精品解析：江苏省盐城市亭湖区2024-2025学年八年级上学期11月期中联考数学试题

2024-2025学年秋学期期中调研八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，．可以判定的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个等腰三角形的腰长为4，则它的底边长可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 等腰三角形的两边满足，那么这个三角形的周长是（ ） A. 9或12 B. 9 C. 12 D. 10 6. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，长方形中，，，在数轴上，点表示数1，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则数轴上点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 角是轴对称图形，__是它的对称轴． 10. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 11. 如图，已知，要用“”判断，需添加的一个条件：_______． 12. 直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于_____． 13. 如图，∠C＝90°，∠BAD ＝∠CAD，若BC＝11 cm，BD＝7 cm，则点D到AB的距离为____cm． 14. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 15. 如图，圆柱形杯子（无盖）的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿）发现一滴蜂蜜在杯子内壁处（距杯子下沿），则蚂蚁从A处爬到处的最短距离（杯子厚度忽略不计）为_________． 16. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 17. 如图，在锐角中，是边上的高，分别以、为一边，向外作等腰和等腰，其中，连接、、，与的延长线交于点，下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有________． 18. 如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共7小题，计66分） 19. 已知：如图，，，，、是垂足，．求证：． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中画一个使它与全等； （2）在图②中画一个使它与全等； （3）在图③中画一个使它与全等，其中M、N为格点且不与B、C重合． 21. 已知，如图，，M，N分别是的中点，，．求的长． 22. 如图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的线段被一块污渍遮住），点A、D在直线l的异侧，连接，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 23. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进一些（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（尺），求秋千绳（或）的长度． 24. 如图，已知AC平分，于E，于F，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 25. 【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年秋学期期中调研八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别，关键是掌握轴对称图形的定义，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 如图，．可以判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴在和中 ， 故选：A． 4. 若一个等腰三角形的腰长为4，则它的底边长可能是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边昌解题的关键． 能够根据三角形的三边关系求得底边的取值范围，再找到符合条件的数值． 【详解】解：设等腰三角形的底边长为x， 根据三角形的三边关系，得 ∴ ∴它的底边长可能是7， 故选：A． 5. 等腰三角形的两边满足，那么这个三角形的周长是（ ） A. 9或12 B. 9 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，通过非负性可以判断a，b的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴． 又因为是等腰三角形， 所以三边长为5，5，2，或2，2，5（不满足三角形构造条件，舍去） 所以周长为． 故选：C． 6. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 7. 如图，长方形中，，，在数轴上，点表示数1，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则数轴上点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据勾股定理算出的长度，进而得到的长度，再根据点表示数1，可得E点表示的数． 【详解】∵，，长方形中，，， ∴ ∴根据作图，可知：, ∵点表示数1， ∴点表示的数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，在数轴上表示数等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键． 8. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 由角平分线的性质可知正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明正确；若平分，则，从而得到为直角三角形，条件不足，不能确定，故错误；连接、，然后证明，从而得到，再证明，得，从而可证明． 【详解】解：平分，，， ， 正确； ，平分， ， ， ， ， 同理：， ， 正确； 由题意可知：． 假设平分，则，则， 又， ， ， 的角度未知， 不能判定平分， 故错误； ④连接、， 是的垂直平分线， ， 在和中，， ≌， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 故正确． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 角是轴对称图形，__是它的对称轴． 【答案】角平分线所在的直线 【解析】 【分析】根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”． 故答案为：角平分线所在的直线． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键． 10. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 11. 如图，已知，要用“”判断，需添加的一个条件：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意可得，且，，运用的方法，添加一条边 即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，，， ∵要运用“”判断， ∴添加的条件为：， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 12. 直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于_____． 【答案】5cm##5厘米 【解析】 【分析】先利用勾股定理求解斜边，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm， ∴斜边为：， ∴斜边上的中线长等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的应用，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解本题的关键． 13. 如图，∠C＝90°，∠BAD ＝∠CAD，若BC＝11 cm，BD＝7 cm，则点D到AB的距离为____cm． 【答案】4． 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再根据CD=BC-BD计算即可得解． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，∠BAD=∠CAD， ∴DE=CD， ∵CD=BC﹣BD=11﹣7=4cm， ∴DE=4cm，即点D到AB的距离为4cm． 故答案为4． 考点：角平分线的性质． 14. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 【答案】20米## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20米． 15. 如图，圆柱形杯子（无盖）的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿）发现一滴蜂蜜在杯子内壁处（距杯子下沿），则蚂蚁从A处爬到处的最短距离（杯子厚度忽略不计）为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图所示，将杯子侧面展开，作点A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴ ∴． 故答案为20． 16. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 17. 如图，在锐角中，是边上的高，分别以、为一边，向外作等腰和等腰，其中，连接、、，与的延长线交于点，下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有________． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】证明即可判断①；设交于，交于，由全等三角形的性质可得，求出，即可判断②；作交的延长线于，作于，证明，得出，同理可得：，得到，再证明得出是的中线，推出当时，，即可判断③；由全等三角形的性质即可判断④；由全等三角形的性质结合三角形面积即可判断⑤． 【详解】解：①∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②如图，设交于，交于， ， 由①可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③如图，作交的延长线于，作于， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线， 当时，，故③错误； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵，，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 18. 如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，计66分） 19. 已知：如图，，，，、是垂足，．求证：． 【答案】 证明：因为， 所以∠AED=∠BFC=90° 在Rt△AED和Rt△CFB中 所以Rt△AED≌Rt△CFB（HL） 所以BF=ED 所以BF-EF=ED-EF 所以BE=DF 【解析】 【分析】先证Rt△AED≌Rt△CFB（HL），根据全等三角形性质得BF=ED，所以BF-EF=ED-EF. 【详解】略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． （1）在图①中画一个使它与全等； （2）在图②中画一个使它与全等； （3）在图③中画一个使它与全等，其中M、N为格点且不与B、C重合． 【答案】（1） 解：如图，或即为所求； （2） 解：如图，或即为所求； （3） 解：如图，或即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图、全等三角形的判定： （1）在方格中找到满足，的格点，或满足，的格点即可； （2）在方格中找到满足，的格点即可； （3）在方格中找到满足，,的格点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 已知，如图，，M，N分别是的中点，，．求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到答案． 【详解】解：连接、， ，是的中点， ，， ， ∵是的中点， ，， ． 22. 如图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的线段被一块污渍遮住），点A、D在直线l的异侧，连接，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ∵， ∴． （2）的长度是． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关结论即可求解． （1）由可得，据此即可求证； （2）由得，进一步可得，再由即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 答：的长度是． 23. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进一些（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（尺），求秋千绳（或）的长度． 【答案】尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练的利用勾股定理构造方程是解题的关键，根据题意设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理得： ∴， ∴． ∴的长度为尺． 24. 如图，已知AC平分，于E，于F，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：AC平分，，， ，和都是直角三角形， 在和中，， ； （2）4． 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）略 （2）由（1）已证：， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， 即的值为4． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． 25. 【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 【答案】 （1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”， 理由：∵点D，E关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B是点D，F关于直线的“等角点”． （2）如图2， 作法：1，以C为圆心，长为半径作弧，交与G、H； 2．连接，以H为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点I； 3．作射线交于点Q， 点Q就是所求的点． 理由：由作法得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D，Q关于直线的“等角点”为点C， ∴点Q就是所求的点． （3）4 【解析】 【分析】（1）由垂直平分，得，则，而，则，所以点B是点D，F关于直线的“等角点”； （2）按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作，交于点Q，则点D，Q关于直线的“等角点”为点C； （3）作于点J，于点K，于点L，则，由角平分线的性质得，则点O在的平分线上，连接，设直线l交于点R，交于点T，则，所以，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得，则，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则，所以的最小值为线段的长，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图3，作于点J，于点L，作于点K， ∵点O到的距离为2， ∴， ∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， 连接，设直线l交于点R， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵点P为点O，B关于直线l“等角点”， ∴， ∴， ∴， ∴O、P、C三点在同一条直线上， ∴，平分， ∴的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $