精品解析：内蒙古自治区赤峰市松山区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

松山区2024-2025 学年度上学期期中质量监测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，计30分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB上，连接BB'，则BB'的长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. 2cm D. 4cm 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥0 B. m＞0 C. m≥0且m≠1 D. m＞0且m≠1 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 顶点坐标是 C. 图象在x轴上截得的线段长度是6 D. 图象与y轴交点的坐标是 7. 最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是数学家阿尔·花刺子模在《代数学》中解关于x的一元二次方程的过程，他将看作是由一个正方形和两个完全相同的矩形构成的图形，这个图形的面积为39，在这个图形的基础上添加一个边长为5的正方形后可构成一个大正方形，大正方形的面积为，由此可得方程的一个正根为．阿尔·花刺子模解方程用到的主要数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 分类讨论思想 D. 整体思想 9. 如图，点E，F，G，H是边长为2的正方形各边上的点，且设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A. B. C. D. 10. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点………，前n行的点数和不能是以下哪个结果（ ） A. 55 B. 95 C. 78 D. 120 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. a是方程的一个根，则代数式的值是_______． 12. 在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为_____m时，竖直高度达到最大值． 13. 在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点逆时针旋转90°，所得到的对应点的坐标为______． 14. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________． 15. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为______． 16. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，给出下列结论：；；若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则；若点和点在该图象上，则，其中正确的结论是______．（填序号）． 三、解答题（本大题共7个小题，共52分．解答应写出必要的文字；说明、证明过程或演算步骤） 17. 聪聪在用描点法画二次函数的图象时，列表格如下图： x … 0 1 2 3 … y … m n 0 … （1）求出表格中m、n的值； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）根据图象，直接写出时，自变量x的取值范围． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是方程的两个实数根，且满足，求p的值． 19. 东东的爸爸是蔬菜种植能手，他计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，大棚顶端部分可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为3米，支撑杆米，棚宽米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装2根关于y轴对称的立柱，若两根立柱间的距离为6米，则需要的立柱总长度是多少米？ 20. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 21. 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）． （1）当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； （2）设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） 22. 阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： （1）已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； （2）已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）直接写出二次函数的解析式_________________________； （2）当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松山区2024-2025 学年度上学期期中质量监测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，计30分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】解：A、含分式，不是一元二次方程，故此选项不符合； B、整理后得，不是一元二次方程，故此选项不符合； C、是一元二次方程，故此选项符合； D、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合； 故选：C． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 故选：C． 3. 已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键在于用待定系数法列方程来求解．根据两抛物线的形状、开口方向相同可知，a相同，求出a，再根据顶点坐标即可求出m． 【详解】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同， ， ， 该抛物线最高点的函数值为1， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB上，连接BB'，则BB'的长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. 2cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出∠BAC＝60°，AB＝2AC＝4，再根据旋转的性质得到∠C′AB′＝∠CAB＝60°，AB＝AB′，则可判断△ABB′为等边三角形，从而得到BB′的长． 【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝60°，AB＝2AC＝4， ∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB上， ∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°，AB＝AB′， ∴△ABB′为等边三角形， ∴BB′＝AB＝4（cm）． 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥0 B. m＞0 C. m≥0且m≠1 D. m＞0且m≠1 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：m≥0且m≠1． 故选C． 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 顶点坐标是 C. 图象在x轴上截得的线段长度是6 D. 图象与y轴交点的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质可判断A、B选项，当时，则，解得，则，即可判断C，令，求出值，即可判断D． 【详解】解：A、∵对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小，故不符合题意； B、由可知顶点为，故不符合题意； C、当时，则，解得， ∴，故符合题意； D、当时，，则与y轴交点的坐标是，故不符合题意， 故选：C． 7. 最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 8. 如图是数学家阿尔·花刺子模在《代数学》中解关于x的一元二次方程的过程，他将看作是由一个正方形和两个完全相同的矩形构成的图形，这个图形的面积为39，在这个图形的基础上添加一个边长为5的正方形后可构成一个大正方形，大正方形的面积为，由此可得方程的一个正根为．阿尔·花刺子模解方程用到的主要数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 分类讨论思想 D. 整体思想 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用数形结合的思想解一元二次方程，理解题意是关键．根据题意可确定阿尔·花刺子模解方程用到的主要数学思想是数形结合思想． 【详解】解：由题意可知阿尔·花刺子模解方程用到的主要数学思想是数形结合思想． 故选A． 9. 如图，点E，F，G，H是边长为2的正方形各边上的点，且设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，正方形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．先求得，，再由，可得，得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ， ， ， ， 可知开口向上，顶点坐标为， 与的函数图象是D． 故选：D． 10. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点………，前n行的点数和不能是以下哪个结果（ ） A. 55 B. 95 C. 78 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，前n行的点数之和为，再分别求出该代数式的值分别为55、95、78、120时n的值即可判断． 【详解】解：前n行的点数之和为， 若前n行的点数之和为55，则，解得或（舍），即前10行的点数之和为55，不符合题意； 若前n行的点数之和为95，则，解得，n不是整数，即不存在前n行的点数之和为95，符合题意； 若前n行的点数之和为78，则，解得或（舍），即前12行的点数之和为78，不符合题意； 若前n行的点数之和为120，则，解得或（舍），即前15行的点数之和为120，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. a是方程的一个根，则代数式的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为8． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键． 12. 在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为_____m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【解析】 【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当x=8时， y有最大值，最大值为4， ∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值． 故答案为：8． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点逆时针旋转90°，所得到的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变换-旋转，如图，设点位于第二象限，则，，过点作轴于点，过点作轴于点，得，，根据旋转的性质证明，得，，可得结论．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设点位于第二象限，则，， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∵将点绕坐标原点逆时针旋转90°得到对应点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 此时点在第三象限，则点的坐标为， 按同样的方法，若点在其它象限，将点绕坐标原点逆时针旋转90°，所得到的对应点的坐标仍然为． 故答案为：． 14. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________． 【答案】(3＋x)(4－0.5x)＝15 【解析】 【分析】由每盆多植x株，可得每盆共有(x+3)株；由“每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元”可得：增加x株后平均每株盈利为(4-0.5x)元；接下来根据等量关系：每盆花的株数×平均每株盈利=15元，即可列出方程． 【详解】解：根据题意可得(x+3)(4-0.5x)=15． 故答案为：(x+3)(4-0.5x)=15． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解答本题的关键． 15. 若函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为______． 【答案】或或1 【解析】 【分析】本题考查函数图象与x轴的交点问题，利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当，即时，此时原函数为一次函数，符合题意；当，即时，该函数为二次函数，根据判别式求解即可． 【详解】解：当，即时，原函数为，为一次函数，与x轴只有一个交点，符合题意； 当，即时，该函数为二次函数， ∵与x轴只有一个交点， ∴， 解得：，； 综上可知a的值为或或1． 故答案为：或或1． 16. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，给出下列结论：；；若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则；若点和点在该图象上，则，其中正确的结论是______．（填序号）． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线开口向下可得，由抛物线交轴于正半轴可得，由抛物线对称轴及可得，据此即可判断结论；由于与是关于对称轴的对称点，因此由抛物线图象的对称性可知，与时的函数值相等，由于当时，因而当时，，据此即可判断结论；由二次函数的性质可知，抛物线的顶点坐标为，即，于是可得，即，由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根可得，即，于是可得，由于，据此即可判断结论；二次函数的图象开口向下，其对称轴为，而，即在点和点中，点更靠近对称轴，据此即可判断结论；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ， 故结论错误； 与是关于对称轴的对称点， 由抛物线图象的对称性可知，与时的函数值相等， 当时，， 当时，， ， 故结论正确； 由二次函数的性质可知，抛物线的顶点坐标为， 又其顶点坐标为， ， ， 关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根， 即：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即：， ， ， ， 故结论正确； 点和点在该图象上， 又二次函数的图象开口向下，其对称轴为， 而， 即：在点和点中，点更靠近对称轴， ， 故结论正确； 综上所述，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与各项系数符号，根据二次函数的图象判断式子符号，一元二次方程根的判别式，的图象与性质，不等式的性质，求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共52分．解答应写出必要的文字；说明、证明过程或演算步骤） 17. 聪聪在用描点法画二次函数的图象时，列表格如下图： x … 0 1 2 3 … y … m n 0 … （1）求出表格中m、n的值； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）根据图象，直接写出时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）0， （2） 二次函数的图象如下： （3）或 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，解题的关键是数形结合； （1）把自变量的值代入函数式中，可以求得对应的函数值； （2）描点、连线得到二次函数的图象； （3）直接根据二次函数的图象在x轴上方的部分对应的范围可得答案． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； m、n的值为0，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察图象可知，当时，自变量x的取值范围为：或． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是方程的两个实数根，且满足，求p的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， 无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练运用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）由根的判别式，即可得出结论； （2）将化简，由根与系数的关系求出，的值，代入即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由根与系数的关系得， ， ， 即， ， ， 解得，． 19. 东东的爸爸是蔬菜种植能手，他计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，大棚顶端部分可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为3米，支撑杆米，棚宽米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装2根关于y轴对称的立柱，若两根立柱间的距离为6米，则需要的立柱总长度是多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把当代入，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线的顶点， 米，棚宽米，则米， 可设抛物线的解析式为，且抛物线过点， ， 解得：， ． 【小问2详解】 解：两根立柱间的距离为6米，且关于y轴对称， 立柱到y轴的距离为3米， 当时，， 单根立柱的长度为（米）， 需要的立柱总长度为（米）． 20. 如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 21. 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）． （1）当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； （2）设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） 【答案】（1） （2）第5个月的销售收入最多，最多为3375万元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为． ∵图象过两点， ，解得 ∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设销售收入为万元， ①当时，， ，当时，（万元）． ②当时，， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，（万元）． ，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22. 阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： （1）已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； （2）已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 【答案】（1）是的“雅常式”，“雅常值”为 （2）关于的“雅常值”是 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用、整式的加减运算、新定义和因式分解，理解是的“雅常式”的定义是解决本题的关键． （1）先计算，再根据“雅常式”的定义即可判断是的“雅常式”并求出“雅常值”即可求解； （2）先求出，由是的“雅常式”，得出，得出，由为实数时，的最小值为，得出，求出，进而求出； 【小问1详解】 解： ， C是D的“雅常式”， C关于D的“雅常值”为； 【小问2详解】 M是N的“雅常式”， ， ， ． ，且当x为实数时，N 的最小值为， ， ， ． 所以M关于N的“雅常值”是3； 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）直接写出二次函数的解析式_________________________； （2）当点P运动到什么位置时，四边形面积最大？请求出四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点P的坐标为四边形的面积最大值为 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点P作y轴的平行线与交于点Q，设，先求出直线的解析式为，再利用求解即可； （3）设点，交于点E，若四边形是菱形，则，连接，则，，可得，进而求解． 【小问1详解】 解：将两点的坐标代入得 解得 所以二次函数的表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点P作y轴的平行线与交于点Q， 设，直线的解析式为， 则， 解得 直线的解析式为， 则， ， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时，点P的坐标为四边形的面积最大值为； 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 如图，设点，交于点E， 若四边形，是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性，会用铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $