精品解析：湖南省永州市新田县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024年下期期中质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，25个小题，如有缺页，考生须声明． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①②③④ 2. 下列各式中，变形正确的是（        ） A. B. C. D. 3. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（ ） A. 5 B. 10 C. 8 D. 6 8. 若，，，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 0或3 10. 设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 12. 分式与的最简公分母是______． 13. 如图，若，且，，则_______________ 14. 计算的结果是__ 15. 如图，是的中线，是的中线，如果，则______． 16. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为______． 17. 目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小琼步行12000步与小博步行9000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，则小博每消耗1千卡能量需要行走________步． 18. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有_________（填序号）． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 解方程：． 20. 如图，已知A、B、C、D在同一直线上，，，且， 求证：． 21. 【新情境】 数学课上，老师给出题目：先化简，然后从中选出合适的整数作为x的值代入求值．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式： … 解：原式： … （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 22. 如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． （1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； （2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 23. 《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案： 项目情景 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ； 小组成员乙设 ② ，由题意得方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求的值 （1）任务一中横线①处应填________，横线②处应填________． （2）完成任务二． 24. 如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F，． （1）若，求点O到的距离； （2）若，求的周长． 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 26. 阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质． 【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期中质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，25个小题，如有缺页，考生须声明． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意是常数不是字母． 【详解】解：①，③是分式，②，④不是分式， 故选：C． 2. 下列各式中，变形正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，分子、分母乘的数不是同一个，故该选项不正确，不符合题意； C、 ，由于，分子、分母同时除以，故该选项正确，符合题意； D、，当时成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，直接根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解： 故选 D． 4. 下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 5. 是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键． 【详解】解：将用科学记数法表示应为， 故选：A． 6. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、合并同类项、积的乘方、完全平方式等知识点进行判断． 本题主要考查了负整数指数幂、合并同类项、幂的乘方与积的乘方和完全平方式等知识点，基础题，需要同学牢固掌握． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、和不是同类项不能合并，故选项错误，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 故选：C 7. 如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（ ） A. 5 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题的关键．连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 8. 若，，，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的运算法则． 根据整数指数幂的运算法则分别求出、、、，再进行比较即可求解． 【详解】， ， ， ， ， 即． 故选：． 9. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：分式方程， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 10. 设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【详解】解：在图①中，连接， ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、， 则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故选：D 【点睛】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 【答案】 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 12. 分式与的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求最简公分母的方法求解即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】与的最简公分母是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法． 13. 如图，若，且，，则_______________ 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．先利用三角形的内角和定理求解，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 计算的结果是__ 【答案】﹣ 【解析】 【分析】首先通分，然后进行分式的减法运算即可求解. 【详解】解： = =﹣ 故答案为﹣. 【点睛】本题主要考查分式的运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 15. 如图，是的中线，是的中线，如果，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】直接根据三角形的中线的性质求解即可得． 【详解】解：是的中线，， ， 又是的中线， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质是解题关键． 16. 如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则．由题意可得，，则的周长为求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∵的周长为24，， ∴． ∴的周长为． 故答案为：15． 17. 目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小琼步行12000步与小博步行9000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，则小博每消耗1千卡能量需要行走________步． 【答案】30 【解析】 【详解】【分析】设小博每消耗1千卡能量需要行走x步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步，根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数结合小琼步行12000步与小博步行9000步消耗的能量相同，即可得出关于x的分式方程，求出解后进行检验即可得出结论. 【详解】设小博每消耗1千卡能量需要行走x步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步， 根据题意，得， 解得 x=30， 经检验，x=30是原方程的根， 所以小博每消耗1千卡能量需要行走30步， 故答案为30. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，根据题意找出等量关系列出方程求解是关键. 18. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有_________（填序号）． 【答案】②③④⑥ 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， 故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出， 故⑤错误； F不一定是的中点， 不能得出， 故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑦错误； ，， ， ， 故⑥正确； 综上可知，正确的有②③④⑥， 故答案为：②③④⑥． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据分式方程的运算法则求解即可． 【详解】 解：变形为： 所有项同乘可得： 移项合并同类项可得： 系数化为可得：； 检验：把代入可得：； ∴经检验是原方程的解． 20. 如图，已知A、B、C、D在同一直线上，，，且， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由平行线的性质可得出，然后用证明三角形全等即可． 【详解】略 21. 【新情境】 数学课上，老师给出题目：先化简，然后从中选出合适的整数作为x的值代入求值．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式： … 解：原式： … （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2） 解：选甲同学的解法： 原式 ， 若使分式有意义，x不能取，0，2，因为从中选出合适的整数作为x的值， ∴， ∴原式， 选乙同学的解法： 原式 ； 若使分式有意义，x不能取，0，2，因为从中选出合适的整数作为x的值， ∴， ∴原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的基本性质，乘法分配律，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质和乘法分配律即可求解； （2）根据分式的加法法则和乘法法则可以化简题目中的式子，然后从中，选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【小问1详解】 解：根据题意可知，甲同学解法的依据是②，乙同学解法的依据是③， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 22. 如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． （1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； （2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】（1） 解：①已知：，，，求证； ②已知：，，，求证； （2） 解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案： 项目情景 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ； 小组成员乙设 ② ，由题意得方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求的值 （1）任务一中横线①处应填________，横线②处应填________． （2）完成任务二． 【答案】（1），种花卉的单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）①由题意，可知：用600元购买的种花卉数量为，根据每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，列出方程即可； ②根据方程可知，等量关系为：600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍，故乙设的是种花卉的单价； （2）根据完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：； ∵表示600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍， ∴乙设的是种花卉的单价为元； 故答案为：；种花卉的单价为元； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 24. 如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F，． （1）若，求点O到的距离； （2）若，求的周长． 【答案】（1）1 （2）18 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的对称性，等边三角形的判定与性质以及利用轴对称求最短距离，解题关键是掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质． （1）由题意可知共线，则是的对称轴，由对称性即可求解； （2）由题意可知平分，可判断是等边三角形，再求解即可． 【小问1详解】 解：是的中点， 共线， 所在直线是的对称轴， ， 点O到的距离为1， 故答案为：1； 【小问2详解】 是的中点，， ， 平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 的周长为． 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）②③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义逐个分析即可得解； （2）根据题意结合“和谐分式”的定义计算即可得解； （3）先化简，再结合分式有意义的条件即可得解． 【小问1详解】 解：，， 故属于“和谐分式”的是②③； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 26. 阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质． 【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里． 【答案】【问题背景】 【初步探索】； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】 【解析】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示， ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】略 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点， 根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $