2.第二章 方程（组）与不等式（组）(教师用书)-【加速度中考】2025年青海中考备考加速度数学课堂精练本

第二章 方程（组）与不等式（组） 第5节一次方程（组） (3分) 中考真题明考向 命题点)等式的性质 挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个 1.[2022青海，2]根据等式的性质，下列各式变形正 钩码质量是50g.若OA=20cm,OB=40cm, 确的是 (A) 挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡.设重 A.若g=b,则a=b 物的质量为xg,根据题意列方程得 (A) ∠ B.若ac=bc,则a=b C.若a2=b2,则a=b D.若-}=6，则x=-2 命题点2一次方程（组）及解法 第2题图 2.[2022西宁，6]在数学活动课上.兴趣小组的同学 A.20x=40×50×3 B.40.x=20×50×3 用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实 C.3×20.x=40×50 D.3×40.x=20×50 验.如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬 令情境夯基础 打牢根基堂损核心知识 4,[2024宿迁]若关于x,y的二元一次方程组 1.[2024海南]若代数式x一3的值为5，则x=(A) ax-y=b, x=3, 的解是 则关于x,y的方 A.8 B.-8 C.2 D.-2 cr-y=d 3Y 2.载学化[2024广西]《九章算术》是我国古代重要 ax+2y=2a+b, x=5 程组 的解是 的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思 cx-2y=2e+d 为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩5.[2024新显]解方程：2（一1）一3=x. 1钱，第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出 解：去括号，得2.x一2-3=x, 租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方 移项，得2x-x=2十3， 程为 (B) 合并同类项，得x=5. A++-1 x+2y=3,① 5 B号++号=10 5 6.[2024广西]解方程组： x-2y=1.② C.3x+4x+5.x=1 D.3.x+4x+5.x=100 解：①十②@，得2x=4,解得x=2, 孕情境提思维 综合提升灵活运用知识 3.新定义[2024广州]定义新运算：a⑧b= ①一②，得y=2,解得y=2 a2-b,a0, 例如：一2☒4=(-2)2-4=0， x=2, -a+b,a>0. ,方程组的解为 283=-2+3=1.若x⑧1=-子，则x的值 2 为或 11 第6节 分式方程 (2一7分) 之中考真题明考向 命题点分式方程的解法 2.[2022青海，21]解方程：，二21=7-4z十 1.[2022西宁，21]解方程：7十x- 4 3 -=0 解：去分母，得xr(x-2一(x一2)=4， 解：去分母，得4(x-1)-3(x十1)=0. 去括号，得x2一2x-x2十4一4=4， 去括号，得4x一4一3.x一3=0， 移项，得x2-x2一2r十4x=4十4， 移项、合并同类项，得x=7 合并同类项，得2x=8, 检验：当x=7时，x(x十1)(x一1)≠0， 系数化为1，得x=4. ∴x=7是原方程的解。 检验：当x=4时，（x-2)≠0， x=是原方程的解 令情境夯基础 打牢根基烟核心知识 4.[2024陕面]解方程：，2气十-1 1.[2024广东]方程、2。 3的解是 x-3 x (D) 解：去分母，得2x(x十1)=(x+1)(x一1)， A.x=-3 B.x=-9 去括号，得2十x十x=x一1， C.x=3 D.x=9 2.2024福建]解方程：子2十1-产之 移项，得x2十x-x=一1一2， 解：去分母，得3(x一2)十(+2)(x-2)=x十2) 合并同类项，得x=一3 去括号，得3.x-6十x2-4=2x, 检验：当x=一3时，(+1)(x一1)≠0， 移项，得3x十x2一x-2r=1十6， =一3是原方程的解 合并同类项，得x=10 检验：当x=10时，(+2)(x一2)≠0， 一情境提思维 综合线升灵活远用和识 ∴.x=10是原方程的解 5.[2021达州]若关于x的方程，3,6二号-1无 3[2021广州]解方程：2写 3 x-2x-2 解，则k的值为2或一1 解：去分母，得x=3(2.x-5), 去括号，得x=6x一15， 6.新定义猪论开数[2024广元]若点Q(x,y)满足 移项，得x一6x=-15, 合并同类项，得一5.x=一15 1+1=上，则称点Q为“美好点”，写出一个 x'y ry 系数化为1，得x=3. “美好点”的坐标(2，一1). 检验：当x=3时，x(2x-5)≠0， 7.[人教八上P154综合运用第2(1)题改编]已知2a一7 ∴x=3是原方程的解 9,则分式方程，3十a=1的解为号。 12 第7节一元二次方程 (2一8分) 之中考真题明考向 命题点刀一元二次方程的定义及解法 :△=(-2)°-4×1×(-2)=12>0， 1.[2024青海，21](1)解一元二次方程：x2一4x十 ,方程有两个不相等的实数根， 3=0: x=2告厘-2±8=1士5， (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的 2×1 2 根，求第三边的长。 .x=1+3,x2=1-5. 解：(1)x2-4x+3=0, (答案不唯一) 因式分解，得(x一1)(x-3)=0, 命题点2一元二次方程根的判别式 x1=1,x=3 3.[2022西宁，4]关于x的一元二次方程2.x2十x (2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边的长 =0没有实数根，则k的取值范围是 (A) 为√3-下=22， A.R B长司 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边的 长为/1P+3=w10, C>- D≥-吉 .第三边的长为2√2或10 3一1.变网·求k值个数关于x的一元二次方程2x2十 2.[2023青海，20]为丰富学生课余生活，提高学生运 x一k=0没有实数根，且k为大于一5的负整 算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： 数，则k可取值的个数为 (A) B.3 C.2 D.1 2x-1<7,① A.4 (1)解不等式组： x+1>2:② 命题点3一元二次方程根与系数的关系 (2)结论升当m取(1)的一个整数解时，解方程 4.[2022青海，40已知关于x的方程x2十mx十3=0 x2-2x-m=0. 的一个根为x=1,则实数m的值为 (B) 解：(1)解不等式①，得<4 A.4 B.-4C.3 D.-3 解不等式②，得x>1, 4-度条件·两个相等的实数根已知关于x的方程x2十 ∴不等式组的解集为1<x<4 m.x十3=0有两个相等的实数根.若m>0,则实 (2)由(1)知1<x<4. 数m的值为 (B) 令m=2,则方程为x2一2x一2=0. A.33 B.2、3 C.43 D.3 孕情境夯基础 打宋权基掌坦核地知识 2.[2024吉林]下列方程中，有两个相等实数根的 1.[2024淮安]若关于x的一元二次方程x2-4.x十 是 (B) k=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围 A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0 是 (D) A.k≥>4B.k>4 C.k≤4 D.k<4 C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2 13 3.[2024深圳]一元二次方程x2一3.x十a=0的一个10.[2024南充]已知m是方程x2十4x-1=0的一 解为x=1,则a=2 个根，则(m+5)(m一1)的值为一4 4.[2024连云港]关于x的一元二次方程x2一x十c=0 11.[2024南充]已知x1,x2是关于x的方程x2一 2kx十k2一k十1=0的两个不相等的实数根. 有两个相等的实数根，则c的值为 (1)求k的取值范围. 5.[2024眉山]已知方程x2+x一2=0的两根分别 (2)若k<5,且k,1,x2都是整数，求k的值. 为则十品的值为 解：(1)：原方程有两个不相等的实数根， .△=(-2k)-4×1×(k-+1)=4k-4>0, 6.[2024安徽]解方程：x2一2.x=3. 解得k>1. 解：移项，得x一2x一3=0， (2),1<k<5且k为整数，.k的值为2,3,4 因式分解，得(x-3)(x+1)=0, 当=2时，方程为x一4.x十3=0， x1=3,xy=-1. 解得1=1，x=3. 7.[2024齐齐哈尔]解方程：x2一5x十6=0. 当k3或4时，此时方程的解不为整数. 解：移项，得2-5x十25 综上所述，k的值为2 配方，得(-)- 12.[2024遂宁]已知关于x的一元二次方程x2一 (m十2).x+m-1=0. 开方，得x一士， (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等 解得x1=2,x:=3. 的实数根： 孕情境提思维 (2)如果方程的两个实数根为，2，且着十 综合提升灵活证用知识 x1x2=9,求m的值.■ 8.[2024东营]用配方法解一元二次方程x一2x 1)证明： (2m千2)x+m-1=0, 2023=0,将它转化为(x+a)=b的形式，则a ∴a=1,b=(m+2,c=m-1, 的值为 .△=-4a0 A.-2024 B.2024 =[-(m+2)门-4×1×(m-1)】 C.-1 D.1 =m2十8>0， 9.新定义[2024宿迁]规定：对于任意实数a,b,c,有 ,∴，无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。 【a,b】★c=ac十b,其中等式右面是通常的乘法 (2)解：方程x2一(m十2)x十1-1=0的两个实 和加法运算，如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于 数根为石，，∴十x=m十2，=m一1 x的方程【x,x+1】★(m.x)=0有两个不相等的 x7+-x1xe=9,即(x1十x2)Ψ-3x1xe=9, 实数根，则m的取值范围为 (D) .(m十2)2-3(m-1)=9, B.m 整理，得(m十2)(m一1)=0， 解得1=一2,2=1. C.m> 4且m≠0 D.m<且m≠0 14 第8节不等式（组） (2一9分) 之中考真题明考向 命题点刀不等式的基本性质 并写出该不等式组的最大整数解。 1.猪论升教[2024青海，11门请你写出一个解集为x> 解：解不等式①，得x≤1 √7的一元一次不等式：2.x>27 解不等式②，得x<一2， 命题点？一元一次不等式组的解法 ∴，不等式组的解集是x<一2， 1x-3(.x-2)≥4，① ∴.该不等式组的最大整数解为一3. 2.[2022西宁，20]解不等式组： 12x+1<x-1,② 令情境夯基础 打牢根基学爆核地和识 2x-3≤x,① 7.[2024无锡]解不等式组： 1.[2024上海]如果x>y,那么下列正确的是(C x+2>1.② A.x+5≤y+5 B.x-5<y-5 解：解不等式①，得x≤3， C.5a>5y D.-5x>-5y 解不等式②，得x>一1， 2.[2024贵州]不等式x<1的解集在数轴上表示正 ,原不等式组的解集为一1<x3. 确的是 8.[2023贵州]已知，A=a-1,B=一a十3.若A> 01 B,求a的取值范围. 解：由题意得a一1>一u十3， 解得a>2. 3.[2024河北]下列数中，能使不等式5x-1<6成 92024山解不等式，号-1<22，把它的 立的x的值为 A 解集表示在数轴上.， A.1 B.2 C.3 D. 2x+1>x+2, 4.[2024眉山]不等式组 的解集 -5-4-3-2-1012345 x+3≥2.x-1 第9题图 是 (D) 解：去分母，得2(x+1)一6≤3(2一x), A.x>1 B.x≤4 去括号，得2x十2-6≤6-3x, C.x>1或x≤4 D.1<x≤4 5.[2024广西]不等式7x+5<5.x+1的解集 移项，得2x+3x≤6+6-2， 为<一2 合并同类项，得5x≤10， 6.[2024广东]关于x的不等式组中，两个不等式的解 系数化为1，得x≤2 集如图所示，则这个不等式组的解集是x≥3。 不等式的解集在数轴上表示如答图， -5-4-3-2-1012345 01234567 第9题答图 第6题图 15 第9节方程（组）与不等式（组）的实际应用 (3-8分) 中考真题明考向 命题点刀一次方程（组）的实际应用 汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度 1.数常支化[2023西宁，7]《孙子算经》中有一道题， 是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x 原文是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四 km/h根据题意，下列方程正确的是 (B) 尺五寸：屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思 A.15+1=15 B15-15+1 是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5 22x x 2x 2 尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问 C.15+30=5 木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意 .x n5-票+0 列方程组得 (A) 命题点③一元二次方程的实际应用 y-x=4.5 x-y=4.5 3.[2022青海，19]如图，小明同学用一张长11cm, A. B. 2y=x-1 2y=x-司 宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去 y-x=4.5 x-y=4.5 C. 一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可 D 2y=x+1 2y=x+1 (损耗不计).设剪去的正方形边长为xcm,则可 1一1.度设问·求长度《孙子算经》中有一道题，原文 列出关于x的方程为(11一2x)(7一2x) 是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五 21 寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用 一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将 绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多 少尺？则绳长为 (A） 第3题图 A.11尺B.13尺 C.4.5尺D.5.5尺 命题点2分式方程的实际应用 命题点④不等式的实际应用 2.革命文化[2023青海，6]为了缅怀革命先烈，传承 4.[2023西宁，13]象征吉祥富贵的丁香花是西宁市 红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期 市花.为美化丁香大道，园林局准备购买某种规 间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓.一部分 格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5000 师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘 元，则最多可以购买833棵 令情境夯基础 打牢根基史圾核心知识 A3x-4=x-1 B3+4=-1 1.数学化[2024宿迁]我国古代问题：以绳测井，若 将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳 C.3x-4=4x+1 D3+4=+1 多一尺.绳长、井深各几何？这段话的意思是： 2.[2024牡丹江]一种药品原价每盒48元.经过两 用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺： 次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同， 把绳四折来量，井外余绳一尺.绳长、井深各几 则每次降价的百分率为 (C) 尺？若设绳长为x尺，则可列方程为 (A) A.20%B.22% C.25% D.28% 16 3.[2024绥化]一艘货轮在静水中的航速为40km/h,7.[2024江西]如图，书架宽84cm,在该书架上按 它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与 图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学 以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等， 书厚0.8cm,每本语文书厚1.2cm. 则江水的流速为 (D) (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架， A.5 km/h B.6 km/h 求书架上数学书和语文书各多少本： C.7 km/h D.8 km/h (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学 4.[2024通辽]如图，小程的爸爸用一段10m长的 书最多还可以摆多少本？ 铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m)的矩形 鸭舍，其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留 一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长 84 cm 为 (C) 第7题图 解：（口）设书架上数学书x本，则语文书(90一x)本 根据题意得0.8x+1.2(90一x)=84, 解得x=60, 第4题图 .90x=30 A.5m或6m B.2.5m或3m 答：书架上数学书60本，语文书30本. C.5m D.3 m (2)设数学书还可以摆m本 5.[2024吉林（有改动）门钢琴素有“乐器之王”的美 根据题意得101.2十0.884，解得m≤90， 称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白 数学书最多还可以摆90本」 色琴键比黑色琴键多16个，求白色琴键和黑色 请境提思维 综合提升灵活运用如识 琴键的个数. 8.[2024宜宾]某果农将采摘的荔枝分装为大箱和 解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数 小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小 为y个 箱装3千克荔枝，该果农现采摘有32千克荔枝， x+y=88, 根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的 根据题意得 52 解得 x-y=16 y=36 箱数最多为 (C) 答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数 A.8箱 B.9箱=C.10箱 D.11箱 为36个 9.熬学文化[2024淄博]如图，其大意为：已知矩形门 6.多动教育[2024陕西]星期天，妈妈做饭，小峰和爸 的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么 爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除 门的高和宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10 的任务量，若小峰单独完成，需4h:若爸爸单独 寸)若设门的高和宽分别是x尺和y尺.则下面 完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间 所列方程组正确的是 (D) 后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩 今有户高多于广六尺八寸。两偶相去造一丈。 余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h: 问户高、广各几何？ 《九章算术》 求这次小峰打扫了多长时间. 解：设这次小峰打扫了xh,则爸爸打扫了(3 第9题图 x）h. x=y-6.8 x=y-6.8 A. B. x2+10=y x2+y2=10 根据题意得+32=1，解得1=2 Jx=y+6.8 x=y+6.8 Cx+10=9 D. 答：这次小峰打扫了2h. x2+y2=10 17 阶段检测卷（二） 一、选择题 7.转化思热在长为30m,宽为20m的矩形田地中 1.不等式x十1≤3的解集在数轴上表示正确的是 开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地 (A) 的面积为468m,求道路的宽度.设道路的宽度 为xm,则可列方程 (A) -1012 3 -10123 B 1012 10123 D 第7题图 2.下列变形中，不正确的是 (D) A.(30-2x)(20-x)=468 A.若x=y,则x十3=y十3 B.(20-2.x)(30-x)=468 B.若-2x=-2y,则x=y C.30×20-2×30.x-20.x=468 C若品六则x=y D.(30-x)(20-x)=468 8.一架位于长江水道之上的铁路大桥全长约 D.若x=y,则2=义 mm 3000m.现有一列动车从桥上通过，测得动车 3.端午节前夕，某兴趣小组的10位同学在实践课 从开始上桥到完全过桥共用80s,整列动车完全 上共制作了42个葫芦装点班级，其中男生每人 在桥上的时间是70s,则这列动车长为(C) B.300m 制作了3个，女生每人制作了5个.设男生有x A.400m C.200m D.100m 人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是 二、填空题 (C 9,一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利 x+y=42 A. 20%,若该货物进价为每件18元，则每件的标 3.x+5y=10 5.x+3y=42 价为24元. x+y=10 x十y=42 c. D. 13.x+5y=42 5x+3y=10 10.若代数式x与x一1的此值等于号则x=-1 4.用配方法解方程x2十8.x十7=0，则配方正确的 1L.若关于x的一元二次方程a.x2+bx+1=0(a≠ 是 (A) 0)的一个解是x=1,则2024一a一b的值 A.(x+4)2=9 B.(.x-4)2=9 是2025 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57 x十2y=m, 12.已知关于x,y的二元一次方程组 5.若m是方程x2一3.x一 2=0的根，则 2x+y=4 (m”1一2产m的值为 的解满足x一y=3,则m的值为1· (B) 三、解答题 A.-3 B.-2 C.2 D.3 18解方程：营-寸-1. 3 6.若关于x的分式方程5 -4=2 x二4有增根，则 解：去分母，得3x-2.x-2=6, a的值为 (B) 移项、合并同类项，得x=8 A.5 B.-5 C.4 D.-4 18 14.解方程：x2-2x-5=0. 18.关于x的一元二次方程x2一(k+4)x+2k十 解：由题意得a=1,b=一2，c=一5， 4=0. .△=(-2)2-4×1×(-5)=24>0， (1)求证：方程总有两个实数根； .方程有两个不相等的实数根， (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围， x=2±v24 (1)证明：由题意得a=1,b=一(k+4),c=2火十4， 2 ∴.△=[-(k+4)门-4×1×(2k十4)=k≥0， 解得x1=1+√6，xy=1一6. 3.x-2y=8,① 方程总有两个实数根 15.解方程组： 2.x+2y=7.② (2)解：原式整理得(x一2)(x一k一2)=0， 解：①十②，得5.x=15,解得x=3, .x1=2,x=k+2. 将x=3代入②，解得y=2 方程有一个根小于1， .k+2<1,解得k<一1， x=3, ,原方程组的解为 ,k的取值范围为k<一1。 19.某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品.若 2-1= 16.解方程：3一x 甲组先生产1天，然后两组又各生产5天，则两 x-31 组产量一样多.若甲组先生产了300个产品， 解：去分母，得一2x-(x-3)- 去括号，得一2x一x十3=4， 然后两组又各生产4天，则乙组比甲组多生产 移项，得一2x-x=4一3， 100个产品， 合并同类项，得一3x=1, (1)求甲、乙两组每天各生产多少个产品？ (2)若有一批8000个产品的生产任务由甲、乙 系数化为1，得x= 两组共同完成，请你帮该厂安排甲、乙两组的生产 检验：当x= 3时，x一3 天数（天数为整数，且正好生产8000个产品）， ∴，原分式方程的解是 解：(1)设甲组每天生产x个产品，乙组每天生 3 产y个产品 4(x-1)≥2x-6,① 17.解不等式组： 并把解集 (5+1).x=5y, x=500, 5-2x>12,@ 根据题意得 解得 300+4.x=4y-100, y=600, 在数轴上表示出来 ∴.甲组每天生产500个产品，乙组每天生产 解：解不等式①，得x≥一1， 600个产品， 解不等式②，得x3, (2)设甲组生产a天，乙组生产b天， .不等式组的解集为一1≤x<3 由(1)可得500a+600h=8000. 不等式组的解集在数轴上表示如答图 ,天数为整数， ∴，甲组生产4天，乙组生产10天；或者甲组生 -3-2-10123 产10天，乙组生产5天， 第17题答图 19