数y＝f（x＋1）的图象如图所示，则函数y＝f（1－x）的图象可能为（　　） 【变式3】作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： （1）y＝－，x∈[－3，0）∪（0，1]； （2）y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]. 题型八 函数解析式的求法 解题贴士：判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例8】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【变式3】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 基础通关 1．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 4．观察下表： x 1 2 3 5 1 3 5 1 4 2 3 则（    ） A． B． C．3 D．5 5．若函数，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 7．（25-26高二下·浙江·期中）若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 8．（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 9．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 11.（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则 12．（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．    13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 14．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 15．（25-26高一上·河南许昌·开学考试）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）公里以内（含公里），票价元； （2）公里以上，每增加公里，票价增加元（不足公里的按公里计算）. 如果某条线路的总里程为公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象. 素养提升 16.（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 17.（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 18.（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 19.（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 20.（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 迁移创新 21．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 22．（25-26高三·全国·一轮复习）已知一次函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 3.1.1 函数及其表示方法 第一课时 函数的概念及表示方法 课标要点 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（数学抽象）. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用（数学抽象）. 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域（数学抽象、数学运算）. 4.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用（数学抽象、直观想象） 学习重难点 重点： 函数定义：非空数集 A、B，按对应关系 f，A 中任意 x，B 有唯一 y 对应； 三要素：定义域、对应关系、值域； 判断两函数相等看定义域与对应关系； 区间表示定义域、值域。 难点： 区分 “任意、唯一” 理解函数对应关系； 准确求解含分式、根式的定义域； 辨析解析式相同定义域不同的不等函数； 知识点一　函数的相关概念 定 义 给定两个　非空实数集　A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的　每一个　实数x，在集合B中都有　唯一　确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个　函数　，记作y＝f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量 三要素 对应关系 y＝f（x），x∈A 定义域 自变量x的取值的范围（即数集A） 值域 所有函数值组成的集合{y｜y＝f（x），x∈A} 　　提醒：（1）给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值的集合；（2）函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. 【想一想】 1.有同学认为“y＝f（x）”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 【提示】这种看法不对.符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f（x）仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f（x）外，还常用g（x），F（x），G（x）等来表示函数. 2.f（x）与f（a）（a为x定义域内的一个定值）有何区别与联系？ 【提示】f（a）表示当x＝a时，函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值，如一次函数f（x）＝3x＋4，当x＝8时，f（8）＝3×8＋4＝28是一个常数. 随学随练 1. 下列变量x与y的关系中，不能构成y式x的函数关系的是（ ） 【答案】C 【解析】选项A，B，D对应关系中，每一个x都有唯一的y与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，当x=9时，y的值为-2和2与之对应，不符合函数的定义． 2．（多选）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【解析】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 知识点二　同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数　定义域　相同，　对应关系　也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 【想一想】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 【提示】不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数. 随学随练 1.下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是（　　） A.y＝（）2　 B.y＝＋2 C.y＝＋2　 D.y＝＋2 【答案】B 【解析】对于A，y＝（）2的定义域为[－2，＋∞），而y＝x＋2的定义域为R，定义域不同，故A错误；对于B，y＝＋2化简后为y＝x＋2，定义域和对应关系相同，故B正确；对于C，y＝＋2化简后为y＝｜x｜＋2，对应关系不同，故C错误；对于D，y＝＋2的定义域为，与y＝x＋2的定义域为R不相同，故D错误.故选B. 2.〔多选〕下列各选项给出的两个函数中，表示同一个函数的有（　　） A.f（x）＝x与g（x）＝ B.f（t）＝｜t－1｜与g（x）＝｜x－1｜ C.f（x）＝与g（x）＝－x D.f（x）＝与g（x）＝x－1 【答案】BC 【解析】对于A：f（x），g（x）定义域都为R，但f（x）＝x，g（x）＝｜x｜，对应关系不同，故不是同一个函数；对于B：f（t）＝｜t－1｜定义域为R，g（x）＝｜x－1｜定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，故为同一个函数；对于C：f（x）＝定义域为x≤0，且可化简为f（x）＝－x，函数g（x）＝－x定义域为x≤0，两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一个函数；对于D：f（x）＝定义域为x≠－1，g（x）＝x－1定义域为R，定义域不同，故不是同一个函数.故选B、C. 知识点三　函数的表示方法 1.函数的图象 （1）定义：将函数y＝f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图象，即F＝{（x，y）｜y＝f（x），x∈A}； （2）F是函数y＝f（x）的图象，必须满足下列条件： ①图象上　任意一点　的坐标（x，y）都满足函数关系y＝f（x）； ②满足函数关系y＝f（x）的点（x，y）都在函数图象F上. 2.函数的表示法 【想一想】 所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？ 【提示】并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段. 随学随练 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由条件可知，，即，，得，解得：. 3．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】要使函数有意义，需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 3．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【解析】令，则， 拓展1 抽象函数与复合函数 1.抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数. 2.复合函数的定义 如果函数y＝f（t）的定义域为A，函数t＝g（x）的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f（g（x））为f与g在D上的复合函数.其中t叫做中间变量，t＝g（x）叫做内层函数，y＝f（t）叫做外层函数. 3.抽象函数与复合函数定义域的求法 复合函数f（g（x））的定义域是指x的取值范围，而不是g（x）的取值范围. （1）已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已知g（x）的取值范围（值域）为A，求x的取值范围； （2）已知f（g（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f（g（x））中的x的取值范围为B，求出g（x）的取值范围（值域），即f（x）的定义域； （3）已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域，先由x的取值范围，求出g（x）的取值范围，即f（x）中的x的取值范围，即h（x）的取值范围，再根据h（x）的取值范围求出x的取值范围. 【典例】　（1）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则g（x）＝f＋f的定义域为　 ； 【答案】 【解析】∵f（x）的定义域是[0，2]，且g（x）＝f＋f， ∴则 ∴≤x≤，∴g（x）的定义域为. （2）若函数f（x＋3）的定义域为[－5，－2]，则函数F（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）的定义域为　　. 【答案】 【解析】∵函数f（x＋3）的定义域为[－5，－2]， ∴－5≤x≤－2，∴－2≤x＋3≤1， ∴函数f（x）的定义域为[－2，1]. ∴∴－1≤x≤0， ∴函数F（x）＝f（x＋1）＋f（x－1）的定义域为[－1，0]. 【迁移应用】 已知函数f（x－1）的定义域为（2，4），则函数f（x）＋f（x2）的定义域为（　　） A.（1，）　　　　　　 B.（1，） C.（1，4）　 D.（1，9） 【答案】 【解析】函数f（x－1）的定义域为（2，4），故1＜x－1＜3.若函数f（x）＋f（x2）有意义，则解得1＜x＜.则函数f（x）＋f（x2）的定义域为（1，）.故选B. 拓展2 函数图象的三种变换 1.函数图象的平移变换 左加右减：函数y＝f（x）的图象沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位长度得到函数y＝f（x＋a）的图象. 上加下减：函数y＝f（x）的图象沿y轴方向向上（b＞0）或向下（b＜0）平移｜b｜个单位长度得到函数y＝f（x）＋b的图象. 例如：函数f（x）＝x2，分别作出y＝f（x＋1），y＝f（x－1），y＝f（x）＋1，y＝f（x）－1的图象如图所示. 图象向左平移 图象向右平移 一个单位长度　　　一个单位长度 图象向上平移 图象向下平移 一个单位长度　　一个单位长度 2.函数图象的对称变换 例如：f（x）＝（x＞0），分别作出y＝－f（x），y＝f（－x），y＝－f（－x）的图象如图所示. 横坐标不变， 横坐标取相反数， 横坐标、纵坐标 纵坐标取相反数 纵坐标不变 同时取相反数 3.函数图象的翻折变换 例如：已知函数y＝f（x）＝x2－2x－3，分别作出函数y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图象如图所示. y＝｜f（x）｜的图象为保留y＝f（x）图象在x轴上方的部分，把x轴下方的部分沿x轴翻折上去. y＝f（｜x｜）的图象为保留y＝f（x）图象在y轴右侧的部分，把y轴右侧的图象翻折到y轴左侧. 【迁移应用】 画出下列函数的大致图象： （1）y＝； （2）y＝｜x2－1｜. 【解】（1）因为y＝＝2－，所以可先作出函数y＝－的大致图象，把图象向左平移1个单位长度得到y＝－的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到了函数y＝的图象，如图①所示. （2）先作出y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分沿x轴对称翻折到x轴上方，所得的图象就是函数y＝｜x2－1｜的图象，如图②所示. 题型一 函数关系的判断 解题贴士：1.判断一个对应关系是否是函数的方法 2.根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 （1）任取一条垂直于x轴的直线l； （2）在定义域内平行移动直线l； （3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【解析】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应，所以选项ABD均不符合.故选：C. 【变式1】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【解析】由函数的定义，对于任意自变量只能有唯一函数值与之对应， 结合各图知，A、B、C不符合，D符合.故选D 【变式2】（25-26高一上·广东广州·期末）集合与对应关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．是从集合到集合的函数 C．对应关系 D．的定义域为集合，值域为集合 【答案】B 【解析】选项A，由图可得，则， 则或，即或，故A错误； 选项B，由图，对于集合中的每个元素在集合中都有唯一的数对应，符合函数定义，故B正确； 选项C，因为，当时，由图知，而，故C错误； 选项D，由题图及函数定义，的定义域为集合，值域不是集合，是集合的一个真子集，故D错误.故选：B. 题型二 求函数的定义域 解题贴士：求函数定义域的常用方法 （1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； （4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 【例2】（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】要使函数有意义，需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 【变式1】（2026·甘肃·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使函数有意义，需使，解得或， 即函数的定义域为. 【变式2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得或， 故的定义域是.故选：B 【变式3】（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【解析】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或，故选：D． 题型三 求函数值 解题贴士：函数求值的方法 （1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值； （2）求f（g（a））的值时应遵循由里往外的原则. 【例3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】将代入，得到，解得.故选：B. 【变式1】（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【解析】因为，令，解得，所以．故选：C. 【变式2】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，所以．故选：C． 【变式3】（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以.故选：D 题型四 求函数值域 解题贴士：求函数值域常用的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f（x）＝ax＋b＋（其中a，b，c，d为常数，且a≠0）型的函数常用换元法. 【例4】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，由，可得， ，即函数的值域为.故选：A. 【变式1】（2026·云南曲靖·二模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把的值代入解析式计算即可得答案. 【详解】当时，， 当时，，当时，， 故的值域为.故选：B. 【变式2】（25-26高一上·广东广州·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，，当时，，即.故选：B 【变式3】（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域. 【详解】因为，所以， 故函数的值域为，故选： 题型五 判断两个函数是否是同一个函数 解题贴士：判断同一个函数的方法 判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则： （1）先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数； （2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同. 【例5】（25-26高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 【变式1】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为R，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，B是； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为R，C不是； 对于D，函数与的定义域均为R，而的值域为， 函数的值域为R，D不是. 故选：B 【变式2】（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，函数与的定义域都是， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数满足，解得， 即函数的定义域为， 又由满足，解得，即的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数与，所以两个函数的定义域相同， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 题型六 函数的表示法 解题贴士：函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少. 在应用三种方法表示函数时要注意： （1）解析法必须注明函数的定义域； （2）列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； （3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 【例6】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 【解】（1）列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 （2）图象法： （3）解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}. 【变式1】（25-26高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【解析】由表格可知，当时，.所以.故选：B. 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 【解】（1）由题得，当时，； 当时，，因此票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式为 （2）当时，，故需支付18.5元． 【变式3】已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时， ． （2）则 ． 【答案】 1 3 【解析】根据函数和表格中的数据，可得： 由和，可得，所以；又由，所以. 题型七 函数图象的作法及应用 解题贴士：描点法作函数图象的步骤 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f（x），并用表格的形式表示出来； （2）描点：把第（1）步表格中的点（x，f（x））一一在平面直角坐标系中描出来； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大（或由大到小）的顺序连接起来. 【例7】作出下列函数的图象并求出其值域： （1）y＝2x＋1，x∈[0，2]； （2）y＝，x∈[2，＋∞）； （3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 【解】（1）当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分（如图①），观察图象可知，其值域为[1，5]. （2）当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝图象的一部分（如图②），观察图象可知其值域为（0，1]. （3）当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分（如图③）. 由图象可得函数的值域为[－1，8]. 【变式1】直角梯形ABCD，如图①，动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）.如果函数y＝f（x）的图象如图②所示，则△ABC的面积为　　. 【答案】16　 【解析】由题意结合题图②可知：BC＝4，CD＝9－4＝5，AD＝14－9＝5， 如图，过D作DG⊥AB于点G，∴AG＝3，由此可求出AB＝3＋5＝8.S△ABC＝AB·BC＝×8×4＝16. 【变式2】已知函数y＝f（x＋1）的图象如图所示，则函数y＝f（1－x）的图象可能为（　　） 【答案】D　 【解析】因为函数y＝f（x＋1）与函数y＝f（1－x）的图象关于y轴对称.所以D选项符合.故选D. 【变式3】作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： （1）y＝－，x∈[－3，0）∪（0，1]； （2）y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]. 【解】（1）作出函数y＝－，x∈[－3，0）∪（0，1]的图象，如图②所示，由图象可知值域为（－∞，－4]∪. （2）作出函数y＝x2＋4x＋1，x∈[－3，0]的图象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1]. 题型八 函数解析式的求法 解题贴士：判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 【例8】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 【变式1】（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 且，或， 当且仅当即时取等.所以.故选：D. 【变式2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【解】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以或. （2）设， 根据题意得，解得 所以． 【变式3】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【解】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . （3）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 基础通关 1．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解析】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点，当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 2．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得. 3．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 4．观察下表： x 1 2 3 5 1 3 5 1 4 2 3 则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【解析】由题中表格得，， ∴，故选：D. 5．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，， .. 6．（25-26高一上·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 7．（25-26高二下·浙江·期中）若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 【答案】D 【解析】解法一：（赋值）令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令，得，所以； 令，得，所以． 解法二：（赋值递推）令得，所以， 所以，累加得， 所以． 解法三：（抽象函数具体化）观察发现满足题意且， 所以． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【解析】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 9．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于AB，，A正确，B错误； 对于CD，由，得，C错误，D正确. 故选：AD 10．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【解析】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 11.（25-26高二下·河南商丘·期末）已知，则 【答案】31 【解析】令，则，得． 12．（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．    【答案】 【解析】当时，， 当时，设，把，分别代入可得， 解得，故 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 14．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求的解析式. 【解】（1）令， 由， 所以的解析式为：； （2）令， 因为，所以， ， 所以的解析式为. 15．（25-26高一上·河南许昌·开学考试）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）公里以内（含公里），票价元； （2）公里以上，每增加公里，票价增加元（不足公里的按公里计算）. 如果某条线路的总里程为公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象. 【解】当时，；当时，； 当时，；当时，； 综上：函数解析式为. 按照分段函数画出图象，如下图：    素养提升 16.（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【解析】由题可知 的值域为 ，则 或 或 ， 结合“同族函数“的定义， 则函数定义域分别从 中各取至少一个数， 所以共有 种．故选：D 17.（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】当时，，其图象是抛物线在轴及右侧部分，排除BC； 当时，，则恒成立，其图象在轴下方，排除D，选项A符合题意. 故选：A 18.（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 19.（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】在中，，则， 所以函数中，解得. 20.（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 【答案】4051 【解析】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 迁移创新 21．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或，解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 22．（25-26高三·全国·一轮复习）已知一次函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值． 【解】（1）设， 则， 故有，解得， 故. （2）由（1）知，则， 则， 故， 且当时，可得，解得， 因此. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $