精品解析：河北省廊坊市2024-2025学年八年级上学期11月月考数学试题

2024—2025学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第十一～十四章 注意事项：共8页，总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方，零指数次幂， 先根据，再计算即可． 【详解】解：原式． 故选：C． 2. 下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和，先得到多边形的内角和为，然后根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和是， ∴这个多边形的内角和也是， 设多边形的边数为n， 则， 解得：， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，合并同类项，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法逐一计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 5. 下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，根据平方差公式即可判断． 【详解】解：A.，故A能用平方差公式，不符合题意； B. ，故B能用平方差公式，不符合题意； C. ，故C能用平方差公式，不符合题意； D. ，故D不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 6. 当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式．先把分解因式可得结果为，结合n为正整数可得答案． 【详解】解： ， n为正整数， 一定能被12整除， 故选D． 7. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有①；②；③；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义， 根据作图痕迹可知，作了的垂直平分线，作了的平分线，两线交于点F，然后根据线段垂直平分线的性质和角平分线定义得，，再根据等边对等角得，接下来可得，即可得出答案． 【详解】解：根据作图痕迹可知，是的垂直平分线，平分， ∴，， ∴， ∴． 所以②③④正确，不能确定和的关系． 故选：B． 8. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. B. -3 C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式中不含有某一项的问题， 根据多项式乘以多项式法则计算，再整理，然后根据不含有一次项得出关于m的方程，求出解即可． 【详解】根据题意，得． ∵与的乘积中不含有x的一次项， ∴， 解得． 故选：A． 9. 在和中，，，．已知，则（ ） A. 30° B. C. 或 D. 30°或150° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， 分两种情况：当时，结合对应角相等得出答案；当和不全等时，根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】当时，； 当和不全等时，， ∴， ∴． 所以的度数是或． 故选：C． 10. 如图，在长为，宽为的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与几何图形，根据题意，花园的长为，花园的宽为：，然后根据长方形的面积等于长乘以宽代入计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意，花园的长为，花园的宽为：， 则花园的面积为：， 故选：A． 11. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质．首先根据等腰三角形的性质可证，根据可证，根据全等三角形的性质可证，再根据，可以求出，利用三角形内角和定理可以求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如下图所示， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ， 在中， ， ， 在中， 故选：B． 12. 如图，点E在等边的边上，，射线于点C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的和最小时，，则的长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质及含30度角的直角三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 作点E关于直线的对称点G，过点G作，垂足为P，交于点F，交于点H，此时的值最小，根据等边三角形的性质和判定得出、为等边三角形，，，再由等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于直线的对称点G，过点G作，垂足为P，交于点F，交于点H， 根据轴对称的性质得：， ∴当时，的和最小． ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的性质，根据关于y轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解题即可． 【详解】解：点P的坐标为，则点的坐标为， 故答案为：． 14. 在中，，，，在的延长线上取一点D，使，则C，D两点之间的距离为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键；根据直角三角形的性质可求，即可得解． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ， C，D两点之间的距离为6， 故答案为：6． 15. 如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据证明得，从而可得结论． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知甲、乙都是长方形，它们的边长如图所示（a为正整数），甲、乙的面积分别为，．若满足条件的整数n有且只有2个，则a的值为______． 【答案】1012 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，不等式组的解集， 先求出，再不等式组有两个整数解得出答案即可． 【详解】∵， ∴． ∵的整数解有且只有2个， 即的整数解是2025，2024，且a为正整数， ∴， 解得． 故答案为：1012． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）分解因式：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用和因式分解； （1）利用平方差公式计算即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算及化简求值，先计算完全平方式，再去括号、合并同类项，最后将代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 已知如图所示： （1）尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，的面积为16，点E在边上，且，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法利用尺规即可作的角平分线交于点； （2）过点D作，垂足为P，作，垂足为Q，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即所求， ； 【小问2详解】 解：如图，过点D作，垂足为P，作，垂足为Q． ∵是的角平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴． 答：的面积为4． 20. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值． （2）若，求x的值． 【答案】（1）72 （2）3 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 21. 我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决以下问题． 图1是一个长为4b，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系：______． （2）如图3，正方形的边长为a，正方形的边长b，点E，G分别在，边上．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图2中各个部分的面积，由面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据求解即可． 【小问1详解】 解：图2中小正方形是边长为的正方形，因此面积为，图2大正方形的边长为，因此面积为，4个空白长方形的面积为，所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ． 22. 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． （1）【初步应用】用上面的方法分解因式：______． （2）【类比应用】规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． （3）【拓展应用】分解因式：． 【答案】（1）（2）8或或4（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出m的值即可； （3）按照已知条件中的方法，把分解成，然后把多项式进行分解因式即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ， ， ， ∴整数的值可能为：或或或， ∴整数m的值可能是8或或4， 故答案为：8或或4； 【小问3详解】 ． 23. 如图，在中，，E是的中点，交于点D，点F在上，，交于点G，若，． （1）求的长． （2）求的长． （3）求证：为等边三角形． 【答案】（1）2 （2）8 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余可得出，，再根据含30度直角三角形的性质即可得出答案． （2）连接，根据含30度直角三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，等量代换可得出，再利用等腰三角形三线合一的性质即可得出答案． （3）由（2）得，由等边对等角可得出，．进而可得出，由三角形内角和定理可得出，，进而可得出为等边三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵E是的中点，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：证明：由（2）得， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定， 线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 24. 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，，D为边的中点，求证：． （3）如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）①，理由见解析；②2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）延长到点E，使，则，连接，先证明，得到，，再证明，，即可得到； （3）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【小问1详解】 解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图1，延长到点E，使，则，连接． ∵D为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 ①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度八年级上学期阶段评估（二） 数学 上册第十一～十四章 注意事项：共8页，总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 当n为正整数时，一定能被某个数整除，则该数可能是（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 12 7. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有①；②；③；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. B. -3 C. 0 D. 3 9. 在和中，，，．已知，则（ ） A. 30° B. C. 或 D. 30°或150° 10. 如图，在长为，宽为的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点E在等边的边上，，射线于点C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的和最小时，，则的长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 14. 在中，，，，在的延长线上取一点D，使，则C，D两点之间的距离为______． 15. 如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是______． 16. 已知甲、乙都是长方形，它们的边长如图所示（a为正整数），甲、乙的面积分别为，．若满足条件的整数n有且只有2个，则a的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）分解因式：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知如图所示： （1）尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，的面积为16，点E在边上，且，连接，求的面积． 20. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，，求的值． （2）若，求x的值． 21. 我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决以下问题． 图1是一个长为4b，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系：______． （2）如图3，正方形的边长为a，正方形的边长b，点E，G分别在，边上．若，，求图中阴影部分的面积． 22. 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． （1）【初步应用】用上面的方法分解因式：______． （2）【类比应用】规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． （3）【拓展应用】分解因式：． 23. 如图，在中，，E是的中点，交于点D，点F在上，，交于点G，若，． （1）求的长． （2）求的长． （3）求证：为等边三角形． 24. 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，，D为边的中点，求证：． （3）如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $