精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区盘锦市第一完全中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

盘锦市第一完全中学2024—2025学年度第一学期 八年级 竞赛 数学 试卷 试卷满分：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列几种著名数学曲线中，不是轴对称图形的是（　　） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 2. 在代数式，，，，，中，分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 随着科技的不断发展，我国北斗芯片研发技术达到国际领先水平，目前，国产北斗芯片尺寸已可达12纳米（即1纳米＝0.000000001米），则数据12纳米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 若x2+（k﹣1）x+4是一个完全平方式，则常数k的值为（　　） A. 5 B. 5或3 C. ﹣3 D. 5或-3 5. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 6. 纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（ ） A. 的三条高线的交点 B. 的三条中线的交点 C. 的三条角平分线的交点 D. 的三边垂直平分线的交点 7. 在等边三角形中，于D，且，E是边的中点，F为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1＋∠2等于（ ） A. 126° B. 130° C. 136° D. 140° 9. 如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为14，面积为12，请计算的值为（ ） A. 42 B. 84 C. 76 D. 82 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 已知，，则__________． 12. 已知，则分式的值为______ 13. 若关于x的方程无解，则a的值是___． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____． 15. 如图，在中，，是边上的高，点E为的中点，连接并延长交于点，若，，则的长为_______． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：÷（﹣a﹣2），其中a在2，﹣2，3，﹣3中选取合适数代入求值． 19. 数学课上，在计算时，琪琪把b看成6，得到结果是，莹莹把a看成7，得到的结果是．根据以上提供的信息： （1）请求a、b的值． （2）请计算正确的结果． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_________； （3）求出面积； （4）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 21. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 22. 如图，已知ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D在BA延长线上，过点D作交BC的延长线于点N， 过点D作交CA的延长线于点M，O为线段AB的中点，连接OM，ON． （1）求证：DM＝CN． （2）判断MON的形状，并说明理由． 23. 【问题初探】 （1）数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，D是BC边的中点，，，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盘锦市第一完全中学2024—2025学年度第一学期 八年级 竞赛 数学 试卷 试卷满分：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（　　） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 在代数式，，，，，中，分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义．注意是数字，不是字母．直接根据分式的定义判断．分母中含有字母的是分式． 【详解】解：在代数式，，，，，中，分式有，，这3个， 故选：B． 3. 随着科技不断发展，我国北斗芯片研发技术达到国际领先水平，目前，国产北斗芯片尺寸已可达12纳米（即1纳米＝0.000000001米），则数据12纳米用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，确定与值是解决问题的关键．用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可． 【详解】解：1纳米米， 根据科学记数法要求的小数点从原位置移动到1后面，动了有9位，从而用科学记数法12纳米表示为米， 故选：D． 4. 若x2+（k﹣1）x+4是一个完全平方式，则常数k的值为（　　） A. 5 B. 5或3 C. ﹣3 D. 5或-3 【答案】D 【解析】 【分析】根据首末两项是x和2这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和2的积的2倍，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解： ， ， 解得：或， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 5. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可； 【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键． 6. 纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（ ） A. 的三条高线的交点 B. 的三条中线的交点 C. 的三条角平分线的交点 D. 的三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 7. 在等边三角形中，于D，且，E是边的中点，F为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，共线问题．根据题意连接证出，当三点共线时有最小值再利用等边三角形性质即可求出本题答案． 【详解】解：连接， ， ∵，等边三角形， ∴， ∴， ∴当三点共线时有最小值，最小值为的长， ∵是边的中点， ∴是的高， ∴， 故选：A． 8. 如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC分别经过正五边形的两个顶点，则∠1＋∠2等于（ ） A. 126° B. 130° C. 136° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正五边形的特征求出正五边形的一个内角，进一步得到2个内角的和；再根据三角形内角和为180°以及角的和差即可解答． 【详解】解：∵正五边形， ∴每一个内角为：180°-=108°，即：两个内角和为216°， ∴∠1＋∠2=216°-90°=126°． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，根据多边形内角和外角的性质求得正五边形的一个内角的度数成为解答本题的关键． 9. 如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，再根据外角的性质即可求出结果． 【详解】解：将沿直线m翻折，交于点E、F，如图所示： 由折叠的性质可知：， 根据外角的性质可知：，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折变换的性质，熟练掌握三角形外角的性质和翻折的性质是解题的关键． 10. 如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为14，面积为12，请计算的值为（ ） A. 42 B. 84 C. 76 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求代数式值，因式分解-提公因数法，关键是由提公因数法得到，由长方形的面积、周长公式得到，，即可求值． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 故选：． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算．根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 12. 已知，则分式的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，即，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握通分、约分等运算法则，根据题意得出是解本题的关键． 13. 若关于x的方程无解，则a的值是___． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【详解】解：方程去分母，得：ax=4+x﹣2， 解得， ∴当a=1时，方程无解． 把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2． 综上所述，当a=1或2时，方程无解． 故答案为：1或2 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长，即可求解． 【详解】解：由作图可得DF垂直平分线段AB， ∴， ∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴△AFH的周长， 故答案为：6． 【点睛】本题考查尺规作图—线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 15. 如图，在中，，是边上的高，点E为的中点，连接并延长交于点，若，，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，含角的直角三角形特征．先求得，利用含角的直角三角形的性质求得，得到，据此进一步计算即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ，即， ， ． 故答案为：10． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查的是幂的运算、整式的混合运算、分式的混合运算，熟记相关运算法则及运算顺序是解答此题的关键． （1）先计算积的乘方，再根据单项式的乘除法可以解答本题； （2）先根据乘法公式计算，再利用多项式除项式的法则可以解答本题； （3）先算分数除法，再算分式加减即可解答本题； （4）先算括号再算除法即可解答本题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程一定注意要验根． （1）两边都乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，代入最简公分母检验即可； （2）两边都乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，代入最简公分母检验即可． 【小问1详解】 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是原分式方程的增根， 所以方程无解． 18. 先化简，再求值：÷（﹣a﹣2），其中a在2，﹣2，3，﹣3中选取合适数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，再将除法转化为乘法，根据分式的性质约分化简，进而根据分式有意义的条件选取合适的数代入求解即可． 【详解】解：÷（﹣a﹣2） 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键． 19. 数学课上，在计算时，琪琪把b看成6，得到的结果是，莹莹把a看成7，得到的结果是．根据以上提供的信息： （1）请求a、b的值． （2）请计算正确结果． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）根据整式的乘法，即可得出正确的a、b的值； （2）将a、b的值代入式子，利用多项式乘多项式运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：∵琪琪把b看成6，得到的结果是， ∴， ∴， ∴，， 解得， ∵莹莹把a看成7，得到的结果是， ∴， ∴， ∴，， 解得； 【小问2详解】 解：当，时， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_________； （3）求出的面积； （4）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析； （2）； （3）4； （4）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换，平面直角坐标系中的点，解题的关键是作出三角形三个顶点对应点． （1）作出点三个顶点的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出点C关于y轴的对称点的坐标即可； （3）根据网格利用割补法即可求解； （4）连接，与y轴的交点即为所求作的点P． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 点C关于y轴的对称点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 如图，点P即为所求． 21. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】（1）30天 （2）225000元 【解析】 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意列出方程，求解即可； （2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可． 【小问1详解】 解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得： ， 解得：x＝30． 经检验，x＝30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． 【小问2详解】 该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（天）， 则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）． 答：该工程的费用为225000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 22. 如图，已知ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D在BA延长线上，过点D作交BC的延长线于点N， 过点D作交CA的延长线于点M，O为线段AB的中点，连接OM，ON． （1）求证：DM＝CN． （2）判断MON的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等腰直角三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）证明△DNM≌△CMN（ASA），由全等三角形的性质得出DM=CN； （2）连接OC，证明△NCO≌△MAO（SAS），由全等三角形的性质得出OM=ON，∠NOC=∠MOA，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵DN//AC， ∴∠DNM=∠NMC， ∵DM//BC， ∴∠DMN=∠CNM， ∵MN=MN， ∴△DNM≌△CMN（ASA）， ∴DM=CN； 【小问2详解】 △MON为等腰直角三角形． 证明：连接OC， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CAB=45°， ∵DN//AC， ∴∠NDB=∠CAB=45°， ∵△DNM≌△CMN，∠ACB=90°， ∴∠NDM=∠NCM=90°， ∵∠ADM=∠DAM=∠CAB=45°， ∴DM=AM=CN， ∵∠ACB=90°，AC=BC，O为线段AB的中点， ∴∠BCO=45°，OC⊥AB，OA=OC=OB， ∴∠NCO=∠MAO=180°-45°=135°， 在△NCO和△MAO中， ， ∴△NCO≌△MAO（SAS）， ∴OM=ON，∠NOC=∠MOA， ∴∠MON=∠MOA+∠NOA=∠NOC+∠NOA=90°． ∴△OMN为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明△DNM≌△CMN是解题的关键． 23. 【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，D是BC边的中点，，，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①选择小强同学，过点作于，于，证明，可得结论；②选择小颖同学，过点作，交于点，则，可证，可得； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可； 【详解】（1）①选择小强同学， 证明：如图2，过点作于，于， 平分， ， ，， ， ， ， 在与中 ， ， ； ②选择小颖同学， 证明：如图3，过点作，交于点，则， ，平分， ，且， ， ， ， ， 和中， ， ， ． （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ， 又平分，， ，， 在四边形中，， 又， ， 又， ，且，， ， ； （3）取中点，连接， ∵，， ∴是等边三角形， 点、分别是、边上的中点， ， 又 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$