精品解析：山东省德州市天衢新区2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期学习成果阶段展示 八年级数学·试题 （120分钟150分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 4，4，8 C. 4，17，11 D. 5，8，12 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析解．本题主要考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、， 不能构成三角形，不符合题意； B、， 不能构成三角形，不符合题意； C、， 不能构成三角形，不符合题意； D、， 能构成三角形，符合题意． 故选：D． 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果．找准对应角是解题的关键． 【详解】解：由图可知，为边长为的对角， ∵两个三角形全等， ∴； 故选D． 5. 在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（ ） A. 过点作 B. 延长到，过点作 C. 过上一点作 D. 过上一点作 【答案】D 【解析】 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 6. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件是解题的关键． 由题意可证，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故选：B． 7. 若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开,则剩余部分展开后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】自己动手制作一个正方形纸片，再按题目进行操作，最后展开图形即可. 故选：A． 8. 如图，在中，，E是角平分线延长线上一动点（不与F的重合），过E点作于D点，当E点运动时的度数（  ） A. 随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B. 度数不变，为 C. 随E点运动而变化，离F点越远，度数远大 D. 度数不变，为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，先求出，根据角平分线的定义得出，得出，过点作，得出，得出当E点运动时的度数不变，为． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴当E点运动时的度数不变，为； 故选：D． 9. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 10. 如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，连接，根据题意得，，即可得，则，，根据得，可得，即可得，，利用可证明，可得，，即可得，掌握尺规作图，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点， ∴垂直平分， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交于点，连接， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， , ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 综上，A、B、D正确， 故选：C． 11. 如图，在中，点A的坐标为,点B的坐标为，点C的坐标为，且与全等，点D的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的对应高相等是解题关键．作直线和直线与轴交于点、，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作直线和直线与轴交于点、， 当时，则和关于轴对称， 点D的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 综上可知，点D的坐标为或或， 故选：D． 12. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（ ） 若，则； ；； ； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，，由外角的性质和直角三角形的性质可求，故正确；同理可求，由直角三角形的性质可得，故正确；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，故错误；由“”可证，可得，由“”可证，可得，即，故正确；由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，可得，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ，故正确； ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ，故正确； 如图，延长，交于点， ，，， ， ， ， ，故错误； 如图，在上截取，连接， ，，， ∴， ， ， 又，， ， ， ，故正确； 如图，过点N作于P，于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 13. 点关于轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的对称． 根据关于轴对称的点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 14. 用6个如图1所示的三角形纸片拼接出如图2的正六边形，则图2中的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，先求出，进而得，然后根据全等三角形的性质得，由此可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴， ∵图中的正六边形是有6个全等纸片拼接的， ∴， 故答案为：． 15. 等腰的一个外角是，则它的顶角度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质．根据外角与相邻的内角的和为求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：∵一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， ①当角是顶角时，它的顶角度数是， ②当角是底角时，它的顶角度数是， 综上所述，它的顶角度数是或． 故答案为：或． 16. 如图在中，，是上任意一点，，若，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查三角形的面积，与高有关的计算，解题关键在于作辅助线和利用面积公式计算．连接，根据列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ， ， 即， 解得：， 故答案为： 17. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，     是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 18. 如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且在内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FE D′的度数为___________(用含n的代数式表示)． 【答案】 【解析】 【分析】先根据角之间的关系表示出∠AEA′+∠DED′，再由折叠的性质得到∠A′EF+∠D′EG，然后根据∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′可表示出∠FEG，最后利用角平分线的性质求出∠FED′即可. 【详解】解：∵∠AEA′+∠DED′－∠A′ED′=180°，∠A′ED′=n°， ∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°， 由折叠的性质可知，∠AEA′=2∠A′EF，∠DED′=2∠D′EG， ∴∠A′EF+∠D′EG=， ∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′==， ∵ED′平分∠FEG， ∴∠FED′=∠FEG=. 【点睛】本题考查与折叠、角平分线有关的角度问题，明确折叠的性质，正确找出角与角之间的关系是解题的关键. 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图， ，，点D在边上，．求证：． 【答案】 证明：∵和相交于点O， ∴． 在和中， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明，则可得，然后根据即可证明． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）的面积为__________． （3）在轴上画一点，使得的值最小（保留作图痕迹，不写过程）． 【答案】（1） 解：所作如图所示： 由坐标系可知：； （2） （3）解：所作点P如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标及轴对称的性质，熟练掌握图形与坐标及轴对称的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据割补法可进行求解； （3）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由坐标系可知：； 故答案为5.5； 【小问3详解】 略 21. 如图，在四边形中，，，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理、等边对等角等知识． （1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理得到，由得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 下面是小颍同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年10月20日 星期日 晴 作已知角的平分线 已知：如图1，． 求作：射线，使为的平分线． 小亮同学展示了自己的作法． 小亮的作法如图2： （1）分别在射线，上截取； （2）分别作，的垂直平分线、，交点为点； （3）作射线．则射线为的平分线． 小亮的思考过程如下： 连接， 因为、分别是，的垂直平分线 所以，（依据1） 所以（依据2） …… 任务： （1）小亮思考过程的依据1、依据2分别是__________、__________ （2）请将小亮的思考过程补充完整． （3）请你设计一种不同的方法，在图1中用尺规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等量代换 （2） 在和中， ， ． ， 是的角平分线． （3） 解：即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，等量代换即可求解； （2）利用判定即可； （3）方法不唯一，正确即可． 【小问1详解】 解：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等量代换； 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等量代换； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 证明命题：如果两个直角三角形有一条直角边和斜边上的高分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．画出图形，写出已知，求证，并证明． 【答案】 已知：如图，和中，，，于，于，． 求证：． 证明：于，于， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】依题意，先画出图形，写出已知，然后根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． 【详解】略 24. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足试判断△ABC的形状； （2）若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； （3）化简：． 【答案】（1）是等边三角形； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等边三角形的判定，非负数的性质，熟知三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形三边关系结合c是奇数直接求解即可得到答案； （3）根据三角形三边关系直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵a，b，c满足， ∴，， ∴，， 解得， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， ∵三角形的周长为偶数， ∴c是奇数， ∴； 【小问3详解】 解：由三边关系得， ，，， ∴原式 ． 25. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． （1）如图①，求证：是等边三角形； （2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； （3）如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【小问1详解】 证明：，， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 证明：由（1）知：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图2，在上截取，连接， ∴，即， ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期学习成果阶段展示 八年级数学·试题 （120分钟150分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 4，4，8 C. 4，17，11 D. 5，8，12 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（ ） A. 过点作 B. 延长到，过点作 C. 过上一点作 D. 过上一点作 6. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开,则剩余部分展开后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，E是角平分线延长线上一动点（不与F的重合），过E点作于D点，当E点运动时的度数（  ） A. 随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B. 度数不变，为 C. 随E点运动而变化，离F点越远，度数远大 D. 度数不变，为 9. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 10. 如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，点A的坐标为,点B的坐标为，点C的坐标为，且与全等，点D的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或或 12. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（ ） 若，则； ；； ； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 13. 点关于轴对称的点的坐标为_____． 14. 用6个如图1所示的三角形纸片拼接出如图2的正六边形，则图2中的度数是__________． 15. 等腰的一个外角是，则它的顶角度数为______． 16. 如图在中，，是上任意一点，，若，则的长为______ 17. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 18. 如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且在内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FE D′的度数为___________(用含n的代数式表示)． 三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图， ，，点D在边上，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）的面积为__________． （3）在轴上画一点，使得的值最小（保留作图痕迹，不写过程）． 21. 如图，在四边形中，，，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 下面是小颍同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年10月20日 星期日 晴 作已知角的平分线 已知：如图1，． 求作：射线，使为的平分线． 小亮同学展示了自己的作法． 小亮的作法如图2： （1）分别在射线，上截取； （2）分别作，的垂直平分线、，交点为点； （3）作射线．则射线为的平分线． 小亮的思考过程如下： 连接， 因为、分别是，的垂直平分线 所以，（依据1） 所以（依据2） …… 任务： （1）小亮思考过程的依据1、依据2分别是__________、__________ （2）请将小亮的思考过程补充完整． （3）请你设计一种不同的方法，在图1中用尺规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 23. 证明命题：如果两个直角三角形有一条直角边和斜边上的高分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．画出图形，写出已知，求证，并证明． 24. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足试判断△ABC的形状； （2）若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； （3）化简：． 25. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． （1）如图①，求证：是等边三角形； （2）如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； （3）如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $