6.第六章 圆(教师用书)-【加速度中考】2025年青海中考备考加速度数学课堂精练本

第六章 圆 第24节 圆的基本性质 (2一3分) 中考真题明考向 命题点刀垂径定理及其推论 命题点2圆周角定理及其推论 1.[2022青海，17]如图是一个隧道的横截面，它的 3.[2023青海，7]如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上 形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是 一点，OC⊥AB,垂足为D.若∠A=20°，则 ⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于 ∠ABC= (C) A.20 B.30° 点D,并且AB=4m,CD=6m,则⊙O的半径 C.35 D.55 长为 10 m 第3题图 4.[人教九上P89第5题改编]如图，A,B,C在⊙O 第1题图 上，若∠ACB=46°，则∠O=92, 2.[2023西宁，25]如图，AB是⊙O 的弦，半径OC⊥AB,垂足为 D,弦CE与AB交于点F,连 接AE,AC,BC 第4题图 (1)求证：∠BAC=∠E; 第2题图 命题点3圆内接四边形 (2)若AB=8,DC=2,CE 5.[2024青海，15]如图，四边形ABCD是⊙O的内 3V1o,求CF的长. 接四边形，∠A=50°，则∠C的度数是130° (1)证明：OC1AB,OC是⊙O的半径， ∴.AD=BD,AC=BC,∴∠BAC=∠E. 0 (2)解：∠FAC=∠E,∠ACF=∠ECA, .△ACFp△ECA, 第5题图 瓷 5一1.变围形·过圆心并增加角平分线如图，四边形AB CD是⊙O的内接四边形，已知AB是⊙O的直 .AB=8,..AD=BD=4. 径，BD平分∠ABC,∠A=50°，则∠BDC的度 ,∠ADC=90°，AD=4,CD=2, 数是10° ∴AC=√AD+CD=2W5, 25=CF 3/1025' CF=210 3 第5-1题图 66 子情境试题分层练 令情境夯基础 打牢根基学摊核地知识 (2)解题某略开如图②，若BD=2OE,求证：BD∥ 1.[2024泰安]如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O O℃（请用两种证法解答）. 上两点，BA平分∠CBD.若∠AOD=50°，则 ∠A的度数为 (A) A.65 B.55 C.50° D.75 图① 图② 第5题图 (1)解：如答图①，过点O作OH⊥BC于点H ,OC=OB,OH⊥BC ∴.∠COH=∠BOH,CH=BH ∠BOC=2∠BCE,∴∠BOH=∠BCE. 第1题图 第2题图 ∠CBE=∠OBH,∴.△CBEP△OBH, 2.[2024凉山州门数学活动课上，同学们要测一个如 ∠CEB=∠OHB=90°， 图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方 ..BC=EC+EB*=/6, 案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作 AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点 CH=BH=BC-项 2 C,测出AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的 √6 半径为 (C) cos∠OBH= BHEB·21 A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm OBBC“OB6' 3.[2024广元]如图，已知四边形ABCD是⊙O的 .0B=3,.⊙0的半径为3 内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC= (2)证明：证法1：如答图②，过点O作OK⊥BD 128°，则∠CDE等于 (A) 于点K,则BK=DK A.64° B.60 C.54 D.52° .BD=20E,..OE=BK ∠CEO=∠OKB=90°，OC=BO, D .Rt△OEC≌Rt△BKO(HL), .∠COE=∠OBK,.BD∥OC 证法2：如答图②，过点O作OK⊥BD于点K, DE 则BK=DK 第3题图 第4题图 .BD=20E,..OE=BK. 4.[2024南充]如图，AB是⊙O的直径，位于AB两 侧的点C,D均在⊙O上，∠BOC=30°，则 'cos∠COE-哭，cos∠OBK= BK OB ,OC=OB, ∠ADC-75 .cos∠COE=cos∠OBK, 令情境提思维 ∴.∠COE=∠OBK,∴.BD∥OC 综合提升员活远用和识 5.[2024包头]如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是 ⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是 OB上一点(OE>BE),连接OC,CE,且∠BOC= 2∠BCE. D 图① 图② (1)如图①，若BE=1,CE=√5，求⊙O的半径； 第5题答图 67 第25节 与圆有关的位置关系 (8~10分) 中考真题明考向 命题点与切线有关的证明与计算 (2)若⊙O的半径为4，∠B=30°，求阴影部分的 1.[2023青海，13]如图，MN是⊙O的切线，M是切 面积 点，连接OM,ON.若∠N=37°，则∠MON的度 数是53°. 第2题图 第2题答图 (1)证明：如答图，连接QC 第1题图 OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB. 1一1.度问·求线段长如图，延长直径AB到点C, 直线AB经过点C,OC是⊙O的半径 过点C作⊙O的切线，切点为D,连接OD.若 ,OC是⊙O的半径，且AB⊥OC, OC=6,AB=6,则CD=33 .直线AB是⊙O的切线， (2)解：，OC⊥AB,∴∠OCB=90° ⊙O的半径为4，.OC=4 ￥∠B=30°，∠C0D=90°-∠B=60°， 第1一1题图 ,BC=OC·tan∠BOC=3OC=4w3, 2.[2024青海，22]如图，直线AB经过，点C,且OA= Sm-c度-85，Sm-别2- 3 OB,CA=CB. (1)求证：直线AB是⊙O的切线： .S影=S△0 Sm彩m=8V3-8n 3 令情境试题分层练 令情境夯基础 打宋根基学短核地知识 2.[2024徐州]如图，AB是⊙O的直径，点C在AB 1.[2024山西]如图，已知△ABC,以AB为直径的 的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若∠C ⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接 20°，则∠CAD=35 OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为 (D) D 以 第2题图 第1题图 A.30° B.40° C.45 D.50° 68 3.[2024东营]如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O OH是⊙O的半径，AB是⊙O的切线 的直径，点E在⊙O上，C是BE的中点，AE⊥ (2)解：由(1)知，OD⊥AC CD,垂足为D,DC的延长线交AB的延长线于 在Rt△OCD中，CD=4,OC=OF+CF=OD+ 点F 2,0D2+CD2=OC, (1)求证：CD是⊙O的切线； .OD2+42=(OD+2)2,.OD=3, (2)若CD=√3，∠ABC=60°，求线段AF的长 ÷00=-5,0sC=8光-号 CD4 在R△0CA中，cosC-- AC-5 sin∠OAC= OC4 第3题图 第3题答图 (1)证明：如答图，连接OC ,C是BE的中点 ∴，BC=CE,∴∠BAC=∠CAE. o OC=OA,∠OCA=∠OAC 第4题答图 ∠OCA=∠CAD,.OC∥AD 5.[2024宿迁]如图，在⊙O中，AB是直径，CD是 AE⊥CD,OC⊥DF. 弦，且AB⊥CD,垂足为E,AB=20,CD=12,在 ,OC是⊙O的半径，，CD是⊙O的切线 BA的延长线上取一点F,连接CF,使∠FCD= (2)解：：AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90 2∠B. :∠ABC=60°， (1)求证：CF是⊙O的切线； ∴.∠BAC=30°，∴∠CAD=∠BAC=30 (2)求EF的长 ∠D=90°，CD=3,∴.AD=3CD=3. ∠F=180°-∠D-∠BAD=30°， ∴.AF=2AD=6. 孕情境提思维 综合规升灵活运用知识 4.[2024武汉]如图，△ABC为等腰三角形，O是底 第5题图 第5题答图 边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D,底 (1)证明：如答图，连接OC 边BC与半圆O交于E,F两点. AC=AC,∠AOC=2∠B. (1)求证：AB与半圆O相切； AB⊥CD,∴.∠CEO=90°， (2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值. ∴∠COE+∠OCE=90° ,∠FCD=2∠B,∴.∠FCD=∠COE, ∴∠FCD+∠OCE=90°，，∠OCF=90° OC是⊙O的半径，'.CF是⊙O的切线， 第4题图 (2)解：由题意得CE=CD=6, (1)证明：如答图，连接OD,OA,作OH⊥AB于 AB=20,..OC=10,.OE=C-CE=8. 点H. :∠OCF=∠OEC=90°，∠COE=∠FOC, ",△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴.AO BC,AO平分∠BAC △00En△0rC,÷8-8 ,AC与⊙O相切于点D,∴.OD⊥AC, 是-品0F-EF-0F-0E=号 :OH⊥AB,∴.OH=OD. 69 第26节 与圆有关的计算 (2一3分) 中考真题明考向 命题点)扇形弧长与面积的计算 圆锥，这个圆锥的底面圆的周长为36m,母线长 1.[2023青海，14]如图，正方形ABCD的边长是4， 为8m,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，需要铺 分别以点A,B,C,D为圆心，2为半径作圆，则 油毡的面积是144m2. 图中阴影部分的面积是16一4π（结果保留 r). 第3题图 命题点3正多边形与圆 4.[人教九上P106例题改编]要用圆形铁片截出边 第1题图 长为2的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径 2.[2022青海，18]如图，从一个腰长为60cm,顶角 至少是2 为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最 5.[人教九上P106例题改编]如图，有一个亭子，它 大的扇形OCD,则此扇形的弧长为20πcm. 的地基是边心距为2√3的正六边形，则地基的 周长为24，面积为243 第2题图 命题点2圆锥的相关计算 3.[人教九上P116第9题改编]如图，一粮仓顶部是 第5题图 令情境试题分层练 孕情境穷基础 打宋根基掌提核心加识 M,则∠AMF的度数为 (B) 1.[2024贵州]如图，在扇形纸扇中，若∠AOB= A.26 B.27 C.28° D.30° 150°，OA=24,则AB的长为 (C)3.[2024广州]如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心 A.30π B.25π C.20x D.10元 角为72的扇形，若扇形的半径1是5，则该圆锥 的体积是 (D) 72 第1题图 第2题图 第3题图 2.[2024呼和浩特]如图，正四边形ABCD和正五 边形CEFGH内接于⊙O,AD和EF相交于点 AMHx B 8 C.2√6π D26 π 70 4.[2024包头]如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，8.[2024齐齐哈尔]如图，△ABC内接于⊙O,AB为 半径OA=3,C是AB上一点，连接OC,D是OC ⊙O的直径，CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC 上一点，且OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则 所在的直线翻折，得到△CEB,点D的对应点为 AC的长为 (B) E,延长EC交BA的延长线于点F. (1)求证：CF是⊙O的切线； (2若m∠CFB=受，AB=8,求图中阴影部分 的面积. 第4题图 A哥 B哥 c D.元 5.[2024广安]如图，在等腰三角形ABC中，AB= AC=10,∠C=70°，以AB为直径作半圆，与AC, 第8题图 BC分别相交于点D,E,则DE的长度为(C) (1)证明：如答图，连接OC A晋 D.25x CD⊥AB,∴∠BDC=90 ,OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC ,将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB, .∠EBC=∠DBC,∠E=∠BDC=90°， ∴∠OCB=∠EBC,∴.OC∥BE, ∴∠OCF=∠E=90 第5题图 第6题图 OC是⊙O的半径，.CF是⊙O的切线 6.[2024镇江]如图，AB是⊙O的内接正n边形的 一条边，点C在⊙O上，∠ACB=18°，则n= 2解：n∠CFB=号，∠CFB=45 10 ∠OCF=90°，∠COF=∠CFO=45°， 位情境提思维 综合提升员活运用和识 CF-OC-7AB-4. 7.[2024苏州]铁艺花窗是园林设计中常见的装饰 CD⊥AB,∠CDO=90, 元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六 .∠OCD=∠COD=45°， 条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个 正六边形，中心为点O,AB所在圆的圆心C恰 GD=00-号oc=2w2, 好是△ABO的内心，若AB=23,则花窗的周 .S明影=S偏形x一S△D 长（图中实线部分的长度）=8π（结果保留π）. =45XX4-}X2w2X2w2 360 2 =2π一4. 第7题图 第8题答图 71 微专题5 与圆有关的阴影部分面积的计算 方法1公式法 学法点拨 1.[2022凉山州]家具厂利用如图所示直径为1的圆形材料加工成 1.公式法 一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC=90°，则扇形部 当所求阴影部分图形为规则图形 件的面积为 (C) 时，直接利用面积公式计算。 A. B. 4 D D 0 S刷=SE方形AD 0 第1题图 第2题图 2.[2024深圳]如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF,BC= √2AB,O为BC的中点，OE=AB=4,则扇形EOF的面积 为4π S阳彩=S角利Ey 方法2和差法 2.和差法 3.[2024重庆A卷]如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆 将阴影部分看作某些基本图形的面 心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD=4, 积的和或差. 则图中阴影部分的面积为 (D) A.32-8π B.163-4πC.32-4π D.163-8π D Sm影=S△一S痛CD B 第3题图 第4题图 4.如图，正方形ABCD的边长为8，以BC为直径的半圆O交对 角线BD于点E,则阴影部分的面积是 (D) A.8-π B.16-2x C.16-4π D.32-4π 5.[2023西宁，17]如图，边长为√2的正方形ABCD内接于⊙O,分 Sm影=S么aB十S痛刚amH 别过点A,D作⊙O的切线，两条切线交于点P,则图中阴影部 分的面积是1一平 D 第5题图 第6题图 6.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3,分别以点A,C为圆 心，AB,CD为半径画弧，图中阴影部分面积为 6r-93 2 (结果保留π)， 72 方法3转化法 学法点拨 7.如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45° 3.转化法 后得到△AB'C',点B经过的路径为BB',若∠BAC=60°， 通过寻找与部分阴影面积相等的其 他区域，将所求阴影部分转化为规则图 AC=3,则图中阴影部分的面积是 (C) 形或者便于利用和差法求解的图形. D D AP CD∥AB,S酬影=S角彩m心 第7题图 B c暨 D.3元 8.如图，C,D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB= ∠ABC=45, ∠DBA,连接BC,CD.若AB=4,∠ACD=30°，则阴影部分的 S翻老=S角移g一S△xc 面积是 2x · D 第8题图 9.[2022西宁，16]如图，等边三角形ABC内接于⊙O,BC=2√3， 则图中阴影部分的面积是红 第9题图 10.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为4，H为 边AF的中点，则图中阴影部分的面积是4V3+ 3π 第10题图 73 阶段检测卷（六） 一、选择题 8.如图，A,B,C为⊙O上的三个点，∠AOB=5∠BC 1.已知⊙0的半径为4，P是⊙0外一点，连接 若∠ACB=50°，则∠BAC的度数是 (C) OP,那么OP的长可能是 (D) A.3.5 B.3.9 C.4 D.4.1 2.如图，在⊙O中，OA⊥BC,∠ADC=30°，则 ∠BAC的度数为 (C) A.30 B.60 C.120° D.240° 第8题图 A.20 B.25° C.10 D.15 二、填空题 9.如图，点A在⊙O上，射线CB切⊙O于点C,若 ∠ACB=25°，则∠A=65 第2题图 第3题图 3.如图，AB是⊙O的直径，AC,BD,CD是⊙O的弦 若∠D=30°，AB=4,则弦AC的长度为(D) A.3 B.22 C.3 D.2/3 4.如图，AB是半圆O的直径，点C,D在半圆O 上.若∠ABC=50°，则∠BDC的度数为(D) 第9题图 第10题图 A.90° B.100° C.130° D.140 10.已知⊙O的半径OA=1,弦AB的长为√2，若C 为⊙O上一点（不与点A,B重合），则∠BCA= 45或135° 11.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分 别相切于点D,E,F,且AD=2,△ABC的周长 第4题图 第5题图 为14，则BC的长为5 5.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC, OD,则∠BAE-∠COD= (D) A.65° B.54° C.8 D.36 6.一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥 的侧面积是 (C) E A.3π B.6π C.12π D.24π 第11题图 7.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,若 12.如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径 ∠ABD=72°，AB=20,则图中阴影部分的面积 门，因圆形如月而得名.某地园林中有一个圆 为 (C) 弧形门洞，高为2.5m,地面入口宽为1m,则 该门洞的半径为1.3m. 第7题图 A.5π B.9π C.10π D.10π+1 第12题图 74 三、解答题 ∴∠OAD= ∠OAB. 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB 边上一点，以BD为直径的⊙O与BC交于点 DB∥OA F,且AC切⊙O于点E,连接DE,EF.求证： ∠OAD=∠D, DE=EF. ∴.∠OAB=2∠D :∠AOB=2∠D,·∠AOB=∠OAB. 又OA=OB,·△AOB是等边三角形， ∴.∠AOB=60 :∠OAD=∠BAD=∠D, ..BD=AB=OB=3, 第13题图 第13题答图 .BC=OB·tan∠AOB=3v3 证明：如答图，连接OE,OF 15.如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的直径， ,AC与⊙O相切于点E, P是⊙O外一点，PO=4,AP=AB.PA,PB分 .OE⊥AC,即∠OEA=90° 别交⊙O于点C,D ,∠C=90°，∴.OE∥BC (1)求证：PD=BD; .∠AOE=∠B,∠EOF=∠OFB (2)求PC的长 OF=OB,.∠OFB=∠B ∴.∠EOD=∠EOF,DE=EF 14.如图，点A,B在⊙O上，∠BAO的平分线交 ⊙O于点D,点C在OA的延长线上且 ∠CBA=∠D. 第15题图 (1)求证：CB是⊙O的切线： (1)证明：如答图，连接AD (2)若DB∥OA,BD=3,求CB的长 ,AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90, ..AD BP. .AP=AB,.PD=BD. (2)解：如答图，连接OC :⊙O的半径为2，.AB=4. 第14题图 第14题答图 ,PO=4 (1)证明：如答图，延长AO交⊙O于点E,连接 ..PO=AB=AP=4, OB,BE. ∠PAO=∠POA. :AE是⊙O的直径，∠ABE=90 OA=OC,.∠ACO=∠CAO, 即∠OBE+∠OBA=90° ∠PAO=∠POA=∠ACO=∠CAO, OB=OE,.∠E=∠OBE ∴.△POA△OCA, :∠D=∠ABC,∠D=∠E ..4O_AP ∴.∠OBA+∠ABC=∠OBA+∠OBE=90°， AC AO' 即BOBC. 即是- ,OB是⊙O的半径，.BC是⊙O的切线 .AC=1, (2)解：：AD是∠BAO的平分线， 第15题答图 ..PC=AP-AC=3. 75