精品解析：辽宁省大连市金州区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

金普新区2024-2025学年度第一学期期中质量检测试卷 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，3，2 B. 2，5，8 C. 3，4，5 D. 5，5，10 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 中国体育代表团在年巴黎奥运会取得优异成绩，下列图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 榫卯结构是我国古代建筑，家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为的长方形木条中（点，，，在同一条直线上）．若，则木楔的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，都是的中线，连接，的面积足，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 9. 如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是环己烷的结构简式（正六边形），其内角和为______°． 12. 若，则_____． 13. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为______ 度． 14. 如图，中，，若沿图中虚线截去，则________． 15. 如图，四边形中，，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线，与相交于点H，则的长为______(用含a的代数式表示)． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知：如图，点E、F在线段上，，，.求证：. 18. 如图，已知中，，，． （1）画出与关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标； （2）的面积为______． 19. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，在中，平分，为线段上一点，过作交的延长线于点，若，，求的度数． 21. 如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 22. 阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数对”． 例如：，所以23和96与32和69都是“倒同数对”． （1）请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由； （2）为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m，个位数字为n，且；另一个数的十位数字为p，个位数字为q，且，请探究m，n，p，q的数量关系，并说明理由； （3）若有一个两位数，十位数字为x，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“倒同数对”，则x的值为______． 23. 【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，E是的中点，若平分，，请你探究的数量关系并证明； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，和的平分线交于点P，M，N为上的点，且P为中点，若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金普新区2024-2025学年度第一学期期中质量检测试卷 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，3，2 B. 2，5，8 C. 3，4，5 D. 5，5，10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知“三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和幂的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算正确，符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； 和不是同类项，不能合并，故D计算错误，不符合题意． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为 故选：A． 4. 中国体育代表团在年巴黎奥运会取得优异成绩，下列图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 5. 下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的概念，解决问题的关键是能够正确作三角形一边上的高．从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据概念判断即可． 【详解】解：过点作直线的垂线段，即为边上的高， 画法正确的是C选项， 故选：C． 6. 榫卯结构是我国古代建筑，家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为的长方形木条中（点，，，在同一条直线上）．若，则木楔的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 7. 如图，都是的中线，连接，的面积足，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，两次利用该定理即可求得结果，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故选：B． 8. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 9. 如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点P关于直线L的对称点，连接，交直线l于点M，根据轴对称的性质可证明点M即为水泵站的位置，据此可得答案． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，，将已知数据代入即可求解． 【详解】解：∵沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点E处， ∴，， ∵，，， ∴的周长为 ． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是环己烷的结构简式（正六边形），其内角和为______°． 【答案】720 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解决问题的关键．将代入求解即可； 【详解】由多边形的内角和公式得六边形的内角和为， 故答案为： 12. 若，则_____． 【答案】 8 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则，得， ∵ ，， ∴ ． 故答案为 ：8． 13. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为______ 度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的运用．解题的关键是熟练掌握三角形内角和是和等腰三角形两底角相等． 【详解】解：等腰三角形的一个底角为， 顶角为． 故答案为：． 14. 如图，中，，若沿图中虚线截去，则________． 【答案】##215度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和，掌握多边形内角和是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，再由四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，四边形中，，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线，与相交于点H，则的长为______(用含a的代数式表示)． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查角平分线的画法，平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，根据题意可知，平分，再根据平行线的性质和角平分线的定义推导，即可得解． 【详解】解：根据题意可知，平分，即， ， ， ． 又，， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键． （1）先计算积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知：如图，点E、F在线段上，，，.求证：. 【答案】 证明：， ， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】两边夹角对边对应相等的两个三角形全等，据此利用进行判定即可． 【详解】略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 18. 如图，已知中，，，． （1）画出与关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标； （2）的面积为______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ，， （2）5 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的作图——轴对称变换，熟练掌握坐标系中的轴对称变换是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出与关于x轴对称的图形，再结合图形写出各顶点坐标即可； （2）利用割补法求的面积即可． 【小问1详解】 解：由作图可得，，，． 【小问2详解】 由图可得，的面积． 故答案为：5． 19. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ； （2） 解：由知，，且， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，通过证明是解题的关键． （1）只需证即可； （2）先证，再根据证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，平分，为线段上一点，过作交的延长线于点，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角定理、直角三角形的性质、角平分线的性质．首先根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线定义可知，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可以得到，根据直角三角形两个锐角互余可以求出． 【详解】解：在中，， ， 平分， ， 是的外角， ， ， ， 在中，，， ． 21. 如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 解：，理由如下： ∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先根据条件，得，，进而利用等角的余角相等及对顶角的性质得，从而利用等角对等边即可得出答案； （2）由线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由平分，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 22. 阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数对”． 例如：，所以23和96与32和69都是“倒同数对”． （1）请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由； （2）为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m，个位数字为n，且；另一个数的十位数字为p，个位数字为q，且，请探究m，n，p，q的数量关系，并说明理由； （3）若有一个两位数，十位数字为x，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“倒同数对”，则x的值为______． 【答案】（1） 43和68是“倒同数对”，理由如下： ，， ∴43和68是“倒同数对” （2） ，理由如下： ， ， ， 即 （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“倒同数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． （1）根据定义即可得到答案； （2）根据定义得：，化简得； （3）根据定义列等式，化简解方程可得的x值，从而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题得： 整理得： ， 解得： 故答案为： 23. 【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，E是的中点，若平分，，请你探究的数量关系并证明； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，和的平分线交于点P，M，N为上的点，且P为中点，若，，，求的值． 【答案】 （1）选择小明同学的思路： 在上截取，连接，如下图． ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 选择小强同学的思路： 延长至点E，使，连接，如下图． 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）， 证明：在上截取，连接，如下图． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）选择小明同学的思路：先证明，得到，再证明即可证明结论；选择小强同学的思路：先证明，得到即可证明结论； （2）在上截取，连接，先证明，再证明，得出即可证明结论； （3）在上截取，，连接，结合前面结论证明为等边三角形，得出，即可求出结论； 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）在上截取，，连接，如下图， ∵平分，平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同（1）得，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵P为中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $