精品解析：甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

银市实验中学、白银市第六中学联考 2024-2025学年九年级期中检测数学试卷 一、选择题（本大题共10题，每题3分，总计30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方运算法则、多项式乘多项式法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故A正确； B、2x与3y不是同类项，不能合并，故B错误； C、（x2）3＝x6，故C错误； D、（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy-2y2，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方运算法则、多项式乘多项式法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 3. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】关于原点的对称点坐标为，据此判断即可求解． 【详解】解：由题意得 关于原点的对称点坐标为， 关于原点的对称点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标关于原点对称规律，掌握坐标变化规律是解题的关键． 4. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 5. 已知二次函数，当x≥2时，y的取值范围是（ ） A. y≥3 B. y≤3 C. y＞3 D. y＜3 【答案】B 【解析】 【详解】解：当x=2时，y=﹣4+4+3=3， ∵=， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质． 6. 如图，是的直径，点在上，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理及直径所对圆周角为求解． 【详解】解：为直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查与圆有关的角度计算，解题关键是掌握同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为． 7. 二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1可得到a+b-1=1，即可得a+b=3，故答案选D．． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 8. 如图，的直径垂直弦于点E，且，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理． 根据，，得到，在直角中，由勾股定理得，根据垂径定理得出的长． 【详解】解：，， ， ， 为直角三角形， 为直径，， 根据垂径定理 故选：A． 9. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查是旋转的性质，三角形外角的性质．根据题意可得，再结合旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵，，点、、在同一条直线上， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴旋转角为． 故选：C． 10. 如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于从函数图象上获取信息． 由图象知，，如图③，过点作，则，此时，最短，，，是等边三角形，点是的中点，是的中位线，进而可求的值． 【详解】解：由函数图象可知，当时，；当时，最小，当时，， ，， 如图③，过点作，则，此时，最短， ， ∴ ，， ∴， ， 是等边三角形， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6题，每题3分，总计18分） 11. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 13. 抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律即可得到平移后的函数解析式． 【详解】解：抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求得函数解析式是解题的关键． 14. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=________度． 【答案】50. 【解析】 【详解】∠ACB=∠AOB=×100°=50°． 考点：圆周角定理． 15. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2． 【答案】> 【解析】 【详解】由二次函数的图象知，抛物线开口向上，对称轴为x=1 ∵ ∴y随x的增大而增大 ∴ > 16. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°. 【详解】∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形， ∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE． 又∵∠ECF=90°， ∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°， 故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°． 【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质. 三、解答题（本大题共6题，共计32分） 17. 计算 【答案】． 【解析】 【分析】先化简二次根式和绝对值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值．把括号内的部分变形，把除法变为乘法并因式分解，再利用乘法分配律进行展开计算即可得到化简结果，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴原式 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求m的值及另一个根； （2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1），另一个根为 （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根； （2）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：将代入原方程得， 解得：． 当时，原方程为，即， ，， 方程的另一个根为． 【小问2详解】 解：方程有两个不同的实数根， ， 解得：且， 当且时，方程有两个不同的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根的判别式，解题的关键是：（1）代入求出值；（2）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组． 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标分别是． （1）按要求作图： 先将绕原点逆时针旋转，得到； 再作出，使它与，关于原点成中心对称． （2）直接写出点，的坐标． 【答案】（1） ①如图，即为所求， ②如图，即为所求， （2）点的坐标；点的坐标 【解析】 【分析】本题考查旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）①先确定点的位置，然后连接即可； ②先确定点的位置，然后连接即可； （2）结合（1）即可写出点的坐标；点的坐标． 【小问1详解】 解：①略 ②略 【小问2详解】 解：点的坐标；点的坐标． 21. 如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的定义等知识．连接，根据，可得，结合，根据等边对等角以及三角形的外角性质求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A（﹣1，n），B（2，4）两点． （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出使y1＜y2的x的取值范围． 【答案】（1）y2=x2，y1=x+2；（2）当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2． 【解析】 【分析】（1）把B坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式，把A横坐标代入二次函数解析式即可求得点A坐标；把A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数的解析式； （2）观察一次函数的图像在二次函数图像下方时x的取值． 【详解】解：（1）由图象可知：B（2，4）在二次函数y2=ax2上， ∴4=a×22， ∴a=1， ∴二次函数的解析式为：y2=x2， 又A（﹣1，n）在二次函数y2=x2上， ∴n=（﹣1）2， ∴n=1， 则A（﹣1，1）， 又∵A、B两点在一次函数y1=kx+b上， ∴ 解得： ∴一次函数的解析式为：y1=x+2， （2）根据图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2． 【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，注意数形结合思想在解题中的应用. 四、解答题（本大题共5题，共计40分） 23. 如图，已知AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若BC=4cm，求⊙O的面积． 【答案】 （1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°， 又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形． （2）OC= 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据等弧对等弦和等弧所对的圆周角相等，证明得到有一个角是60度的等腰三角形即是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质构造一个30度的直角三角形，运用垂径定理和勾股定理计算． （1）证明：略； （2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°， 设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 24. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围． （2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当为时，小花园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围； （2）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解． 解题的关键是明确题意，列出函数解析式． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴花园的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为： ； 【小问2详解】 ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200． 答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是． 25. 四边形是正方形， 旋转一定角度后得到 ，如图所示，如果，， 指出旋转中心和旋转角度 求的长度 与的位置关系如何？试说明理由 【答案】 旋转中心为点，旋转角度为或；； 与的位置关系是，理由见解析； 【解析】 【分析】根据旋转的性质分顺时针和逆时针旋转两种情况解答； 根据代入数值计算即可得解； 延长与相交于点，然后求出，再根据垂直的定义解答． 【详解】解：根据旋转的性质可知： 旋转中心为点，旋转角度为或； 旋转一定角度后得到， ≌                                 解：与的位置关系是； 理由如下： 延长交于， ≌  在中， ，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题关键是根据旋转得出全等三角形，进行推理证明和计算． 26. 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：如图1中，∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）； （3），理由：如图3中， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 是绕点E逆时针旋转得到的， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明即可； （2）先证,再利用勾股定理求解； （3）先证,再利用等边三角形的判定性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，设交于点J． 由（1）知，， ， ∵EF是绕点E逆时针旋转得到， ∴， 在中，； （3）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，图形的旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确理解图形的相关性质是解本题的关键． 27. 如图，抛物线与直线AB交于点A（-1，0），B（4，）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标； 【答案】（1）；（2）S=；点C（） 【解析】 【详解】（1）由题意得 . 解得： , ∴ ; （2）设直线AB为：，则有 ,解得 , ∴ , 则：， ． ． ∵, ∴当时，S有最大值．, 当时，． ∴点 ． 考点：抛物线的综合运用 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银市实验中学、白银市第六中学联考 2024-2025学年九年级期中检测数学试卷 一、选择题（本大题共10题，每题3分，总计30分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 5. 已知二次函数，当x≥2时，y的取值范围是（ ） A. y≥3 B. y≤3 C. y＞3 D. y＜3 6. 如图，是的直径，点在上，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 2 D. 3 8. 如图，的直径垂直弦于点E，且，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 9. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12 二、填空题（本大题共6题，每题3分，总计18分） 11. 分解因式_______． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 13. 抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为______． 14. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=________度． 15. 已知点A()、B()在二次函数的图象上，若，则y1______y2． 16. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度． 三、解答题（本大题共6题，共计32分） 17. 计算 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求m的值及另一个根； （2）若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围． 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标分别是． （1）按要求作图： 先将绕原点逆时针旋转，得到； 再作出，使它与，关于原点成中心对称． （2）直接写出点，的坐标． 21. 如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 22. 如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A（﹣1，n），B（2，4）两点． （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出使y1＜y2的x的取值范围． 四、解答题（本大题共5题，共计40分） 23. 如图，已知AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若BC=4cm，求⊙O的面积． 24. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围． （2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 25. 四边形是正方形， 旋转一定角度后得到 ，如图所示，如果，， 指出旋转中心和旋转角度 求的长度 与的位置关系如何？试说明理由 26. 【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 27. 如图，抛物线与直线AB交于点A（-1，0），B（4，）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $