精品解析：江苏省泰州市泰兴市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024年秋学期八年级期中学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分． 2.所有试题的答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 3.作图必须用2B铅笔，且加粗加黑． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在，，，中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，根据无理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，属于有理数； ，是开方开不尽的数，属于无理数； 是小数，属于有理数； 综上可知，无理数的个数为1个， 故选：A． 3. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 4. 已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键． 利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴可设，∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 5. 如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； ∵，，， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； 综上所述，点有4个， 故选：D ． 6. 中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理构造全等三角形是解题的关键． 根据题意过点作延长线与点，则，可证，得到，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线与点，则， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若要求的面积，则需要添加的条件是的长度， 故选： ． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 8. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，由于所求无理数大于且小于，则该数的平方大于小于，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】， ， 写出一个大于且小于的无理数是， 故答案为：（答案不唯一） 9. 如果一个正方体的体积扩大到原来的倍，那么它的棱长扩大到原来的_倍． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方体的体积公式：v=a3，再根据因数与积的变化规律，积扩大是倍数等于因数扩大倍数的乘积．据此解答． 【详解】因为4×4×4=64，所以一个正方体的体积扩大到原来的64倍，则棱长扩大到原来的4倍． 故答案为：4． 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的体积公式、积的变化规律． 10. 近似数精确到________位． 【答案】千 【解析】 【分析】用科学记数法表示的近似数的精确度看a的最后一个数在原数中的位置，由的最后一个数为6，在原数中为千位，从而可得答案． 【详解】解：近似数所对应的数为：306000， ∵6对应的是千位， ∴近似数精确到千位， 故答案为：千． 【点睛】本题考查的是近似数的精确度问题，理解科学记数法表示的近似数的精确度是解题的关键． 11. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD＝___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． 【详解】在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝2， ∴CD＝AB＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，准确理解概念是解题关键． 12. 比较大小：__________2(填，，=)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的大小比较，熟悉算术平方根的估算方法是解题的关键．根据被开方数越大，对应的算术平方根也越大，此结论对所有正数都成立，可得，进一步可得． 【详解】， ， ， 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为_____． 【答案】120° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的两底角相等，设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，利用三角形的内角和定理即可求得x的值，进而求得顶角的度数． 【详解】设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意得： x+x+4x=180 解得：x=30． 当x=30时，顶角=4x=4×30°=120°． 故答案为120°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，正确利用方程思想是关键． 14. 如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当为64时，是有理数， 当时，为无理数，输出， 故答案为：． 15. 如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为___． 【答案】36° 【解析】 【分析】根据题意先判断图形的形状，再根据多边形的外角和定理和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由图可知：形成的最中间的图形为正五边形， ∴正五边形的外角和为360°， ∴∠ACB=360°÷5=72°， ∴∠BAC=180°-72°-72°=36° 故答案为：36°． 【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，三角形内角和定理，掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 16. 如图，中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E，若的周长为，面积为84，，，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形判定、角平分线的性质等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． 先运用角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形判定得到，进而得到、，如图：连接，过O作于F，作于G，作于H，根据角平分线的可得，再根据三角形面积和周长求得，最后求的面积即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：连接，过O作于F，作于G，作于H， ∵平分，平分， ∴， ∵的周长为，面积为84， ∴，， ∴，即，解得：， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，求一个数的算术平方根和立方根的运算，零指数幂，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，零指数幂法则运算，最后再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先化简立方根，绝对值，算术平方根，再运用实数的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列各式中的x： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 若的平方根是，的立方根为，c是的整数部分，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算能力，运用平方根和立方根知识进行计算和估算进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴ ∴ 20. 如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接BD， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】如图所示（见详解），连接，根据，可得，再根据，可证，由此即可求证． 【详解】略 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，连接，求证，是等腰三角形，这是解答此题的关键． 21. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、O均为格点．只用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法） （1）连接，则线段的长精确到个位的近似值为______； （2）画出的平分线（其中M为格点）； （3）在射线上找一点P，使． 【答案】（1）3 （2）如图、、皆可； （3） 如图点P即为所求作； 【解析】 【分析】本题考查作图—角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用勾股定理计算即可； （2）连接，取的中点，作射线即可； （3）取格点，，作直线交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：连接， ， ， ， 平分， 同理可证明平分， 【小问3详解】 取格点，，作直线交于点， ， 是线段的垂直平分线， ， 点P即为所求． 22. 已知，如图，在中，点在上，，，垂足分别是点、．结合以上信息，从“①；②；③是的中点”中选择两个作为条件，一个作为结论，得到一个真命题，并加以证明．你选择的条件是　　，结论是　　（请写出序号）． 【答案】 证明：选择的条件是①③，结论是③． ， ， ，， ， ， ， ， 是的中点． 故答案为：①②，③． 【解析】 【分析】由得到，由，得到，又，即可证明，得到． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 23. 如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． （1）若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． （2）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】（1）24米 （2）能 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． （1）先说明，再根据勾股定理求出的长即可； （2）设米，运用勾股定理求得的长，然后与云梯长度的比较即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴． 答：的长为24米． 【小问2详解】 解：设米，则． ∵， ∴能达到． 24. 如图，中，是高，连接，取的中点F、G，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，的长． 【答案】（1） 解：． 理由如下：连接． ∵是高， ∴， 又∵F是的中点， ∴． 同理，， ∴． ∵，G是的中点， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等知识； （1）连接根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用三角形内角和定理可得，同理，从而可得，最后利用平角定义可得从而可得为等边三角形．再利用等边三角形的性质可得，从而可得，再利用垂直定义可得，从而利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵F是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 同理． ∴． ∴． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． ∵G是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25. 【背景介绍】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______； （2）在中，，于点D．设，，． ①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：______； ②用含a，b的代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小； 【知识迁移】 （3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】 （1）（2）①；②中线长为，高线长为，（3）40米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用，解答中涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的运算等．由勾股定理延伸得到结论，并对其进行应用是解决本题的关键． （1）先用割补法求出的面积，再用底×高表示面积，根据双求法列式，即可求出边上的高； （2）①在中，利用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，根据“双求法”列式，化简即可得到关于a，b，m的关系式； ②根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可用含a，b的代数式表示的斜边上的中线，根据①的结论可用含a，b的代数式表示与高线，再根据的变形，即可得到结论； （3）设与墙平行的边长x米，垂直于墙的边长y米，可得所有虚线的和为，根据（2）中得到的结论，可得，整理可得所有虚线和的最小值． 【详解】解：（1）如图，作边上的高， ∵， ， ， ∴， 解得， 故答案为：； （2）①如图， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵斜边长为， ∴斜边上的中线长为，高线长为， ∵， ∴， ∴； 故大小关系为：； （3）设大长方形的长为x米，宽为y米，则小栅栏的总长度为平方米，（平方米）， ∵， ∴， ∴， 答：小栅栏的总长度最少为40米． 26. 如图1，点M、N把线段分割成三条线段，如果以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点． （1）如图1，M、N是线段的勾股分割点，且，，则的长为______； （2）如图2，已知点C是线段上一点，请利用无刻度的直尺和圆规在线段上找一点D，使得点C、D是线段的勾股分割点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图3，中，，折叠，使得点B、C都与A重合，折痕分别为，求证：点E、F是线段的勾股分割点； （4）如图4，中，，D为边上一动点（不与B、C重合），分别作点D关于的对称点E、F，连接交于点G、H．求证：点G、H是线段的勾股分割点． 【答案】（1）或 （2）如图，即为所求； （3） 证明：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点E、F是线段的勾股分割点； （4）证明：如图所示，连接，设交于M，交于N， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴同（3）可得点G、H是线段的勾股分割点． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线和垂线的尺规作图，轴对称和折叠的性质，三角形内角和定理等等： （1）分为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解即可； （2）过点C作，以点C为圆心，的长为半径画弧交于N，作线段的垂直平分线交于D，则即为所求； （3）先求出的度数，由折叠的性质可得，则可求出，在中，由勾股定理得，则， （4）如图所示，连接，设交于M，交于N，利用轴对称的性质和四边形内角和定理求出，再同（3）证明即可． 【小问1详解】 解：当为直角边时，则； 当为斜边时，则； ∴的长为或； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作，以点C为圆心，的长为半径画弧交于N，作线段的垂直平分线交于D，则即为所求； 由作图方法可得，再由勾股定理即可得到； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期八年级期中学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分． 2.所有试题的答案写在答题纸上，写在试卷上无效． 3.作图必须用2B铅笔，且加粗加黑． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 4. 已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 5. 如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 化简：______． 8. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 9. 如果一个正方体的体积扩大到原来的倍，那么它的棱长扩大到原来的_倍． 10. 近似数精确到________位． 11. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝2，则CD＝___________． 12. 比较大小：__________2(填，，=)． 13. 已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为_____． 14. 如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是______． 15. 如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为___． 16. 如图，中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E，若的周长为，面积为84，，，则的面积为______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中的x： （1） （2） 19. 若的平方根是，的立方根为，c是的整数部分，求的值． 20. 如图，在四边形中，，．求证：． 21. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、O均为格点．只用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法） （1）连接，则线段的长精确到个位的近似值为______； （2）画出的平分线（其中M为格点）； （3）在射线上找一点P，使． 22. 已知，如图，在中，点在上，，，垂足分别是点、．结合以上信息，从“①；②；③是的中点”中选择两个作为条件，一个作为结论，得到一个真命题，并加以证明．你选择的条件是　　，结论是　　（请写出序号）． 23. 如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． （1）若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． （2）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 24. 如图，中，是高，连接，取的中点F、G，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，的长． 25. 【背景介绍】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______； （2）在中，，于点D．设，，． ①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：______； ②用含a，b的代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小； 【知识迁移】 （3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 26. 如图1，点M、N把线段分割成三条线段，如果以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点． （1）如图1，M、N是线段的勾股分割点，且，，则的长为______； （2）如图2，已知点C是线段上一点，请利用无刻度的直尺和圆规在线段上找一点D，使得点C、D是线段的勾股分割点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）如图3，中，，折叠，使得点B、C都与A重合，折痕分别为，求证：点E、F是线段的勾股分割点； （4）如图4，中，，D为边上一动点（不与B、C重合），分别作点D关于的对称点E、F，连接交于点G、H．求证：点G、H是线段的勾股分割点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $