精品解析：江苏省泰州市姜堰区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024年秋学期期中学情调查九年级数学试题 （考试时间：120分钟，总分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴． 故选A． 2. 以锐角△ABC的边BC为直径作⊙O，则顶点A与⊙O的位置关系是（） A. 在⊙O内 B. 在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的直径所对应的圆周角为直角即可解答． 【详解】解：如图：⊙O的直径BC所对应的圆周角为直角，因为∠A是锐角，所以顶点A在⊙O外， 故选：C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握圆的直径所对应的圆周角为90度是解题关键． 3. 如图，点D、E分别在的边、上，且．若，，，则的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据两角相等得到，然后得到，代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：C． 4. 如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆切线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的定义以及性质，由切线的定义得出，由直角三角形两锐角互余得出，由三角形外角的定义以及等边对等角即可得出答案． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 5. 溱潼古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查正方形和正八边形的性质、相似三角形的判定和性质．设，得到，，即可得到． 【详解】解：如图，设， 由正方形和正八边形的性质得到，， ∴，， ∴， 故选：B 6. 已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的两根为，，得，，得到方程为，于是得到的两个根均为正数，建立不等式组，求不等式组的解集，判断即可． 本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，根的判别式，不等式组的解法，熟练掌握定理，根的判别式，正确解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴方程为， ∵的两个根均为正数，设两个根为： ∴， 解不等式组，得， 故选：C． 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若是方程的两根，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根据根与系数关系求解即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：． 8. 如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得继而得到，代入计算即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案：． 9. 已知圆锥的母线长为6，其侧面积为，则该圆锥底面圆的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查求圆锥底面圆的半径．根据圆锥的侧面积公式（分别为底面圆半径和母线长），进行求解是解题的关键． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，则由题意得，， 解得：， 故答案为：3． 10. 在阳光下，身高为的小强在地面上的影长为，同一时刻，测得附近一旗杆的影长为，则旗杆的高度为______． 【答案】##8米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可求出答案． 【详解】解：设旗杆的高度为， 由题意可得：， 解得， 故旗杆的高度为， 故答案为：． 11. 某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从8月份的5万辆增长到10月份的万辆，则这两个月汽车销售量的月平均增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设从8月份到10月份的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设从8月份到10月份的月平均增长率为，根据题意得， ， 解得：（舍去） ∴从8月份到10月份的月平均增长率为， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以点O为位似中心，把按相似比放大，得到，则在第一象限内点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似图形，根据点在第一象限，以点为位似中心，在第一象限内把按相似比放大，将点的横纵坐标均乘以，即可得出结果，掌握以原点为位似中心的图形的对应点的坐标乘以或是解答本题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点在第一象限， ∵以点为位似中心，在第一象限内把按相似比放大，， ∴点的坐标为，即； 故答案为：． 13. 一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是cm，则这个直角三角形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，设一直角边长为，另一直角边长为，根据勾股定理，解一元二次方程求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设一直角边长为，另一直角边长为， ∵三角形是直角三角形， ∴根据勾股定理， 整理得：， 解得， 三角形面积为． 故答案为． 14. 如图，点是等腰直角三角形的重心，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，由三角形的重心得到，，由勾股定理求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图： ∵是的重心， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，且，垂足为D．若，，则的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、角平分线性质、圆周角定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 过点O作的垂线交于点E，交于点F，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点O作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， 是的平分线 设的半径为，则 在中利用勾股定理得 即 解得． 故答案为：． 16. 如图，为的弦，且，垂足为E，若的长为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作于点F，作于点H，证明四边形是正方形，则，，则，由勾股定理得到，则，设的半径为r，则，证明，得到，则，由的长为得到,则，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点O作于点F，作于点H，如图， 则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长为， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质、矩形的判定和性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，添加合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用开平方法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 解得：， 【小问2详解】 解： 或 解得： 18. 如图，在正六边形中，P是的中点，点Q在上，且，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，相似三角形以及平角，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据正六边形的性质，相似三角形的判定和性质以及平角的定义进行计算即可． 【详解】解：正六边形中， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若是该方程的两个根，且，求k的值． 【答案】（1）证明：， 故无论k为何值，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式进行计算即可； （2）根据根与系数的关系进行计算得到k的值，进而结合题干判断即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ， ，， ， 解得，． ∵，， ∴， 即， ∴， ∴，， 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意，舍去； 综上所述，． 20. 如图，点A、B、C、D在上，E是延长线上一点，且，给出下列信息： ①；②F是的中点；③ 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论，组成一个真命题，并说明理由． 你选择的补充条件是 ，结论是 （填写序号） 证明： 【答案】条件是①②，结论③（答案不唯一）；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定与性质等知识，难度不大．选择的补充条件是①②，可得结论③．首先证明，从而得到，得到，然后得出是中位线，从而证得；选择的补充条件是①③，结论②，，连接，过点B作交于，证明是的中位线，从而证明点与点重合，得出结论；选择的补充条件是②③，结论①，连接，先证明，得出，进而证明，即可证明结论． 【详解】解：选择的补充条件是①②，结论③，证明如下： 如图所示，连接， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，F为中点， 是中位线， ， ； 选择的补充条件是①③，结论②，证明如下： 如图所示，连接，过点B作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点是中点， 是的中位线， ， ， 点与点重合， 点是中点； 选择的补充条件是②③，结论①，证明如下： 如图所示，连接， ，F为中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ． 21. 如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键； （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据切线的判定定理得到结论； (2)根据三角形的内角和定理得到，求得，得到，求得，根据三角形和形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积的面积扇形的面积． 22. 如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F． （1）判断与是否相似，并说明理由； （2）若，，的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定可得结论； （2）先求得，再根据相似三角形的对应边成比例性质求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，四边形内接于，为的直径，、的延长线相交于点E，且． （1）求证：； （2）若的半径为9，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据等弧所对的圆周角相等定得，直径所对的圆周角等于90度得出，进而可得出，利用证明，从而证明． （2）连接，在中利用勾股定理求出，求出，利用全等三角形的性质得到，从而得到，设，则，在中利用勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【小问1详解】 证明∶如图，连接． ∵， ∴ ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如上图： ∵的半径为9， ∴， ∵为直径， ∴， ∴． 在中利用勾股定理，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则 在中利用勾股定理，得， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定定理以及性质，勾股定理等知识，掌握周角定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理是解题的关键． 24. 综合与实践 某农场打算将长的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为，求长方形的两边长； 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 【答案】解决问题：垂直于墙面的一边长13米，平行于墙面的一边为6米； 设计方案：设垂直于墙面的一边长p米，平行于墙面的一边为q米， 根据题意得， 解得：或， ∴垂直于墙面的一边长9米，平行于墙面的一边为11米或垂直于墙面的一边长11米，平行于墙面的一边为9米； 画出一种方案如图： 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，涉及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 解决问题：设垂直于墙面的一边长x米，根据题意得，即可解得答案； 设计方案：设垂直于墙面的一边长p米，平行于墙面的一边为q米，根据题意可得关于p、q的二元一次方程组，解方程组求出长方形的长，宽，再作图即可． 【详解】解：解决问题：设垂直于墙面的一边长x米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得或； ∴（大于8，舍去）或， ∴垂直于墙面的一边长13米，平行于墙面的一边为6米； 设计方案：略 25. 如图1，中，，，E、D、F分别为、上的动点（点E不与A、C重合，点F不与B、C重合），过点E、F分别作的垂线，垂足分别为M、N，且． （1）求证：； （2）如图2，若四边形是正方形，求的长； （3）若N为的中点，试判断与能否相等，如果能相等，求出的长；如果不能相等，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）不能相等，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质正方形的判定和性质； （1）根据题意，得出根据两角对应相等即可证明； （2）由勾股定理得，当四边形是正方形时，设，证出，得到，从而，再证，得到，得，，又由(1)中，可得，得最后根据求解即可； （3）若N为中点，则，证出，解得 假设，则由可得，解得再证出，得即，得方程，解得，但不合题意，从而假设不成立， 即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴ 当四边形是正方形时， 则， 设， ∵， ∴， ∴，即 解得 ∴， ∵， ∵， ∴，即 解得， 又由(1)中，可得 即 得 ∴ 【小问3详解】 证明：与不能相等，理由如下： 若N为中点，则， ∵， ∴， ∴即， 解得 假设，则 ∴ 由可得， 即 解得 ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即， 即，整理得：， 可得，但不合题意，从而假设不成立， 故与不可能相等． 26. 定义：内接于，I为的内心，若I关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． 【初步认识】（1）下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有 （填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． 【探索本质】（2）如图1，是的“完美三角形”，其内心I关于的对称点D在上． ①求的度数； ②若，求的半径． 【理解应用】（3）如图2，⊙O的半径为，弦AB=24． ①仅用圆规在⊙O上作出点C，使为⊙O的“完美三角形”（作出符合条件的一种情况即可，不写作法，保留作图痕迹）； ②直接写出AC所有可能的值． 【答案】（1）①③（2）①；②；（3）①见解析；② 或15或21 【解析】 【分析】（1）根据定义判断解答即可． （2）①连接，利用对称性，圆的内接四边形的性质，三角形内角和定理，互补角的性质，解答即可； ②连接，过点作于点M，利用圆周角定理，垂径定理，特殊角的三角函数解答即可． （3）①作即可； ②分，，三种情况解答即可． 【详解】（1）解：当三角形的一个内角是时，该三角形就是其外接圆的“完美三角形”． 而等边三角形的三个内角都是，故该三角形是其外接圆的“完美三角形”． 等腰直角三角形没有角，故该三角形不是其外接圆的“完美三角形”． 有一个角为的直角三角形另一个锐角是，故该三角形是其外接圆的“完美三角形”． 故答案为：①③． （2）①解：连接， ∵是的“完美三角形”，其内心I关于的对称点D在上． ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵内心I， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故当三角形的一个内角是时，该三角形就是其外接圆的“完美三角形”． ②解：连接，过点作于点M， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的半径为． （3）①根据题意，连接，过点作于点N， 当时， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而的半径为， 故． 故只需作即可，由此作图如下： 证明：根据作图，得到都是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ②解：由上面解答，得不成立，舍去， 当时， 连接，，过点作于点P， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点H， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当，过点作交的延长线于点Q， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图 根据前面的证明，得，且都是的圆周角的对边，根据前面的解答，得． 综上所述，的长为9或15或21． 【点睛】本题考查了圆的新定义，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，等边三角形的判定和性质，基本作图，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期期中学情调查九年级数学试题 （考试时间：120分钟，总分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 2. 以锐角△ABC的边BC为直径作⊙O，则顶点A与⊙O的位置关系是（） A. 在⊙O内 B. 在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能确定 3. 如图，点D、E分别在的边、上，且．若，，，则的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 溱潼古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若是方程的两根，则____． 8. 如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则______． 9. 已知圆锥的母线长为6，其侧面积为，则该圆锥底面圆的半径为______． 10. 在阳光下，身高为的小强在地面上的影长为，同一时刻，测得附近一旗杆的影长为，则旗杆的高度为______． 11. 某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从8月份的5万辆增长到10月份的万辆，则这两个月汽车销售量的月平均增长率为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以点O为位似中心，把按相似比放大，得到，则在第一象限内点的坐标为______． 13. 一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是cm，则这个直角三角形的面积是______． 14. 如图，点是等腰直角三角形的重心，若，则的长为______． 15. 如图，在中，且，垂足为D．若，，则的半径为______． 16. 如图，为的弦，且，垂足为E，若的长为，则______． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在正六边形中，P是的中点，点Q在上，且，，求的度数． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）试说明：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若是该方程的两个根，且，求k的值． 20. 如图，点A、B、C、D在上，E是延长线上一点，且，给出下列信息： ①；②F是的中点；③ 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论，组成一个真命题，并说明理由． 你选择的补充条件是 ，结论是 （填写序号） 证明： 21. 如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F． （1）判断与是否相似，并说明理由； （2）若，，的长． 23. 如图，四边形内接于，为的直径，、的延长线相交于点E，且． （1）求证：； （2）若的半径为9，，求的长． 24. 综合与实践 某农场打算将长的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为，求长方形的两边长； 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 25. 如图1，中，，，E、D、F分别为、上的动点（点E不与A、C重合，点F不与B、C重合），过点E、F分别作的垂线，垂足分别为M、N，且． （1）求证：； （2）如图2，若四边形是正方形，求的长； （3）若N为的中点，试判断与能否相等，如果能相等，求出的长；如果不能相等，请说明理由． 26. 定义：内接于，I为的内心，若I关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． 【初步认识】（1）下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有 （填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． 【探索本质】（2）如图1，是的“完美三角形”，其内心I关于的对称点D在上． ①求的度数； ②若，求的半径． 【理解应用】（3）如图2，⊙O的半径为，弦AB=24． ①仅用圆规在⊙O上作出点C，使为⊙O的“完美三角形”（作出符合条件的一种情况即可，不写作法，保留作图痕迹）； ②直接写出AC所有可能的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $