精品解析：河南省驻马店市西平县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中素质测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时问100分钟．请用，黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 2. 若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据无实数根这个条件，得出，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 故选：D． 3. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 5. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 8. 如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵点D，C是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查弧长与圆心角的关系，熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 9. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 10. 如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转中的坐标规律探究，由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴经过8次旋转后图形回到原位置． ∵， ∴旋转2024次后恰好回到原来图形位置， 过点D作轴于点E． 由题意可得，是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点D的坐标为． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 12. 当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】直线与抛物线有交点，则画出二次函数的图象，根据图象进行解答即可．本题主要考查二次函数图象的性质及直线交点的问题，数形结合是解题的关键． 【详解】解：画出抛物线，如图， 当时，，且抛物线的顶点是图象最低点，抛物线开口向上， ∵直线与抛物线有交点，, ∴由图象可知． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，负整数幂，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键． 根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出a和b的值，从而求出结论． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，则， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线上的一个动点，当时，的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，此时有最小值，连接、、、，根据圆的性质和轴对称的性质，得出，，再利用勾股定理求出的长，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，此时有最小值， 连接、、、， 点A是半圆上的三等分点， ， B是弧的中点， ， 由轴对称的性质可知，，，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，轴对称的性质求最小值，勾股定理等知识，解题关键是利用轴对称的性质作辅助线将所求线段转化． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 17. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见详解 （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移8个单位长度后得到，请画出． （2）请画出关于原点O的中心对称图形． （3）若将绕某一点旋转可得，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1） 所作如图所示： （2） 所作如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用平移、中心对称作图，求旋转中心的坐标，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据平移的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再顺次连接、、，即可； （2）根据中心对称的定义分别作出点、、的对应点、、，再顺次连接、、即可； （3）连接，，，根据对应点连线的交点即为旋转中心，进而写出旋转中心的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，如图所示： 这三条线段的交点即是旋转中心， 旋转中心的坐标为． 19. 如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接． （1）求的度数． （2）若，求的半径． 【答案】（1）； （2）的半径为2． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定以及含的直角三角形的性质的应用． （1）根据垂径定理求出，，根据线段垂直平分线性质求出，，由此可证得为等边三角形，进而可得； （2）先求出，由此可得，进而可设，则，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：，过点， ， ， ，过点， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 又∵， ， ， 设，则， ∵，且， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 即的半径为2． 20. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1） （2）如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 【答案】（1）；②石块能飞越防御墙； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解． （2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解． 【小问1详解】 解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米． ∴， 当时，， 当时，， ∴石块能飞越防御墙； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 当经过点，时， ，解得：. 当经过点，时， ，解得： ∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 23. 定义：直角顶点重合的两个等腰直角三角形称为“同根等腰直角三角形”．如图，和都是等腰直角三角形，，则和为“同根等腰直角三角形”． （1）如图1，当点E在上，点D在上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是______． （2）把绕点C旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是 ． 【答案】（1）， （2）（1）中的结论成立．理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，再作差，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转的旋转得出，进而判断出，得出，，与交于M，与交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论． 【小问1详解】 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故：，； 【小问2详解】 成立； 如图2，与交于M，与交于N， 由题意可知： ， ， ， 在与中： ， ，， 又，， 在中， ， ， ， 结论成立； 【小问3详解】 ①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中素质测试 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，23个小题，满分120分，考试时问100分钟．请用，黑色水笔或2B铅笔在答题卡上作答． 2．答卷前将相关信息在答题卡上准确填涂． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 0 B. C. 4 D. 10 4. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 7. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 12. 当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是______． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______． 14. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为________． 15. 如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线上的一个动点，当时，的最小值为_____. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移8个单位长度后得到，请画出． （2）请画出关于原点O的中心对称图形． （3）若将绕某一点旋转可得，则旋转中心的坐标为______． 19. 如图，为的直径，，垂足为F，，垂足为E，连接． （1）求的度数． （2）若，求的半径． 20. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 22. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 23. 定义：直角顶点重合的两个等腰直角三角形称为“同根等腰直角三角形”．如图，和都是等腰直角三角形，，则和为“同根等腰直角三角形”． （1）如图1，当点E在上，点D在上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是______． （2）把绕点C旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $