9.二阶 重难专题突破练-专题1 二次函数与几何图形结合(教师用书)-【加速度中考】2025年青海中考备考加速度数学课堂精练本

二阶 重难专题突破练 专题1二次函数与几何图形结合 类型刀线段、面积问题 .S四边形m=S△D十SAD十S△U 1.[2024通辽]如图，在平面直角坐标系中，直线y= 20A0D+20D·m+20C… 2十3与x轴y轴分别交于点C,D,抛物线 =10. y=一(x-2)+(k为常数)经过点D且交x = +3 轴于A,B两点 (1)求抛物线的表达式： (x-2)+k (2)若点P为抛物线的顶点，连接AD,DP,CP, 求四边形ACPD的面积. 第1题答图 x+3 2.[2024凉山州节选]如图，抛物线y=一x2+bx+c 与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两 点，与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的解析式： x-22+A (2)抛物线上是否存在点M,使△ABM的面积 第1题图 等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出 点M的坐标：若不存在，请说明理由. 解：(1)在y= 3 x+3中，令x=0,得y=3 .D0,3),.0D=3. 抛物线y=一(一2)经过点D(0,3), 10 3=一×(0-2+，解得=4。 第2题图 第2题答图 ∴，抛物线的表达式为 解：(1)将B(3,m)代入y=x+2,得m=5, y=1x-2)+4= x+x+3. .B(3,5). 把A(-2,0),B(3,5)代入y=-x+bx+c, (2)如答图，连接()P. -4-2b十c=0, 6=2, 令y=一》十3=0，解得x=2, 得 解得 -9+3b+c=5, c=8, .C2,0),(C=2 ∴.抛物线的解析式为y=一x2十2x十8. (2)抛物线上存在点M,使△ABM的面积等于 令y= 1x+x+3=0, △ABC面积的一半 解得x1=6或x=一2， 如答图，过点M作MK∥y轴交直线AB于点 ∴.A(-2,0),0A=2 K,连接BC,BM 令y=-x2+2.x十8=0， 由y=一(x-2}+4可得抛物线项点P的坐 解得x1=一2或x=4, 标为(2,4)， ∴.A(-2,0),C(4,0),.AC=6. 108 B3,5,∴Sam=号AC·%=5 ∴，抛物线的顶点F的坐标为(1，一4)，抛物线的 对称轴为直线x=1. 设Mm,一m+2m+8),则K(m,m十2)， 当x=0时，y=-3,.C(0,-3) .MK=-m2+2m+8-(m+2) 设直线BC的解析式为y=m.x十u(1≠0)， =一m+m+6, 将B(3,0),C(0,-3)代入， SANM= 2WMK·- 5 2 一㎡十m十6 得 8m十”-0·解得m= ,△ABM的面积等于△ABC面积的一半， n=-3, n=-3, ∴2-m+m+61=2×15, ∴，直线BC的解析式为y=x一3. 当x=1时，y=1-3=-2,.E(1,-2), .一m十m十6=3或-m2十m十6=-3， .EF=|-2-(-4)=2 解得m=1±，⑧或m=1生y37 (3)存在满足SaPM#=6的点P 2 2 A(-1,0),B(3,0),AB=13-(-1)1=4。 ·点M的坐标为(1+，⑧，士国 ）或 设点P的坐标为(1,1一2一3) ,1)或（中， 5w=6,2×4X-21-31=6, 2 2 即12-3=3或1-21-3=-3， 或，7,1,37) 解得1=1-7，-1十/7,4=0,4=2， 2 2 3.[2022青海，27]如图①，抛物线y=x+bu+c与x 存在满足S=6的点P,点P的坐标为 轴交于A(一1.0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C 17,3)或(17,3)或(0，-3)或(2，-3). (1)求该抛物线的解析式； 类型见与特殊三角形结合 (2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交 1.[2023青海，24]如图，二次函数y=一x2+bx+c 点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； 的图象与x轴相交于点A和点C(1,0),交y轴 (3)设点P是(1)中抛物线上的一个动点，是否 于点B(0,3). 存在满足S△AB=6的点P?如果存在，请求出 (1)求此二次函数的解析式； 点P的坐标：若不存在，请说明理由（请在图② (2)设二次函数图象的顶点为P,对称轴与x轴 中探讨) 交于点Q,求四边形AOBP的面积（请在图①中 探索) (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M,使 得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若 B 存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存 在，请说明理由（请在图②中探索）. 图① 图② 第3题图 解：(1)将A(一1,0)，B(3,0)分别代入y=x+ bx+e: 1-b+c=0, b=-2, 图① 图② 得 9+3b+c=0, 解得 c=-3, 第1题图 ,该抛物线的解析式为y=x2一2x一3. -1十b+c=0, b=一2， 解：(1)由题意得 (2),抛物线的解析式为 c=3, c=3, y=x2-2x-3=(x-1)8-4, .此二次函数的解析式为y=一x2一2x十3. 109 (2)如答图，连接OP y=-x2-2.x+3=-(x+1)+4, 令x=0,则y=-2+号-4，C0,小 .P(-1,4),∴.PQ=4,0Q=1 令y=一 -+ 0, 令y=-x2-2r+3=0,解得x1=1,x2=-3, 解得1=4，x2=-2,.A(-2,0) .A(-3,0),.0A=3, (2)存在点P,使△BCP是直角三角形 :∴.S四边影w=SP十S△r 由(1)知抛物线的对称轴为直线x=1. -20A·PQ+20B:0Q 设P(1,n) B(4,0),C(0,4) ∴.BC=4°+4'=32，BP=(4-1)P+n, (3)存在点M,使得△AMB是以AB为底边的 PC=12+(n-4) 等腰三角形.设M(一1，m). 当∠BCP=90时，BP=BC+PC, 当AM=BMF时， .(4-1)+n2=32+12+(n一4)， [(-3)-(-1)]3+(0-m)2=(-1=0) 解得5，.P(1,5) (m-3), 当∠CBP=90时，PC=BC+BP 解得m=1,.M(-1,1) ∴.1(-4)=32+(4-1)”+7. 解得1=一5，P1,一3) 当∠BPC=90时，BC=BP+PC, .32=（4-1)+7+1+(-4), 解得=2十v7或14=2-√7， P(1,2+7)或P(1,2-/7) 第1题答图 综上所述，点P的坐标为(1,5)或(1，一3)或(1， 2.平面直角坐标系中，抛物线y=a(x一1)+号与 2+/7)或(1,2-7). 类型③与相似三角形结合 x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点C. 1.如图.二次函数y=a.x2+bx十3的图象与x轴 (1)求抛物线的表达式，并直接写出点A,C的 交于A(1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C, 坐标： (1)求该二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 (2)连接AC,P为第一象限内抛物线上一点，过 △BCP是直角三角形？若存在，请求出点P的 点P作PD⊥x轴于点D,连接PA,是否存在 坐标：若不存在，请说明理由。 点P,使得△PDA与△COA相似？若存在，请 求出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明 理由 A/0 B 第2题图 AODB主 解：)将B队4,0)代入y=a(一小+号，得 第1题图 0=9u+号，解得a=一2 解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=a.x2+h+3, a-b+3=0, ∴.抛物线的表达式为y=一 得9u十36+3=0 架” 110 .该二次函数的表达式为y=一x2十2x十3. 由抛物线的表达式得其对称轴为直线x一1， (2)存在点P,使△PDA与△COA相似 ∴.PQ=m-1,Q日=-m+2+3. 设P(m,-m+2m十3). 在Rt△B(OC中，tan∠CBO=3, A(-1,0),∴.OA=1. 当以点P,Q,H为顶点的三角形与△BC相似时， 令x=0,则y=3, tam∠QPH=3或3 .C(0,3),.(0C=3. :PDLx轴，P为第一象限内抛物线上一点， 即tan∠QPH= QH PQ _m+2m士3=3或号 m-1 ∴.m>0,0D=m,PD=-m+2m+3, ∴.AD=OA+OD=m+1. 解得m=一3舍去)或2或5西（舍去】 6 △PDA与△C()A相似 OAAD OA PD 或5+145 “C=PD或CAD 6 m十1 -m2m+3或号 一m+2十3 点P的坐标为2,3)或(5+西，而-). 6 18 m十1 类型④角度问题 解得m=0,m=一1，m=号 1.如图，抛物线y=a.x2+5ax十b经过点D(-1, ,m>0,m= 一5)，且交x轴于A(一6,0)，B两点（点A在点 3 B的左侧)，交y轴于点C. 满足条件的点P的坐标为 (1)求抛物线的解析式： 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一x+ (②)将原抛物线沿射线CA方向平移个单位 2x十3与x轴交于A,B两点（点A在点B的右 长度，在平移后的抛物线上存在点G,使得 侧)，与y轴交于点C. ∠CAG=45°，请写出所有符合条件的点G的横 (1)求点A,B,C的坐标： 坐标，并写出其中一个的求解过程 (2)连接BC,抛物线的对称轴1交x轴于点H, 请问在对称轴右侧第一象限的抛物线上是否存 在点P,当PQ⊥l于点Q时，以点P,Q,H为顶 点的三角形与△BOC相似（包含全等）？若存 在，请求出所有符合条件的点P的坐标：若不存 在，请说明理由. 第1题图 第1题答图 第2题图 第2题答图 解：(1)令x=0,得y=3,.C(0,3). 解：(1)由题意得 a-5a+b=-5, 36a-30u+b=0, 令y=一x十2x十3=0，解得x=3或-1， A(3,0),B(-1,0 解得 (2)存在点P,使得以点P,Q,H为顶点的三角 b=-3, 形与△BOC相似（包含全等）. 设P(m,一m2+2m+3), ∴抛物线的解析式为)y一十号一3 111 (2)原抛物线沿射线CA方向平移5个单位长 将C(0,-3)代入得a-4=-3,解得a=1, ∴，抛物线的解析式为y=(x一J)一4. 度，相当于将抛物线向左平移1个单位、向上平 (2)如答图①，当点P在x轴上方抛物线上时， 移)个单位，则新抛物线的表达式为y=号+ 记CP与x轴交于点M. 令y=(x-1)-4=0, +20 7 解得x=3或x=一1， 如答图，当点G在x轴下方时， ∴A(-1,0),B(3,0) ∴.AO=1,B0=3. 设直线AG交y轴于点N,过点N作NT⊥AC 于点T, C(0,-3),.0C=3,(0C=0B 又∠B0C=90, 由点A(-6,0),C(0,-3)的坐标得AC=3√/5 ∴△BC为等腰直角三角形， ,∠ACO=∠TCN,∴.tan∠ACO=tan∠TCN ∴.∠BO=45, 在△ACN中，∠CAN=45°，AC=3,5 ∴.∠PCB+∠OCM=45, 设CT=x,则NT=2 ∠ACO+∠PCB=45°， NT=AT,.2x=x十35，解得x=35 .∠ACO=∠CM .CN=5x=15,.N(0,-18). 又.∠C0A=∠COM=90°，CO=C0, 由点A,N的坐标得直线AV的表达式为y .△COA≌△COMLASA),∴.OM=OA=1, -3x-18,② ∴.M1,0 联立①②，解得x=一13十2 由C(0,一3)，M1,0)得直线CM的解析式为 不合题意的值 =3.x3别 已舍去)： 令3.x-3=(x-1)-4, 当点G在x轴上方时 解得x=5或x=0(舍去)，.P(5,12). 同理可得直线AG的表达式为y=3十2，圆 如答图②，当点P在x轴下方抛物线上，过点P 作PN⊥y轴于点N: 联立①③，解得.x=一19士16丽 不合题意的值 :∠ACO+∠PCB=45°，∠OCB=45, ∴.∠ACP=∠AC0H∠PCB+∠OCB=90°， 已舍去)： ∴.∠ACOH∠PCN=∠CPN+∠PCN, 综上所述，符合条件的点G的横坐标为 .∠ACO=∠CPN, -18四或19+460 tan∠ACO=tan∠CPN 2 6 2.如图，抛物线的顶点为(1，一4)，抛物线与y轴 0祭号 31 交于点C(0,一3)，与x轴交于A,B两点(A在 设P(m,m-2m-3),.m-2m= B左侧). m 3 (1)求抛物线的解析式： 解得m=号或m=0(舍去)，P一 (2)P为抛物线上一点，且满足∠ACO十∠PCB 45°，求点P的坐标. 综上所述，点P的坐标为(5,12)或(，20) 第2题图 图① 图 解：(1)设抛物线的解析式为y=4(x一1)一4， 第2题答图 112