专题1.5（1） 有理数（全章知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

专题1.5（1） 有理数（全章知识梳理与题型分类讲解） 一、【目标要点】 （1） 深化有理数概念理解：能清晰阐述有理数的定义，精准识别整数、分数、正有理数、负有理数、零在有理数体系中的归属； （2） 强化数轴运用能力：熟练绘制数轴，明确数轴三要素（原点、正方向、单位长度）的重要性，能准确在数轴上表示各类有理数； （3） 体会数学思想方法：在有理数的学习过程中，深刻体会数形结合思想，借助数轴这一 “形” 来理解有理数及其相关概念、运算等 “数” 的内容，使抽象知识形象化. 二、【知识储备与题型展示】 【知识储备1】正数和负数 1.正负数概念：比 0 大的数是正数;比 0 小的数是负数； 0 既不是正数，也不是负数. 2.具有相反意义的量：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量；它具有两重含义：一是意义相反，二是都是数量，而且是同类的量. 【题型一】正负数的意义 【例题1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的意义，正确理解题意是解题的关键． 根据相反意义的量，正负数的定义即可作出判断． 解：为了表示具有相反意义的量，我们又引进了负数， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 【答案】水面低于标准水位高度为 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量即可解答． 解：某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位高度为． 故答案为：水面低于标准水位高度为． 【点拨】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量用正数和负数表示是解答本题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 【答案】 【分析】根据正负数的意义可得达标的有人，然后计算即可． 解：由题意得：：，，，，，，，中，小于等于0的有6个，即达标的有6人， 则这个小组的达标率是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键． 【知识储备2】有理数 1.有理数概念：整数和分数统称有理数. 2.有理数的分类 【题型二】有理数的定义 【例题2】（24-25七年级上·四川自贡·期中）最大的负整数是 ；最小的自然数是 ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了有理数，根据有理数的分类和性质逐项分析即可； 解：最大的负整数为，最小的自然数为． 故答案为 【变式1】（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）下列有理数中，，0，，，，，非负整数有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的分类，化简多重符合和求一个数的绝对值，先化简多重符号和计算绝对值，再根据非负整数是大于等于0的整数进行求解即可． 解：，， 在有理数，0，，，，中，非负整数有0，，共2个， 故答案为：2． 【变式2】（24-25七年级上·广东河源·期中）在，，中，有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数“整数和分数统称为有理数”，熟记有理数的定义是解题关键．根据有理数的定义求解即可得． 解：和都是无限不循环小数，不是有理数， 不是有理数， 是分数，是有理数， 故答案为：． 【题型三】有理数的分类 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．整数就是正整数和负整数 B．都是非负数 C．分数包括正分数、负分数和0 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据整数和分数统称为有理数，整数分为正整数，负整数和零，进行解答即可． 解：A．整数包括正整数、0和负整数，故该选项说法错误； B．不是非负数，故该选项说法错误； C．0不是分数，故该选项说法错误； D．整数和分数统称为有理数，故该选项说法正确． 故选：D． 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期末）把下列各数填在相应的大括号里： ，，0.275，，0，，，，． 正整数集合{                   } 整数集合{                  } 非负数集合{                  } 正分数集合{                      }． 【答案】，；，，0，；，，0.275，0，，；，0.275， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正确对各数进行分类是解决此题的关键．根据有理数的定义分类即可． 解：，， 正整数集合{，，     …}； 整数集合{，，0，，     …}； 非负数集合{，，0.275，0，，，    …}； 正分数集合{，0.275，    …}； 故答案为：，；，，0，；，，0.275，0，，；，0.275，． 【知识储备3】数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴. 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素. 【题型四】数轴的三要素 【例题4】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； B．没有原点，故此选项错误，不符合题意； C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【答案】C 【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断． 解：A.小明所在的位置表示数，故此项结论正确； B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确； C.小刚所在的之位置对应的数在与之间，而在与之间，故此项结论错误； D.小颖和小红间的距离为，故此项结论正确； 故选：C． 【点拨】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键． 【变式2】下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴 ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 ③有理数数轴上无法表示出来 ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点可以表示两个不同的有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 【点拨】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 【题型五】用数轴上的点表示有理数 【例题5】（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点． 【答案】见分析 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、化简多重符号、绝对值的性质，熟练掌握用在数轴上表示有理数的方法是解题的关键．先根据化简多重符号的方法和绝对值的性质进行化简，进而在数轴上表示即可． 解：， 如图，在数轴上表示各数如下： 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，直接利用数轴的性质分别分析得出答案即可． 解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，说法正确，故选项A不合题意； B、在数轴上表示3和的两个点之间的距离是，说法正确，故选项B不合题意； C、数轴上存在可以表示的点，故原说法正确，选项C不合题意； D、可以表示正数，因此数轴上表示的点不一定在原点的左边，说法错误，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）数轴上有A，B，C三点，A，B两点所表示的数如图所示，若，则 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是确定C点所表示的数，注意分类思想的应用．分两种情况得到C点所表示的数，再求． 解：∵点B表示的数为5，， ∴或， ∴C点表示的数为2或8， ∵点A表示的数为， ∴或． 故答案为：1或7． 【题型六】数轴上点的平移（动点问题） 【例题6】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）如图，点A表示的数是． （1）在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； （2）将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 【答案】（1）数轴见分析，2；（2）数轴见分析， 【分析】本题考查数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算． （1）根据题意画出数轴，再根据点到原点的距离的定义可得B点表示的数． （2）根据题意画出数轴，根据点到原点的距离的定义得C点表示的数． 解：（1）如图所示， B点表示的数为2． （2）如图所示， C点表示的数为． 【变式1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的平移，以及利用数轴表示有理数，根据图像得到点表示的数，再结合题意得到点所表示的数，即可解题． 解：由图知点表示的数为， 将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移2个单位长度，经过4次移动后，动点落在表示数4的点上，则动点的不同运动方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】根据数轴的特点找出几种不同的路线即可．本题考查的是数轴，熟知有理数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键． 解：动点的运动方案有： ； ； ； ；共4种． 故选：C 【知识储备4】相反数 1.代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数； 2.几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，这两点关于原点对称; 3.相反数的数学表达：若两个有理数a和b互为相反数，则一定有a+b=0; 反之，若两个有理数相加等于零，即a+b=0，则a和b互为相反数; 相反数等于本身的数只有 0. 4.多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个，化简结果为正；若有奇数个，化简结果为负。可总结为：“+” 的个数不影响化简结果，可以直接省略，一个正数前面有偶数个 “-”，结果为正，有奇数个 “-”，结果为负。 【题型七】求一个数的相反数 【例题7】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 根据相反数的定义，的相反数是，即可求解． 解：的相反数是， 故答案为：D 【变式1】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）若数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离为，则这两个点表示的数分别是 和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，数轴上两点之间的距离等知识储备，熟练掌握相反数的定义及数形结合思想是解题的关键． 因为数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，则、分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等，又知这两点间的距离是，因而它们到原点的距离为，于是得解． 解：数轴上的点和点表示的两个数互为相反数， 、分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等， 这两点间的距离是， 它们到原点的距离为， 这两个点表示的数分别是和， 故答案为：，． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上的一个单位长度表示2，请回答问题： （1）若点A与点D表示的数互为相反数，则点D表示的数是多少？ （2）若点B与点F表示的数互为相反数，则点D表示的数的相反数是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查的是数轴和相反数的定义； （1）由数轴发现点和点的距离是，若点A与点D表示的数互为相反数，则点A与点D表示的数到原点距离相等求解即可； （2）先由点B与点F表示的数互为相反数求出点表示的数字为，再由平移得到D所表示的数，即可求解． 解：（1）解：由数轴发现点和点的距离是， 若点A与点D表示的数互为相反数，则点A与点D表示的数到原点距离相等，为， ∴点D表示的数字为． （2）解：由数轴发现点和点的距离是， 若点B与点F表示的数互为相反数，则点B与点表示的数到原点距离相等，为， ∴点表示的数字为， ∴点向左移动2格4个单位长度得到点，则点D表示的数字为， ∴点D表示的数的相反数是． 【题型八】利用相反数的代数意义化简多重符号 【例题8】（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列各式的符号： （1）； （2）； （3）； （4）． 化简结果的符号与原式中的“”的个数有什么关系？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2024；见分析 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数化简求解即可． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 当原式中“”的个数是奇数时，化简结果为负数，当原式中“”的个数是偶数时，化简结果为正数． 【变式1】（2025·福建三明·一模）在，0，，这四个数中，负数的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了负数“负数就是小于0的（实数）”，化简多重符号，熟练掌握负数的定义是解题关键．先化简多重符号，再根据负数的定义即可得． 解：是负数， 0既不是正数，也不是负数， ，是负数， ，是正数， 综上，负数的个数是2个， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）的相反数是 ，的相反数是 ； 【答案】 2 【分析】本题考查的是相反数的定义．由“仅仅只有符号不同的两个数互为相反数”可得和的相反数． 解：，的相反数是2； ，2的相反数是； 故答案为：2；． 【题型九】数轴与相反数综合问题 【例题9】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． （1）指出数的正负性； （2）在数轴上标出的相反数的对应点的位置； （3）若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】（1）为负数，为正数；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 解：（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 【变式1】（24-25七年级上·广西柳州·期末）如图为、、、四点在数轴上的位置图，其中为原点，且，若点所表示的数为，点与点表示的数互为相反数，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上表示的数，相反数， 先根据点A与点B的关系，及点B表示的数可得点A表示的数，再根据可得答案． 解：∵点A与点B表示的数互为相反数，且点B表示的数是x， ∴点A表示的数是． ∵， ∴点C表示的数是． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在一个不完整的数轴上有三个点，数轴的单位长度为1．若点表示的数互为相反数，则图中点表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是相反数在数轴上的位置，根据给出的条件可求得原点的位置，然后求C表示的数即可． 解：∵点表示的数互为相反数， ∴原点在图中所示位置： ∴点表示的数． 故答案为：． 【知识储备5】绝对值 1.绝对值概念：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 2.绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 3.绝对值性质 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； 【题型十】求一个数的绝对值 【例题10】（23-24七年级上·全国·课后作业）完成下列各题 （1）利用数轴求下列各数的绝对值： ． （2）当a是正数或0时， ﹔当a是负数时， ． 【答案】（1），，，0；（2） 【分析】（1）数轴表示各数，计算到原点的距离，得到绝对值即可． （2）根据绝对值的意义，解答即可． 本题考查了绝对值的定义，意义，熟练掌握绝对值的定义和意义是解题的关键． 解：（1）解：根据题意，得到原点的距离为2个单位长度，故， 到原点的距离为个单位长度，故， 到原点的距离为个单位长度，故， 0到原点的距离为0个单位长度，故，数轴表示如下： ． （2）解：根据题意，得当a是正数或0时，﹔当a是负数时，， 故答案为：a，． 【变式1】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质计算即可判断求解，掌握绝对值是性质是解题的关键． 解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式2】（23-24七年级上·湖北·周测）若，则 ． 【答案】 【分析】先去括号得到，根据绝对值等于一个正数的数有两个，直接利用绝对值得性质得出结果． 解：， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了绝对值的求解，绝对值得意义，去括号得法则，熟练掌握绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于的数有一个，没有绝对值等于负数的数，是解答本题的关键． 【题型十一】绝对值的几何意义 【例题11】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， （1）若与互为相反数，则______； （2）若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 【答案】（1）；（2）小于；与 【分析】本题考查了数轴，相反数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识并数形结合． （1）根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； （2）根据绝对值、相反数的定义，即可求解． 解：（1）解：数轴上每一小段的长度为，与互为相反数， 在数轴上表示，在数轴上表示， ， 故答案为：； （2）， 小于， 、、、中，可能互为相反数的是与， 故答案为：小于；与． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据数轴找到原点的位置是解题的关键．根据题意可知点和点的中点为原点，再结合数轴得到点和点的距离为8，得到点和点分别表示的数，即可求出点表示的数． 解：点和点表示的两个数的绝对值相等， 点和点的中点为原点，原点表示的数为0， 由数轴可知，点和点的距离为8， 点表示的数是，点表示的数是4， 由数轴可知，点在点右边，且与点距离1个单位长度， 点表示的数是． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算及意义，先由，得到，结合绝对值意义即可得到答案，熟记绝对值运算及意义是解决问题的关键． 解：，， ， ， 故答案为：． 【题型十二】绝对值的非负性 【例题12】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）在数，，，，中，最大的数是，绝对值最小的数是． （1）求，的值． （2）若，求和的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（）把有理数在数轴上表示出来，根据数轴即绝对值的意义即可求出的值； （）根据非负数的性质可得，，结合（）所得的值计算即可求解； 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，绝对值的非负数，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 解：（1）解：有理数在数轴上表示如下： ∴，， ∴最大的数是，绝对值最小的数， ∴，； （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，． 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的非负性，得到，即可得出结果． 解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【知识储备6】有理数的大小比较 1.借助数轴比较：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 2.运用法则比较： （1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。 （2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 （3）正数的绝对值越大，这个数越大。 【题型十三】利用数轴比较有理数的大小 【例题13】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知a，b为有理数，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】见分析 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握利用数轴进行有理数的大小比较是解题关键．分、和三种情况，将在数轴上表示出来，根据数轴的性质即可得． 解：当时，将在数轴上表示出来如下： 则； 当时，； 当时，将在数轴上表示出来如下： 则． 【变式1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点表示数，相反数的意义，利用数轴比较大小．先在数轴上表示出，，然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可． 解：将，在数轴上表示出来，如图， ， ∴由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 解：由数轴图可知，，， ，． 正确，错误， 错误， 错误， ．正确的是 故答案为∶ 【题型十四】利用“两个负数相比较绝对值大的反而小”比较有理数的大小 【例题14】（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各组数的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可； （2）先化简，再根据正数大于负数即可得出比较结果； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可； （4）先化简这两个数，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 解：（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 又∵， ∴； （4）解：，， ∵，， 又∵， ∴， 即． 【变式1】（24-25六年级上·山东东营·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．首先要化简后才能比较大小．根据有理数大小比较的方法求解． 解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值和多重符号、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．先化简绝对值和多重符号，再根据有理数的大小比较法则即可得． 解：∵，， ∴， 故答案为：． 【题型十五】直通中考 【例题1】（2025·江苏扬州·中考真题）下列温度中，比低的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比小的数即可． 解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知， 所以比低的温度是． 故选：． 【例题2】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 【题型十六】拓展延伸 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．若为有理数，则必有 B．比正数小的数只有负数 C．有最大的负整数和最小的正整数 D．一个有理数所对应的点离原点越远，它越大 【答案】C 【分析】本题考查有理数，绝对值的意义，解题的关键是掌握正数、负数、整数及绝对值的意义．据此解答即可． 解：A．当为负数时，，原说法错误，故此选项不符合题意； B．比正数小的数是负数和0，原说法错误，故此选项不符合题意； C．最大的负整数是，最小的正整数是1，原说法正确，故此选项符合题意； D．一个有理数所对应的点离原点越远，它的绝对值越大，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【例题2】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，解答下列问题： （1）写出点A， B， C， D， E分别表示什么数？ （2）写出其中哪些数是互为相反数？ 并说明它们到原点的距离有什么关系？ 【答案】（1）点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；（2）点表示的数和点表示的数，互为相反数，它们到原点距离相等． 【分析】本题主要考查了数轴表示数，相反数等知识储备， （1）根据数轴的位置解答即可； （2）找到在原点两侧且到原点的距离相等的点表示的数即可解答； 熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 解：（1）解：由数轴知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为； （2）解：由（1）知，点表示的数和点表示的数，互为相反数， 由数轴知，它们到原点距离相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5（1） 有理数（全章知识梳理与题型分类讲解） 一、【目标要点】 （1） 深化有理数概念理解：能清晰阐述有理数的定义，精准识别整数、分数、正有理数、负有理数、零在有理数体系中的归属； （2） 强化数轴运用能力：熟练绘制数轴，明确数轴三要素（原点、正方向、单位长度）的重要性，能准确在数轴上表示各类有理数； （3） 体会数学思想方法：在有理数的学习过程中，深刻体会数形结合思想，借助数轴这一 “形” 来理解有理数及其相关概念、运算等 “数” 的内容，使抽象知识形象化. 二、【知识储备与题型展示】 【知识储备1】正数和负数 1.正负数概念：比 0 大的数是正数;比 0 小的数是负数； 0 既不是正数，也不是负数. 2.具有相反意义的量：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量；它具有两重含义：一是意义相反，二是都是数量，而且是同类的量. 【题型一】正负数的意义 【例题1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 【变式1】（23-24七年级上·河北沧州·阶段练习）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示 ． 【变式2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为 【知识储备2】有理数 1.有理数概念：整数和分数统称有理数. 2.有理数的分类 【题型二】有理数的定义 【例题2】（24-25七年级上·四川自贡·期中）最大的负整数是 ；最小的自然数是 ． 【变式1】（24-25七年级上·湖南岳阳·阶段练习）下列有理数中，，0，，，，，非负整数有 个． 【变式2】（24-25七年级上·广东河源·期中）在，，中，有理数是 ． 【题型三】有理数的分类 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．整数就是正整数和负整数 B．都是非负数 C．分数包括正分数、负分数和0 D．整数和分数统称为有理数 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期末）把下列各数填在相应的大括号里： ，，0.275，，0，，，，． 正整数集合{                   } 整数集合{                  } 非负数集合{                  } 正分数集合{                      }． 【知识储备3】数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴. 2.数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素. 【题型四】数轴的三要素 【例题4】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【变式2】下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴 ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 ③有理数数轴上无法表示出来 ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④ 【题型五】用数轴上的点表示有理数 【例题5】（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【变式2】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）数轴上有A，B，C三点，A，B两点所表示的数如图所示，若，则 ． 【题型六】数轴上点的平移（动点问题） 【例题6】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）如图，点A表示的数是． （1）在数轴上标出原点O，点B表示的数是_____； （2）将点向左移动3个单位长度到点，请在图中标出点表示的数． 【变式1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）在数轴上点如图所示，将点在数轴上右移7个单位到达点，则点所表示的数为（   ） A．7 B．2 C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，每次向正方向或负方向移2个单位长度，经过4次移动后，动点落在表示数4的点上，则动点的不同运动方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【知识储备4】相反数 1.代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数； 2.几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，这两点关于原点对称; 3.相反数的数学表达：若两个有理数a和b互为相反数，则一定有a+b=0; 反之，若两个有理数相加等于零，即a+b=0，则a和b互为相反数; 相反数等于本身的数只有 0. 4.多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个，化简结果为正；若有奇数个，化简结果为负。可总结为：“+” 的个数不影响化简结果，可以直接省略，一个正数前面有偶数个 “-”，结果为正，有奇数个 “-”，结果为负。 【题型七】求一个数的相反数 【例题7】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）若数轴上的点和点表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离为，则这两个点表示的数分别是 和 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上的一个单位长度表示2，请回答问题： （1）若点A与点D表示的数互为相反数，则点D表示的数是多少？ （2）若点B与点F表示的数互为相反数，则点D表示的数的相反数是多少？ 【题型八】利用相反数的代数意义化简多重符号 【例题8】（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列各式的符号： （1）； （2）； （3）； （4）． 化简结果的符号与原式中的“”的个数有什么关系？ 【变式1】（2025·福建三明·一模）在，0，，这四个数中，负数的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）的相反数是 ，的相反数是 ； 【题型九】数轴与相反数综合问题 【例题9】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． （1）指出数的正负性； （2）在数轴上标出的相反数的对应点的位置； （3）若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【变式1】（24-25七年级上·广西柳州·期末）如图为、、、四点在数轴上的位置图，其中为原点，且，若点所表示的数为，点与点表示的数互为相反数，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在一个不完整的数轴上有三个点，数轴的单位长度为1．若点表示的数互为相反数，则图中点表示的数是 ． 【知识储备5】绝对值 1.绝对值概念：一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 2.绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 3.绝对值性质 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； 【题型十】求一个数的绝对值 【例题10】（23-24七年级上·全国·课后作业）完成下列各题 （1）利用数轴求下列各数的绝对值： ． （2）当a是正数或0时， ﹔当a是负数时， ． 【变式1】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·湖北·周测）若，则 ． 【题型十一】绝对值的几何意义 【例题11】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， （1）若与互为相反数，则______； （2）若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数的绝对值相等，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【题型十二】绝对值的非负性 【例题12】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）在数，，，，中，最大的数是，绝对值最小的数是． （1）求，的值． （2）若，求和的值． 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式2】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【知识储备6】有理数的大小比较 1.借助数轴比较：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 2.运用法则比较： （1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。 （2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 （3）正数的绝对值越大，这个数越大。 【题型十三】利用数轴比较有理数的大小 【例题13】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知a，b为有理数，请判断的大小关系，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 【题型十四】利用“两个负数相比较绝对值大的反而小”比较有理数的大小 【例题14】（2024七年级上·浙江·专题练习）比较下列各组数的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 【变式1】（24-25六年级上·山东东营·期中）下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）比较大小： （填“”或“”） 【题型十五】直通中考 【例题1】（2025·江苏扬州·中考真题）下列温度中，比低的温度是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”） 【题型十六】拓展延伸 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．若为有理数，则必有 B．比正数小的数只有负数 C．有最大的负整数和最小的正整数 D．一个有理数所对应的点离原点越远，它越大 【例题2】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，解答下列问题： （1）写出点A， B， C， D， E分别表示什么数？ （2）写出其中哪些数是互为相反数？ 并说明它们到原点的距离有什么关系？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$