3.第三章 函数(教师用书)-【加速度中考】2025年青海中考备考加速度数学深挖教材

第三章 函 数 加速度 第10节 平面直角坐标系与函数 [6年9次] 教材知识一遍过 各象 限内 V 点在x轴上:①y=0(如点M); 坐标 IM. 点在y轴上:② -0(如点M); 轴上 原点坐标:③(0.0) 注:坐标轴上的点不属于任一象限 各象限 点的坐 点在第一、三象限的角平分线上:y一④ 2(如点A); 角平分 标特征 x 点在第二、四象限的角平分线上:y=一x(如点A。) [2021.12] 线上 与坐标 轴平行 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同; 的直 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同 计画罔 线上 知识拓中点坐标公式:A(x,),B(x,)为平面内任意两点,则线段AB的中 点M的坐标为(,) (点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b) 口诀:关于谁对称谁不变, 数对称点的点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b) 关于原点对称都要变 坐标特征点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为(一a,一b) [2019.6] 知识拓展点P(a,b)关于直线x一m对称的点的坐标为(2m一a,b) 平移前的坐标 平移方式(a>0) 平移后的坐标 规律 -.y) 向左平移a个单位长度 左减 点的平 (十,) 向右平移a个单位长度 移特征 (x.y) [2023.12] 向上平移6个单位长度 ⑧(x,y十b) (-) 向下平移个单位长度 下减 1 [(1)点P(a,到x轴的距离为 ,到y轴的距离为a,到坐标系原点的距离为 点的 (2)平行于x轴的直线/上的两点P(x,y),P(x,y)间的距离PP=x-xl; 距离 特征 平行于y轴的直线/。上的两点Q(x,y),Q(x,y)间的距离QQ=y-yl (3)坐标系中任意两点P(x,y),P(x,y)间的距离PP=(x-x)*+(y一){② 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个 概念 确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是 H回到图数 r的函数 解析式法 解析式主要反映两个变量之间的数量关系 表示方法 列表法 表格具体地反映了函数与自变量的数值对应关系 图象法 图象直观地反映了函数随自变量变化而变化的规律和趋势 函数及其 画函数 自变量的 图象的 列表 →描点 → 连线 取值范围 一般步骤 [2024.8] [2023.8] 整式型 任意实数 [2022.8] [2021.8] 分式型 使分母不为0的实数 [2020.20] [2019.20] 自变量的 二次根武型 使被开方数大于等于0的实数 取值范围 分式二 17 使分母不为0且被开方数大于等于0的实数 次根式型 实际问题中 使实际问题有意义的实数 教材变式练考点 1. 人教八下P82第7题改编下列选项中,不能用来表示函数图象的是 (D) 2 B C 2. 人教九上P69练习第1题改编观察下列各点并回答问题 A(-5,0),B(0,2),C(2,-1),D(2,0),E(0,5),F(-2,1),G(-2,-1) (1)点C与点 G 关于v轴对称,点G与点 F 关于x轴对称(填对应点表示的字母) (2)点B与点 D 关于y一x对称,点A与点 E 关于三一x对称(填对应点表示的字母) (3)点C与点 F 关于原点对称(填对应点表示的字母); (4)点A向 右 平移 7 个单位长度得到点D 3. 人教从下P82第4题改编写出下列函数的自变量的取值范围; (1)y-3x-3:全体实数 ; 16 第11节 一次函数 [6年2次] 教材知识一遍过 解析式 y一kx十b(,b为常数,且去0.特别地,当b一0时,y一kx为正比例函数) 一次函数y一hx十b(,b为常数,且去0)的图象是经过点(0,①6) 图象所 ② ,0)的一条直线;正比例函数y-ex(是常数,且b-0)的图象是一条 过的点 经过③ 原点 的直线 0时,图象从左到右吴上升趋势, <0时,图象从左到右呈下降趋势 增减性 即y随x的增大而④ 增大 即y随:的增大而减小 ###分4####7### 图象 一次函数 的图象 与性质 ⑧二、三、 经过象限 [2024.5] 二、四 三 1 四 [2023.16] 与y轴的 0一交点在v轴正半轴上;0一交点在y轴负半轴上 1阴数 交点位置 与x轴 令。y一0,求对应的:值,交点坐标为 的交点 与轴 令 -0,求对应的y值,交点坐标为。(0,) 的交点 知识插展在同一平面直角坐标系中,对于直线l:y一hx十b与直线:y=x+b (bb),若L/,则一;若 |L,则·=-1 原解析式 平移方式(n0 平移后的解析式 规律 向左平移个单位长度 -(x十n)十b 左加 y-(x-m)+b 图象的平移 -r十b 向右平移n个单位长度 右减 (0) y-十b+n 向上平移个单位长度 上加 -十b-n 向下平移m个单位长度 下减 原解析式 对称方式 对称后的解析式 x,y的变化 ---b 关于x轴对称 y变为一y 图象的对称 -:十6 --x十b 关于y轴对称 r变为一x --b 关于原点对称 x,y变为一x.一y 17 方法:待定系数法 (1)设出一次函数的解析式y-x十b(字0) 解析式 (2)找到满足一次函数解析式的两个点,并将两点坐标代人一次函数解析式,得到 的确定步骤 关于,的二元一次方程组 (3)解二元一次方程组,得到,6的值 (4)确定一次函数的解析式 (1)与一元一次方程的关系:方程x十b一0的解一次函数y一hx十b(去0)的图象与 与一次方 x轴交点的横坐标 程(组)的 )-十b, (2)一次函数与二元一次方程组的关系(如图①):二元一次方程组 的解→ 关系 y-x十b2 一次函数v一&x十b与v一bx十b图象交点的横、纵坐标 _# y=_ 图① 图② ((1)如图②,不等式x十0的解集一函数y一x十的图象位于x轴上方部分(y>0) 与一元一 所对应的:的取值范围(n) 1圈斑 次不等式 (2)如图②,不等式r十b0的解集一函数y=x十的图象位于x轴下方部分(y 0) 的关系 所对应的x的取值范围(xn) (3)如图①,不等式x十士的解集就是函数y三bx十b的图象在函数 与一元一 一x十b。的图象上方部分所对应的x的取值范围,即xn 次不等式 (4)如图①,不等式x十bx十b 的解集就是函数一hx十b的图象在函数 的关系 y一hx十b的图象下方部分所对应的:的取值范围,即xm 教材拓展平面直角坐标系内交点三角形(图中阴影部分)的面积(S)求法 两条边在 一条边在 一条边与 三条边均不与 坐标轴上 坐标轴上 坐标轴平行 坐标轴平行 {#。# 图示 $-OB.0A- s-1BC·DE- $-1AC·BEF= $-1-o01 面积 1c-:· yo 1lx:3l 17e-1 18 教材变式练考点 1.护教八下P8第2题改编已知一次函数=(m-1)x+m (1)该一次函数与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为(0,),该函数 过定点(-1,1); (2)若y是关于x的正比例函数,则n的值为。,函数图象经过第二、四 象限; (3)若函数值随x的增大而增大,则n的取值范围为n1; (4)若n<0,点A(xi,y),B(x。,y)在该函数图象上,且x>x。,则yy(填“”“<”或 “二”): (5)若该函数图象与一次函数y-4x-1的图象平行,则m一 5 2.亚师八上P86改编在探究一次函数y一kx十b的图象与性质的过程中,x与y的几组对应值列出 表格如下: ._ ) 0 2 -2= 5 7 言 .__. 观察表格中的数据,请回答以下问题: (1)当x每增加1时,y的变化情况是y减小2; (2)该一次函数的表达式为 2,n的值为-5; (3)该一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为(0,1); (4)根据表格中的数据,该一次函数的图象经过第 一、二、四 象限; (5)该一次函数的图象与坐标轴围成的图形的面积为 (6)A(xi·y),B(re,y)是该一次函数图象上的两点,且xx,则yy(填“”“<”或 “一”);若x二6,则y的取值范围为y-11; (7)一次函数y的图象与该一次函数的图象关于x轴对称,则y的函数表达式为一2x-1; 一次函数y。的图象与该一次函数的图象关于y轴对称,则y的函数表达式为 一2x十1, 其图象经过第一、二、三 象限; (8)若该一次函数的图象沿着x轴向左平移a个单位长度得到正比例函数y。,则a= ,丽 数y的表达式为y--2x; (9)若该一次函数的图象与正比例函数y一nx的图象的交点为(3,),则n的值为 (10)设该一次函数的图象与x轴,y轴的交点分别为A,B,C为x轴上一动点,若△ABC是以 (#,)或1。或15# AB为腰的等腰三角形,则点C的坐标为 1 第12节 反比例函数 [6年5次] 教材知识一遍过 定义:一般地,形如① (为常数,去0)的函数叫做反比例函数,反比例函数的自变量x不能 为②0 -(或xy=k,y一kx-)(k为常数,k≠0) 表达式 0 <0 ## 图象 图象与 所在 第一,三象限 性质 第二、四象限 象限 [2024.19] [2023.19] 增减性 [2021.13] 在每一个象限内,y随x的增大而③减小 在每一个象限内,y随x的增大而④增大 [2020.18] 对称性 关于直线一一x或y一x成轴对称,关于原点成中心对称 区出图数 抢分要点因为正比例函数和反比例函数的图象都关于原点对称,所以在同一平面直角坐 标系中,正比例函数和反比例函数的图象若有交点,必有两个,且这两个交点关 于原点对称 的垂线PM,PN,所得矩形PMON的面积S= PN ·PM-xyl= 的几 常见的四种面积类型(P,P关于原点对称) ### 何意义 [2019.5] S-| S-{# SAp-2 (1)设出反比例函数表达式y-(-0) (2)找出满足反比例函数表达式的点P(a,b) 待定系数法 (3)将点P(a,b)代入表达式得一ab 表达式 (4)确定反比例函数的表达式y-b 的确定 利用的几何意义:题中已知面积时,考虑用反比例函数比例系数及的几何意义,由面积 得到,再结合图象所在象限判断的正负,从而得到的值,代人 表达式即可 2 =教材变式练考点 人教九下9第9题改编已知反比例函数ym+3. (1)若该函数图象的一支位于第一象限,则函数图象的另一支位于第三象限,n的取值范围 为-3: (2)若该函数图象在每一分支上,v随x的增大而增大,则n的取值范围为 7-3; (3)如图①,已知该函数的图象过点A(2,3) ① ①m一 3,函数的表达式为 -6,函数图象位于第一、三 象限; ②若点(a,b)在该函数的图象上,则点(一a,一)在该函数的图象上(填“在”或“不在”); ③已知B(xi,y),C(x,y)为该函数位于x轴上方图象上两点,若y>y,则x.x。(填 “”或“<”): ④当x>6时,y的取值范围为 y1;当3y4时,x的取值范围为 <r2 一次函数y-x-1与该反比例函数图象的交点坐标为(-2,3).(3.2) ; 集为03或x (4)如图②,A为反比例函数的图象上一点,且横坐标为、3.AB|x轴于点B,AC y轴于点C,点 G在位于AB右侧的反比例函数的图象上,GE x轴于点E,GF AB于点F,四边形GEBF为正 方形,且AF一FG,则这个正方形的面积为3. 1 图② 2 第13节 二次函数 [6年5次,均为综合题] 教材知识一遍过 定义:一般地,形如y一ax{}士bx十c(a,b.c是常数,a去0)的函数叫做二次函数,特别地,当a去0,b-c=0 时,- 二次函数y-ar2十hx十c(a字0) (1)直接运用公式:-① 求解; (2)将一般式配方转化为顶点式y一a(x一h){十k(a0),则对称轴为直线x 对称轴 ②; 2 11阅斑 )4a- 24 (1)直接运用顶点坐标公式③ 求解: 顶点坐标 圈出_ (2)将一般式配方转化为顶点式x-h){}十(a-0),则顶点坐标为④(h,) (3)将对称轴x一x代入函数表达式求得对应的y 当a>0时,在对称辅左侧,y随x 当a0时,在对称轴左侧,y随x的增 增减性 的增大而减小 ;在对称轴右 大而增大 ;在对称轴右侧,y随 侧,y随x的增大而增大 的增大而⑧ 减小 根据表 a0时,y有最小值,最小值为 a0时,y有最大值,最大值为 达式判 最值 4-P 一4-b{ 断函数 的图象 a(决定开 -开口向上 与性质 口方向) 开口向下 -0 对称轴为y轴 a,b(决定 ~(→),同号 对称轴 对称轴在y轴左侧(左同) 位置) ##o(~),即另 对称轴在y轴右 侧(右异) C-0 c(决定与 抛物线过原点 y轴交点 0 抛物线与y轴交于 正 半轴 位置) c0 抛物线与y轴交于 负 半轴 -4ac 2-4ac-0 与x轴有唯一交点(顶点) (决定与 62-4ac0 与x轴有两个不同的交点 )轴交点 b2-4ac0 的个数) 与:轴没有交点 2 续表 二次函数y=ax}+bx十c(a去0) ##7## 密 根据 a0,b<。,a0,b_<0, a>0,b②0. 结 a>0,b-0. c0.6-4ac 论 0,-4ac0 c=0,-4a $ c③=0,b-4ac-0 ②<0 # #444# 密 论 a<o,b②④0,a<o,6,<o,b②0, a<o,b。. c>0. c =0. c0. c③<0 -4ac0 -4ac⑧ 06-4ac③ 。 r-4ac③<0 一般式:y-ar+br平c(a0) 表达式的三种形式{顶点式:ya(-h)十b(a≠0) 将 交点式:y=a(x-)(x-)(a0) ((1)设:设二次函数表达式 1次阅数 确定表达(2)代:用待定系数法将在图象上的点的坐标代入所设表达式中,得到关于待定系 式的步骤 数的方程(组) ((3)解:解方程(组),求得待定系数的值,将其代回所设表达式中即可 (1)平移二次函数图象前,一般将其表达式化为顶点式y一a(x一h)②十 . 平移的方法 确定其顶点坐标 (2)保持抛物线的形状不变,平移顶点(h,) 二次函数 平移前的表达式 平移方式(n>0) 平移后的表达式 规律 图象的平移 y-a(x-h十n)*十k 向左平移n个单位长度 左加 平移 向右平移m个单位长度 y=a(r-h-m){}+b -a(x-h)?十b 右减 规律 (a0) 向上平移n个单位长度 y-a(x-h)②十十n 上加 y-a(x-h)②十-m 向下平移n个单位长度 下减 变化后变化后的 表达式 变化形式 a的值 顶点坐标 变化后的表达式 一 (h,-) 关于2轴对称 y--a(x-h)*-{ 二次函数 图象的对称 (-h,) 关于y辅对称 y-a(r-h)②十 y-a(x十)?十b (a0) 一 关于原点O中心对称 (-h,-b) y--a(x十h)-k 关于顶点对称 (h,) - y--a(x-h)*十b 2 (1)如果抛物线y一ax*十bx十c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x。,那么 当x三x。时,函数值是0,因此,x=x。是方程ar②}十bx十c=0的一 个根 [与一元二 (2)二次函数一ax十bx十c的图象与x轴的交点个数及相应的一元二次方 程根的情况都由△一一4ac决定: 次方程的 二次函数与 11阁斑 关系 当△>0时,抛物线与x轴有 两个不同的交点,方程ar}十hx十c=0 一元二次方 有两个不相等的实数根; 程、不等式 当△一0时,抛物线与x轴有③ 一个 交点,方程ar*十bx十c一0有两个 的关系 相等的实数根; 当△0时,抛物线与x轴无交点,方程ar}十hx十c-0 无 实数根 [(1)ar十bx十c>0的解集:函数y=ax*}十bx十c的图象位于x轴上方部分 与不等式 对应点的横坐标的取值范围 的关系 (2)ar*十bx十c<0的解集:函数y=ax{}十bx十c的图象位于x轴下方部分 对应点的横坐标的取值范围 -教材变式练考点) 1.北师九下P41第1题改编已知抛物线的表达式为y-3.-6.x+2. (1)抛物线的开口向上; (2)将抛物线的表达式化为顶点式是 3(1)-1,对称轴为直线 x-1 ,顶点坐标 为(1,-1); (3)抛物线与x轴有 两 个交点,交点坐标为 ,与y轴的交点坐标 为(0,2); { (4)若y随x的增大而减小,则:的取值范围为 (5)二次函数有最小值(填“大”或“小”)为 (6)若A(m,”)是该二次函数图象上一点,点A关于对称轴对称的点为B,且点B的坐标为(2 2),则点A的坐标为(0,2); (7)若该二次函数图象上有A(-3,v),B(1,v),C(3,y)三点,则y··的大小关系为y yy:(用“一”连接); (8)将抛物线先向左平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得抛物线的表达式 为y-3(x+3)②十2. 2.华师九下P23第2题改编已知二次函数y一ax2+bx十c (1)若该函数图象经过点(-1,-1),(3,-9),(-2,11),则二次函数的表达式为-2-6-9; (2)若该函数的顶点为原点,且二次函数图象经过点(2,4),则该二次函数的表达式为y一^; (3)若该函数图象与一次函数y一x十n的图象相交于点A(一3,-7),B(3,5),且该二次函数 的顶点坐标为(1,9),则一次函数的表达式为 y-2x-1 ,二次函数的表达式为 y-十 28 2