精品解析：黑龙江省双鸭山市集贤县2024—2025学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试题 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共10题每题3分） 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ） A. B. 或 C. D. 4. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 6. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转60°得到，边与平行，则的度数为（ ） A. 28° B. 30° C. 32° D. 38° 9. 九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共10题每题3分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 13. 如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为___________度． 14. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是______． 15. 如图，已知点在抛物线上，当时，x的取值范围是___________． 16. 点A的坐标为（－3，4），把点A绕着坐标原点逆时针旋转90º到点B，那么点B的坐标是________. 17. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 18. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的根为_____． 19. 如图，在等腰直角三角形△ABC中，∠C=90°，AC=cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC=_____________cm． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 三、解答题（共8题） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出向左平移4个单位所得的； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的（点、分别对应点、）； （3）将（1）中所得的绕点顺时针旋转度可以得到（2）中的（点、、分别对应点、、），则旋转中心的坐标是 ，旋转角是 °． 23. 已知：抛物线经过点，与轴交于点 （1）求抛物线的解析式； （2）是轴上一点，且是等腰三角形，直接写出点的坐标． 24. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0． （1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长． 25. 如图，已知正方形的边长为，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接、． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大？请说明理由． 26. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？ 27. 某市照明公司减少白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个10元，某商场试销发现：销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个． （1）求出每月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围． （2）设该商场每月销售这种节能灯获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯300个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？ 28. 问题：如图①，点分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． （1）【发现证明】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现． （2）【类比引申】 如图②，在四边形中，，，，点，分别在边上，则当与满足______关系时，仍有，请说明理由； （3）【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知，，，，道路上分别有景点，且，，现要在之间修一条笔直的道路，这条道路的长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试题 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共10题每题3分） 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断． 【详解】A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合． 2. 下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根． 【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3， ∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0， ∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 3. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，且，再求解关于m的方程即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴，且， 解得：； 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题的关键，注意在求出m的值后，还要使方程的二次项系数不为0. 4. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 5. 已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】D 【解析】 【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1， ∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， ∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 6. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 7. 将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积. 【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB， 如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键． 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转60°得到，边与平行，则的度数为（ ） A. 28° B. 30° C. 32° D. 38° 【答案】A 【解析】 【分析】先利用旋转的性质得到∠BAB'=60°，再求出∠B′AC的度数，然后根据∥得到∠B′的度数，于是可解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°，对应得到△AB′C′， ∴∠BAB'=60°，=∠B′ ∵∠BAC=32°， ∴∠B′AC =60°-32°=28°． ∵∥， ∴∠B′=∠B′AC =28°， ∴=∠B′=28°. 故选：A. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 9. 九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准等量关系是解题的关键．设每月增长率为x，根据快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件，列方程即可． 【详解】解：设每月增长率为x， 根据题意：． 故选：C． 10. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可，熟练掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，①正确； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴，③错误； ∵时，， ∴，④正确； 根据抛物线的对称性可知，当时，， ∴，⑤正确， ∴正确的有①②④⑤共4个， 故选：D． 二、填空题（共10题每题3分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标． 【详解】解：∵两点关于原点对称， ∴这两点对应的横、纵坐标均互为相反数 ∴点关于原点对称的点的坐标是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数． 12. 设是方程 的两个根，且－＝1,则m=_______. 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3. 13. 如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质和旋转的性质求出，，求出，根据三角形内角和求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将在平面内绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． ∴旋转角的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键． 14. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系：，则小球飞行最大高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】且， 当时，取最大值． 故答案为：． 15. 如图，已知点在抛物线上，当时，x的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将代入求出m的值，再令，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x的取值范围． 【详解】解：点在抛物线上， ， 令， 则，即， 解得，， 抛物线开口向上， 当即时，x的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想． 16. 点A的坐标为（－3，4），把点A绕着坐标原点逆时针旋转90º到点B，那么点B的坐标是________. 【答案】(-4,-3) 【解析】 【分析】如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．证明△AOE≌△OBF（AAS），推出OF=AE=4，BF=OE=3即可解决问题． 【详解】解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F． ∵A（-3，4）， ∴AE=4，OE=3， ∵∠AOE+∠BOF=90°，∠BOF+∠B=90°， ∴∠AOE=∠B， ∵∠AEO=∠FBO=90°，OA=OB， ∴△AOE≌△BOF（AAS）， ∴OF=AE=4，BF=OE=3， ∴B（-4，-3）， 故答案为（-4，-3）． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：图形或点旋转之后，要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 17. 若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是_____________° 【答案】m＞9 【解析】 【分析】 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴∆＜0，即， 解得. 故答案为m＞9． 18. 二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的根为_____． 【答案】x1＝1，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和函数的图象，可以得到该函数图象与x轴的另一个交点，从而可以得到一元二次方程-x2+bx+c=0的解，本题得以解决． 【详解】由图象可得， 抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， 即当y＝0时，0＝﹣x2+bx+c，此时方程的解是x1＝1，x2＝﹣3， 故答案为：x1＝1，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 19. 如图，在等腰直角三角形△ABC中，∠C=90°，AC=cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC=_____________cm． 【答案】## 【解析】 【分析】连接CE，延长DC交AB于H，先证明CH⊥AB，由直角三角形的性质可求解． 【详解】如图，连接CE，延长DC交AB于H， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE， ∴∠ABD＝∠CBE＝60°，BC＝BE＝AC＝DE，∠ACB＝∠DEB＝90°， ∴△BCE是等边三角形，∠EDB＝45°， ∴CE＝BC，∠CEB＝60°， ∴CE＝DE，∠DEC＝30°， ∴∠EDC＝∠ECD＝75°， ∴∠BDH＝∠EDC−∠EDB＝30°， ∵∠BDH＋∠DBA＝90°， ∴CH⊥AB， 又∵∠ACB＝90°，BC＝AC＝2 cm， ∴AB＝AC＝4（cm），CH＝AH＝BH＝2（cm）， ∵CH⊥AB，BH＝2cm，∠BDH＝30°， ∴BD=2BH=4cm，DH=（cm）， ∴DC＝DH−CH＝（2−2）（cm）， 故答案为：2−2． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 三、解答题（共8题） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键． （1）运用公式法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ，，，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项得， 因式分解得， ∴或， ∴，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出向左平移4个单位所得的； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的（点、分别对应点、）； （3）将（1）中所得的绕点顺时针旋转度可以得到（2）中的（点、、分别对应点、、），则旋转中心的坐标是 ，旋转角是 °． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 如图，即为所作， （3），90 【解析】 【分析】本题考查平移变换和旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形. （1）根据平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）根据旋转变换的性质分别作出A，C的对应点即可； （3）找出旋转中心点P即可解答问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点P即为旋转中心， 旋转中心的坐标是，旋转角是， 故答案为：，90． 23. 已知：抛物线经过点，与轴交于点 （1）求抛物线的解析式； （2）是轴上一点，且是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理的应用； （1）将，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）分两种情形讨论，①若，②若，即可求解． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点，与轴交于点， 得： 解得 抛物线的解析式： 【小问2详解】 ∵在轴，设 ∵， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形，分类讨论： ①当时， 解得：或（舍去） ②当时， 解得：或 ③当时， 解得： 综上所述：的坐标为或或或． 24. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0． （1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长． 【答案】（1） ∵△=（k+3）2-12k=（k-3）2≥0， ∴不论k取何实数，方程总有实根； （2）8或7． 【解析】 【详解】（1）求出根的判别式，利用偶乘方的非负数证明； （2）分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答. 证明：（1）略 （2）当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根， 则（k-3）2=0， 解得k=3， 方程x2-6x+9=0， 解得x1=x2=3， 故三角形ABC的周长为：2+3+3=8； 当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2， 方程为x2-5x+6=0， 解得x1=2，x2=3， 故△ABC的周长为：2+2+3=7. 故答案为7或8. “点睛”本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍． 25. 如图，已知正方形的边长为，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接、． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大？请说明理由． 【答案】（1） 证明：绕点顺时针旋转至的位置， ，， ∵正方形， ，， ， 即， ∴在与中， ， ∴； （2） ，理由如下： 在正方形中，， 由（1）知， ，， 设， ∵正方形的边长为， ∴， ， ， 当，的面积最大， 即当时，的面积最大． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的性质，利用二次函数的最值求解是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，，可得，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？ 【答案】（1）围成矩形长为30m，宽为25 m时，能使矩形面积为750㎡． （2）不能．理由如下： 由得． ∵， ∴方程没有实数根． ∴不能使所围矩形场地的面积为810m2． 【解析】 【分析】（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解； （2）假使矩形面积为810米，则方程无实数根，所以不能围成矩形场地． 【详解】解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米． 依题意，得，即. 解此方程，得x1=30，x2=50. ∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去． 当x=30时，. 答：当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2． （2）略 【点睛】本题考查：1.一元二次方程的应用（几何问题）；2. 矩形的性质；3.一元二次方程根的判别式. 27. 某市照明公司减少白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个10元，某商场试销发现：销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个． （1）求出每月销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围． （2）设该商场每月销售这种节能灯获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯300个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？ 【答案】（1），自变量的取值范围 （2）当定价定为30元时，每月可获得最大利润4000元 （3）当定价为25元每个时，商场每月可获得最大利润3750元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元一次不等式知识点， （1）首先表示出销售单价x元时涨价元，每涨价1元，每月少卖10个，则少买，表示出y，进而求出自变量的取值范围即可； （2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润； （3）由每月商场最多可销售这种节能灯300个可得，又因为销售单价不得高于25元可得x取值范围，根据二次函数的性质得最值． 解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 【小问1详解】 ∵销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个， ∴ ∵， ∴， ∴自变量的取值范围； 【小问2详解】 依题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值， 答：当定价定为30元时，每月可获得最大利润4000元； 【小问3详解】 依题意得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∵，当0时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值（元）， 答：当定价为25元每个时，商场每月可获得最大利润3750元． 28. 问题：如图①，点分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． （1）【发现证明】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现． （2）【类比引申】 如图②，在四边形中，，，，点，分别在边上，则当与满足______关系时，仍有，请说明理由； （3）【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知，，，，道路上分别有景点，且，，现要在之间修一条笔直的道路，这条道路的长______． 【答案】（1） 证明：如图（），在正方形中，； 由旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2） 当时，仍有，理由如下： 如图（），延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 故答案是：； （3） 【解析】 【分析】）由旋转的性质可得，得到，，，进而得到，即得到，得到，据此得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明，得到，，再根据，可得，进而证明，即得到； （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据（）结论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到，， ∵， ∴，即点在的延长线上， 在中，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴根据（）结论有， 即这条道路的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，正确作出辅助线并证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $