10.二阶 重难专题突破练-专题2 几何探究题(教师用书)-【加速度中考】2025年青海中考备考加速度数学课堂精练本

专题2几何探究题 探究点1线段最值问题 类型刀利用“垂线段最短”解决 方法探究 i.如图①，已知A,B为直线l上两点，P为直线L外一点，PB⊥，则PA≥PB ⅱ.如图②，A,P为直线l上两点，B为直线1外一点，求kAP十BP的最小值.考虑以AP为斜边构造 Rt△PAC,使得sin∠PAC=k,则PC=kAP.作BD⊥AC于点D,交直线l于点P:,则kAP+BP= PC十BP≥BD,即当点P在P1处时，求得kAP十BP的最小值，即为BD的长. 国① 图2四 1.如图，为方便群众，需要从新建的广场O处修一 最小值是 (C) 条人行通道到小路AB,沿OC,OD,OE均可，其 A.3 B.2.5 C.2.4 D.2 中OD⊥AB,在资金紧张的情况下应修建人行 B 通道 (B) A.OC B.OD C.OE D.不能确定 A C 第3题图 第4题图 D 4.如图，在矩形ABCD中，AD=6、3,AB=6,对 角线AC,BD相交于点O,E在线段AC上，且 B D AE=4,F为线段BD上的一个动点，则 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以顶点B EF+BF的最小值为年 为圆心，适当长为半径作弧，在边BC,BA上截 5.如图，在正方形ABCD中，AB=83,E为边 取BE,BD:然后分别以点D,E为圆心，大于 AD上一点，连接BE,点G在BE上，以GE为边 DE长为半径作弧，两孤在∠CBA内交于点 作等边三角形EFG,点F落在CD上，M为GF F:作射线BF交AC于点G.若CG=4,P为边 的中点，连接CM,则CM的最小值为43. AB上一动点，则GP的最小值为 (B) A.2 B.4 C.8 D.无法确定 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC的 第5题图 113 类型见利用对称解决 方法探究 1.如图①，AB为直线l同侧的两定点，P为直线l上一动点.作点A关于直线l的对称点A',连接 A'B交直线L于点P,则AP+BP=AP+BP≥A'B,即当点P在P,处时，AP+BP取得最小值，即 为AB的长. ⅱ.如图②，P为∠AOB内部一点，C,D分别为射线OA,OB上的动，点，分别作点P关于OA,OB的 对称点P',P,则PC+PD十CD=PC+PD+CD>PP",当，点C,D在线段PP"上时，△PCD的周 长取得最小值，即为PP”的长. 图① 图② 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,P是直线MN上一动 点，点H为BC的中点.若BC=5,△ABC的面积是30，连接PB,PH,则PB+PH的最小值为 (C) A.5 B.6 C.12 D.24 第1題图 第2题图 第3题图 2.如图，等边三角形ABC的边长为4，E为BC边上的动点，F为AE的中点，连接BF,CF,则BF+CF 的最小值为 (B) A.2+2/3 B.2w7 C.5 D.3/3 3.如图，△ABC中，AC=6,BC=8,EF垂直平分AB分别交BC,AB于点E,F,若点P为直线EF上一 动点，则△APC周长的最小值为14 4.如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，P为AC上一动点，连接PE,PB,则PB十PE的最小 值为5 M 第4题图 第5题图 5.如图，∠AOB=60°，P是∠AOB内的定点且OP=√3，点M,N分别是射线OA,OB上异于点O的动 点，连接PM,PN,MN,则△PMN周长的最小值为3. 114 探究点2图形综合探究 类型)类比探究 从作图、测量结果得出猜想I:原四边形的对角 1.[2024青海，25]综合与实践 线相等时，中点四边形是菱形 顺次连接任意一个四边形的中，点得到一个新四 (2)下面我们结合图②来证明猜想I,请你在探 边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点 究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程. 四边形.数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原 【探究三】 四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定 原四边形对 中点四边形 性作用。 角线关系 形状 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面 不相等、 展开探究 平行四边形 不垂直 【探究一】 ACIBD ② 图③ 原四边形对 中点四边 (3)从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对 角线关系 形形状 8 角线垂直时，中点四边形是② 不相等、 (4)下面我们结合图③来证明猜想Ⅱ，请你在探 平行四边形 不垂直 究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程. 图① 【归纳总结】 如图①，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 (5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论， 各边的中点。 并在图④中画出对应的图形 求证：中点四边形EFGH是平行四边形 证明：，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的 原四边形对 中点四边形 中点， 角线关系 形状 ∴.EF,GH分别是△ABC和△ACD的中位线， ∴EF=2AC,GH- ∴EF=GH. 图④ 同理可得EH=FG, 结论：原四边形对角线③ .中点四边形EFGH是平行四边形 时，中点四边形是④① 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形 (1)请你补全上述过程中的证明依据① (1)①三角形中位线定理 (2)证明：AC=BD,∴EF=FG, 【探究二】 ∴，中点四边形EFGH是菱形 (3)②矩形 原四边形对 中点四边形 (4)证明：如答图①，记AC与EH的交点为N, 角线关系 形状 BD与EF的交点为M 不相等、 平行四边形 ,EH,EF分别是△ABD和△ABC的中位线， 不垂直 .EH∥BD,EF∥AC AC=BD 菱形 图② .四边形EMON是平行四边形 115 又：AC⊥BD,∴.∠MON=90 图③，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动 ∴.∠MEN=∠M)N=90°， 一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨 ,中点四边形EFGH是矩形 迹是BD,BA=CA=DA=2,圆心角∠BAD (5)解：③AC⊥BD且AC-BD 90°，此时中心轨迹最高点是C(即BD的中点)， ①正方形 转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，请在 如答图②，四边形EFGH即为所求图形 图④中计算点C到BD的距离d2(结果保留根 号)： 图③ 图① 图② 图④ 第1题答图 2.[2023青海，25]综合与实践 第2题图 车轮设计成圆形的数学道理 (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是 如图⑤，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转 圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面 动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的 有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做 轨迹是BD,圆心角∠BAD= 了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地 面上模拟行驶. (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过 程如图①，设其中心到顶点的距离是2，以车轮 图⑤ 转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心 的轨迹是BD,BA=CA=DA=2,圆心角 图6 ∠BAD=120°.此时中心轨迹最高点是C(即BD 的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平 第2题图 线)，请在图②中计算点C到BD的距离d1: 此时中心轨迹最高点是C(即BD的中点)，转动 一次前后中心的连线是BD(水平线)，在图⑥中 计算点C到BD的距离da (结果保 留根号)： 图① (4)归纳推理：比较d1,d2,d3大小： (用 “>”连接)，按此规律推理，车轮设计成的正多 D图② 边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次 前后中心连线（水平线）的距离 (填“越 第2题图 大”或“越小”)： (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如 (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如 116 图⑦，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行， 小明设计了如下三种铲籽方案： 此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水 方案1：图②是横向铲籽示意图，每行铲的路径 平线)的距离d 这样车辆行驶平稳、 长为 ,共铲 行，则铲除全部籽 没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形 的路径总长为 方案2：图③是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽 的路径总长为 ； 方案3：图④是销售员斜着铲籽示意图，写出该 第2题图⑦ 方案铲除全部籽的路径总长 解：(1)如答图，连接BC :AB=AD=2,AC⊥BD, 【解决问题】 (2)在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最 .∠BAC=∠CAD= 2∠BAD=60 短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法 ,AB=AC,∴.△ABC是等边三角形 进行评价. .BC=AB=2,∠ABC=60 BE⊥AC 六∠CBE=2∠ABC-30 图① tlrkrinin1. i.d-CE-BC-1. (2)AB=AD,AC⊥BD, 图② 图③ 图④ ∠BAD=90°， 第3题图 ∴.∠ABD=∠ADB=45, 解：(1)方案1：(n-1)d2k2(n-1)dk .AE=AB·sin∠ABD=√2， 第2题答图 【解析】每行有n个籽，且相邻两籽的间距为山， ∴.d=CE=AC-AE=2-2 ∴，每行铲的路径长为(n一1)山.，每列有k个 籽，呈交错规律排列，·相当于有2k行，.铲除 (3)60°2-3(4)d>1 越小(5)0 全部籽的路径总长为2(m一1)k. 3.[2024盐城]【发现问题】 方案2：2(k-1)dm 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先 【解析】每列有k个籽，且相邻两籽的间距为d, 削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽。 ∴每列铲的路径长为（使一1）d.每行有n个 【提出问题】 籽，呈交错规律排列，∴.相当于有2列，∴.铲除 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否 全部籽的路径总长为2(k一1)dm. 还蕴含着什么数学道理呢？ 方案3：由图④得斜着铲每两个点之间的距离为 【分析问题】 (1)如图①，某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽 vd+_j2d 2 21 略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽 根据题意得一共有2列，2k行， 在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同 斜着铲相当于有条线段长，同时每条线段长 的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律 排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两 为(2k-)个 籽，列上相邻两籽的间距都为d(,k均为正整 数，n>k≥3，d>0). 铲除全部籽的路径总长为号(2k-, 117 (2),2(n-1)dk-2(k-1)dm=2ndk-2lk 动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒 2ndk+2dn=2d(n-k)>0, 覆盖率p=1.已知AE=BF=CG=DH,设 ,方案1的铲籽路径总长大于方案2的铲籽路 AE=x(m),⊙O,的面积为y(m),求y关于x 径总长 的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值： 2k-10dm-号2k-1)da=[(2-2)k-2+ 【问题解决】 (4)该公司现有喷洒半径为32m的自动喷洒 装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可 使该草坪的喷洒覆盖率ρ=1？ ,1>k>≥3，当k=3时 2-1x8-2+号-4>0， 2 8 62k-d-号(2必-1>0， 图② 图③ ∴·方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方 D 法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗 4.[2024潍坊【问题提出】 888 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷酒 装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为 18m的正方形草坪（如图①）中安装自动喷洒装 图④ 图⑤ 图⑥ 置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷酒覆 第4题图 盖率，需要设计合适的安装方案。 解：)开 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为 (2)对于任意的n,喷洒面积飞=nπ 9 r(m)的圆面.喷洒覆盖率p=冬，s为待喷洒区域 81πm2,而草坪面积始终为324m, 面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积。 【数学建模】 无论师取何值，喷酒霞盖率始终为-开 这个问题可以转化为用圆面积覆盖正方形面积 采用增加装置个数且减小喷洒半径的方案，对 的数学问题 提高喷洒覆盖率不起作用 【探索发现】 (3)如答图，连接EF,要使喷洒覆盖率D=1,即 (1)如图②，在该草坪中心位置设计安装1个喷 需满足=1，其中s为草坪面积，k为草坪的实 洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒 覆盖率p= 际喷洒面积， (2)如图③，在该草坪内设计安装4个喷洒半径 .⊙0，⊙O,⊙0，⊙0都经过正方形的中心Q 均为号m的自动喷酒装置：如图④，设计安装 在Rt△AEF中，EF=2r,AE=x. .AE=BF=CG=DH,..AF=18-. 9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置…以 在R1△AEF中，AE+AF=EF 此类推，如图⑤，设计安装个喷洒半径均为 x+(18-x)=4r, 号m的自动喷酒装与)中的方案相比，采 ∴y==8=-9+8 4 21 用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案， .当x=9时，y取得最小值，此时4r=92十9， 能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由： (3)如图⑥所示，该公司设计了用4个相同的自 解得r=92 2 118 (4)当r=3v2m时，圆的内接正方形的边长为 BN=AB,∠NBM=∠ABM,∠BNM= 2r=6m. ∠BAM=90°， 8 ∴，AN=BN=AB,∴，△ABN是等边三角形， 草坪的边长为18m,6 =3,则将草坪均分为9个 ∴.∠ABN=60 正方形，将半径为3/2m的自动喷洒装置放置于 ∴.∠PBN=∠ABM=∠NBM=30°， 9个正方形的中心，此时所用装置个数最少， .∠MBP=∠BMP=60°， ∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的 ∴.△BMP是等边三角形 喷洒覆盖率p=1. (2)在Rt△ABM中，，AB=a,∠ABM=30°， H D ∴BM=AB=2 c0s30 3a. 0 △BMP是等边三角形，∴BP=BM=2E。 3 E 要在矩形纸片ABCD中剪出符合(1)中结论 的三角形纸片BMP, 第4题答图 B>BP,6≥2 34 类型2几何变化下的探究 1.2021青海，26]在我们学习过的数学教科书中， 有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺， D 又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用如 第1题答图 下方法： 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB 操作感知： 边上的高，AE是∠CAB的平分线，AE交CB 第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重 于点E,交CD于点F 合，得到折痕EF,把纸片展开（如图①） (1)猜想∠CEF与∠CFE的数量关系，并说明 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上 理由： 并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线 (2)将图①中的△ADF沿AB向右平移，使得点 段BN(如图②). F的对应点F落在BC边上，点A,D的对应点 猜想论证： A,D落在AB边上，在图②中画出平移后的 (1)若延长MN交BC于点P,如图③所示，试判 △AD'F',连接FF,判断四边形FFA'A的形 定△BMP的形状，并证明你的结论： 状并说明理由。 拓展探究： (2)在图③中，若AB=a,BC=b,当a,b满足什 么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符合 (1)中结论的三角形纸片BMP? 图① 图② 第2题图 9 解：(1)∠CEF=∠CFE.理由如下 图① 图② 图) ,∠ACB=90°，CD是△ABC的高， 第1题图 .∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°， 解：(I)△BMP是等边三角形.证明如下： ∴.∠B=∠ACD. 如答图，连接AN。 ,AE是∠CAB的平分线， 由折叠的性质可得BE=AE,EF⊥AB于点E, ∴.∠CAF=∠DAF 119 ,∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠(CEF=∠DAF+ 转的性质得DC=AC=1,EC=BC=3,∠ECB ∠B,∴∠CEF=∠CFE ∠ACD=90°，.AD=、2,BE=32,∠CAD= (2)平移后的△A'DF如答图所示，四边形FFA'A ∠ADC=45°，∠CBE=∠CEB=45°，∴.BE 是平行四边形.理由如下： 3AD,∠EAH=∠CAD=45,.∠EHA=90°， 由△ADF沿AB向右平移得到△A'D'F', ..AD BE. ∴.A'F'=AF,A'F∥AF, (2)线段AD与BE的数量关系，位置关系与(1)】 ∴，四边形FFA'A是平行四边形 中结论一致.理由如下： 如答图②，延长DA交BE于点H. 由旋转的性质得DC=AC=1,EC=BC=3, ∠ECB=∠ACD,∠ECD=90, D A D'B 第2题答图 ÷C--}△ACD△BcE, EC 3.[2024东营]在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= .AD AC I 1.BC=3. BEC=3∠CDA=∠CEB, 【问题发现】 ..BE=3AD (1)如图①，将△CAB绕点C按逆时针方向旋 ∠CEB+∠ENH=∠CDA+∠CND=9O, 转90°得到△CDE,连接AD,BE,则线段AD与 ∠EHD=90,.AD⊥BE BE的数量关系是 ,AD与BE的位置 (3)如答图@，过点C作CN⊥AB于点N. 关系是 同(2)中方法可得△ACD∽△BCE, 【类比探究】 最，BE=3AD .AC AD (2)将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角 度得到△CDE,连接AD,BE,线段AD与BE ∠ACB=90°，AC=1,BC=3, 的数量关系，位置关系与(1)中结论是否一致？ ∴.AB=AC+BC=,10 若AD交CE于点N,请结合图②说明理由： ,CNAB,∠AVC=∠ACB=90 【迁移应用】 又：∠A=∠A,∴.△ACVe∽△ABC, (3)如图③，将△CAB绕点C旋转一定角度得 ,AN=0 AC AN.1AN 10 到△CDE,当点D落到AB边上时，连接BE,求 “AAC 10 线段BE的长 AC-DC,CNLAB,AD=2AN=10 BE=34D=3/10 5 图 图② 图③ 第3题图 解：(1BE=3ADAD1BE 图① 图2 图③ 【解析】如答图①，延长DA交BE于点H.由旋 第3题答图 120