精品解析：四川省眉山市 仁寿县龙正学区期中测试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

仁寿县龙正学区九年级期中测试 数学试卷 一．选择题（共12小题，每题4分，共48分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式．最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则分别计算即可判断． 【详解】A：不能合并，此选项错误； B：，此选项正确； C：，此选项错误； D：，此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的计算，注意运算的法则和化简的方法是解题的关键． 3. 若a<b(a，b为非零实数)，化简的结果为 (　 　) A. -a B. a C. a D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么-a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值． 【详解】∵有意义， ∴-a3b≥0， ∴a3b≤0， 又∵a＜b， ∴a＜0，b≥0， ∴=-a． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 6. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14． 【详解】先移项得x2+6x=5， 方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9， 所以（x+3）2=14． 故选A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 7. 已知a：b=2：3，那么下列等式中成立的是（　　） A. 3a=2b B. 2a=3b C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答. 【详解】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，∴3a=2b，则A选项正确，B选项错误； C，若，则可得2a+2b=5b，即2a=3b，故错误； D，若，则可得3a﹣3b=b，即3a=4b，故错误； 故选A． 【点睛】本题考查了比例的基本性质. 8. 如图，，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，线段的和差计算，根据线段的和差关系可判断A；根据平行线分线段成比例定理可判断B；进而根据线段的和差关系可判断C、D． 【详解】解：∵， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∴，，故C结论错误，不符合题意，D结论正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如果关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一次函数图象与其系数的关系，根据判别式求出的取值范围，进而确定一次函数解析式中一次项系数和常数项的符号，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 10. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题关键．设金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为， 由题意得：， 故选：C． 11. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ） A. ﹣10 B. 4 C. ﹣4 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解， ∴m+n=3，mn=a． ∵，即， ∴，解得：a=﹣4． 故选∶C． 12. 如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明．先判定，推出，再求出，，判定，推出． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 每个小正方形的边长都是1， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空（每题4分，共24分） 13. 如果 有意义，那么a的取值范围是_________. 【答案】a> 【解析】 【分析】根据被开方式大于零列式求解即可. 【详解】由题意得 2a-1>0， ∴a>. 故答案为a>. 【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数． 14. 若是关于的一元二次方程，则 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 15. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 16. 已知线段满足，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质-等比性质．设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在中，，若，，则为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质．先利用等高的两个三角形面积的比等于底的比求得，则，由，证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18． 18. 如图，在中，，于点E，于点F，，相交于点H，，的延长线相交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①由题意可知是等腰直角三角形，故此可得到；②由，证明即可；③先证明，从而得到，然后由平行四边形的性质可知；④证明，利用相似三角形的性质结合，可知；⑤证明，再根据，可知，结合题意可知，不一定等于，即可知不一定等于． 【详解】解：， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 即，故①正确； ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ，， ， ，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴，则， 若，，则，即， 整理得，即， ∴， ∴， ∴，即：， 结合题意可知，不一定等于，故⑤不正确； 综上，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键 三、解答题(78分) 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，负整数指数幂，分母有理化： （1）先分母有理化，再计算负整数指数幂，化简二次根式和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先化简二次根式并计算二次根式加减法，再计算二次根式除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后接两个一次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 方程化为一般式为， ∴， 或， 解得：． 21. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】化简得a 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出的符号，再利用绝对值的意义化简运算即可，利用数轴确定出的符号是解题的关键． 【详解】由题意得：， ， ∴ ． 22. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）9． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】证明：（1）略 （2）由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 【答案】（1），2；（2） 【解析】 【分析】(1)根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论； (2)由根与系数的关系可得，，代入，解方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴，2； (2)∵，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 24. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． 25. 如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． （1）求证：； （2）如果． ①求的长； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ． ，即； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件． （1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证； （2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用即可求得的长度； ②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， 解得：（舍去负值）， ； ②， ， ， ， ， ， ，， ， ． 26. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． （1）若平分，求t的值； （2）当时，求点E的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可． 【小问1详解】 解：当平分时，， ∴是等腰直角三角形， 【小问2详解】 ∵， 又 ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； 【小问3详解】 存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下： 当点在点上方时，如图1， 若时， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：(不合题意舍去)， ∴； ∴点； 当点在点下方时，如图2， ①若时， 又∵， 则， 解得：(不合题意舍去)， ②若，则， 整理得：， ∴这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿县龙正学区九年级期中测试 数学试卷 一．选择题（共12小题，每题4分，共48分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若a<b(a，b为非零实数)，化简的结果为 (　 　) A. -a B. a C. a D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 6. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 7. 已知a：b=2：3，那么下列等式中成立的是（　　） A. 3a=2b B. 2a=3b C. D. 8. 如图，，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 如果关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图像不经过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 10. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ） A. ﹣10 B. 4 C. ﹣4 D. 10 12. 如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空（每题4分，共24分） 13. 如果 有意义，那么a的取值范围是_________. 14. 若是关于的一元二次方程，则 ______． 15. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 16. 已知线段满足，且，则______． 17. 如图，在中，，若，，则为_______． 18. 如图，在中，，于点E，于点F，，相交于点H，，的延长线相交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有_______． 三、解答题(78分) 19. 计算 （1） （2） 20. 解下列方程 （1） （2） 21. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简：． 22. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 24. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 25. 如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． （1）求证：； （2）如果． ①求的长； ②若，求的长． 26. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． （1）若平分，求t的值； （2）当时，求点E的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $