精品解析：辽宁省沈阳市第一二〇中学2024-2025学年高一上学期第三次质检数学试卷

沈阳市第120中学2024—2025学年度上学期 高一年级第三次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：赵雨 校对人：刘骏宇 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“”分段法来确定正确答案. 【详解】， ， 所以. 故选：D 2. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（ ） A. 是对立事件 B. 是不可能事件 C. 是互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据互斥事件和对立事件、不可能事件的概念，选出正确选项. 【详解】显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件的辨析，考查不可能事件的概念，属于基础题. 3. 已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得点坐标，以及的解析式，再求结果即可. 【详解】恒过定点，设，故，解得，故，则. 故选：A. 4. 已知函数，若的值域为，则实数的范围是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对的取值进行分类讨论，即可得到答案. 【详解】若，则对有，对有. 所以，其值域不可能是，不满足条件； 若，则对，由可知； 且对，由可知. 所以对任意实数，方程总有解，所以的值域是，满足条件. 若，则对有，对有. 所以，其值域不可能是，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故选：D. 5. 设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设，先解出时的值，然后再根据的图象，判断时，的个数. 【详解】函数的零点个数与方程的解的个数相等， 令，则， 所以函数的零点个数与方程组的解的个数相同， 因为， 由， 可得当时，，当时，， 解得或或， 在同一平面直角坐标系中分别作出，，，的图象如图所示，    由图象可知与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 所以函数的零点个数为个， 故选：C 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性与单调性即可求解不等式. 【详解】由题意得：函数定义域为：， ， 所以为偶函数，且在上单调递增． 由可得， ∴，解得． 又，即． ∴且． 故不等式的解集为． 故选：C． 7. 若，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】构造函数， 由， 可得， ，且定义域为， 是奇函数， ， 又易得为上的单调递增函数，, ， . 故选：B 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则的值是（ ） A. 145 B. 857 C. 150 D. 243 【答案】B 【解析】 【分析】根据高斯函数以及对数运算等知识来求得正确答案. 【详解】，共个， ，共个， ，共个， ，共个， ，共个， ， 所以 . 故选：B 【点睛】方法点睛：本题的核心方法是高斯函数与对数运算的结合，首先根据高斯函数的定义，逐步列出对数值的范围，并确定每个区间内的数值个数，然后将每个区间内的个数与对应的高斯函数值相乘，最后求和得到结果，这种方法依赖于对数值的分段计算，并注意区间内数值个数的计数. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 关于中位数、方差、众数、标准差，下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的中位数也增加2 B. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的方差也增加2 C. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的众数也增加到2倍 D. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的标准差也增加到2倍 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据中位数的定义分析判断，对于B，根据方差的性质分析判断，对于C，根据众数的定义分析判断，对于D，根据标准差的性质分析判断. 【详解】对于A，将一组数据的每个数都增加2，则可知这一组数的最中间的数或最中间两个数的平均数也增加2， 所以这组数据的中位数也增加2，所以A正确， 对于B，将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的平均也增加2， 所以由方差公式可知，这组数据的方差不变，所以B错误， 对于C，将一组数据的每个数都增加到2倍，则出现次数最多的数也增加到2倍， 所以这组数据的众数也增加到2倍，所以C正确， 对于D，将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的方差增加到4倍， 所以这组数据的标准差也增加到2倍，所以D正确， 故选：ACD 10. 设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上是单调减函数 D. 函数仅有一个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，求得，得到，求得的值，可得判定A正确；结合由，可得判定B不正确；结合和都是增函数，及为在上的奇函数，得出函数的单调性，可判定C不正确；结合和函数的单调性，得到仅有一个零点，可得判定D正确. 【详解】对于A中，因为为定义在上的奇函数，且当时，， 可得，解得，所以， 则，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，当时，， 因为函数和都是增函数，所以在是单调递增函数， 又因为为在上的奇函数，所以在也是递增函数，所以C不正确； 对于D中，由，且和是单调递增函数， 所以函数为定义在上仅有一个零点，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项. 【详解】由函数解析式可得图象如下：    ∴由图知：，A选项错误； 而知，即得， ∴，B选项正确； 所以，而当时，有，即或2， ∴，单调递减， 可得， 即得，C选项正确； 因为，所以，D选项正确，. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，且，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算来求得正确答案. 【详解】依题意，，则， 所以， 则， ， 所以， . 故答案为： 13. 若，，实数集R为全集，则________ 【答案】 【解析】 【分析】求解指数和对数不等式，解得集合，再进行集合运算即可. 【详解】， ， 故. 故答案为：. 14. 已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：， 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称， 所以，即的周期为4， 作出函数在上的图象， 根据对称性及周期为4，可得出在上的图象： 令， 若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根， 至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点， 至多有3个不同的交点， 所以，即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合，，，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】求解对数不等式和含参一元二次不等式，解得集合，再根据集合之间的包含关系，即可求得参数范围. 【详解】由得：，所以， 由得，，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集； 所以 （等号不同时取），所以， 所以实数m的取值范围是． 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中a的值； （2）若该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； （3）估计居民月均用水量的众数和第80百分位数. 【答案】（1）0.30； （2）36 000； （3）2.25，2.73 【解析】 【分析】(1)由直方图中所有小长方形面积之和为1，可计算得的值； (2)求出100位居民月均用水量不低于3吨的频率，根据频率，频数，样本容量的关系进行运算； (3)根据众数，百分位数的求法进行运算． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，月均用水量在的频率为， 同理，在，，，，，等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02， 由，解得； 【小问2详解】 由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为：， 由以上样本的频率分布可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为：． 【小问3详解】 直方图中众数位于最高矩形底边中点2.25， ∴由样本估计总体，居民月均用水量的众数为2.25． 由直方图可得，从左到右前5组的频率依次为：0.04，0.08，0.15，0.21，0.25， 前五组频率之和为0.73，第6组频率为0.15， ∴前6组频率之和为，故第80百分位数位于第6组，结果为，即第80百分位数为2.73． 17. 已知奇函数的定义域为． （1）求实数的值； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，由此求得的值. （2）由不等式分离参数，结合基本不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以， 即，即，即， 整理得，所以，即， 则，因为定义域为关于原点对称，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又当时，恒成立， 所以，时恒成立， 令，则，时恒成立， 所以小于的最小值， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 所以，，即m的取值范围是． 18. 已知函数. （1）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式； （2）已知时，函数的最小值为，求实数a的值. 【答案】（1） （2）或5 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性来求得的解析式. （2）先化简的解析式，利用换元法，结合对进行分类讨论，来求得的值. 【小问1详解】 当时，， 当时，，为R上的奇函数 ，. 综上所述，函数的解析式为； 【小问2详解】 ， 设，则， 函数化为. ①当，即时，函数在上是增函数， 的最小值为，解得（不合题意，舍去）， ②当，即时，函数在上是减函数， 的最小值为，解得， ③当，即时，函数在上有最小值， 的最小值为， 解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，实数a的值为或5. 【点睛】易错点睛： 小问1：理解奇函数的定义时容易混淆，需要注意对于、和的情况，特别是负数部分的处理要小心. 小问2：在求解二次函数最小值时，要特别注意各个区间内的函数单调性，避免遗漏最小值出现的具体位置. 19. 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意x，都有，则称是“反比例对称函数”．设，． （1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； （2）若函数与的图像恰有一个交点，求的值； 【答案】（1） 是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知， 可知， 所以， 故是“反比例对称函数”． （2） 【解析】 【分析】（1）根据“反比例对称函数”的定义来进行判断. （2）由有一个解列方程，化简求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，，此时， 因为函数与的图像恰有一个交点，即有一个解， 得， 令，得仅有一个解， 显然， 因为，则有， 要使仅有一个解， 只需，或（舍） 所以． 【点睛】方法点睛： 反比例对称函数的判断：通过对函数进行化简并运用反比例对称函数的定义，确认了函数是否满足对称条件，这部分依赖于对对数运算和函数对称性的理解. 交点求解：通过设定方程来求解，从而得到交点条件，这里利用了函数代数表达式的结合与化简，最终得到只有一个解的条件，从而确定的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2024—2025学年度上学期 高一年级第三次质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 命题人：赵雨 校对人：刘骏宇 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知，，（ ） A. B. C. D. 2. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（ ） A. 是对立事件 B. 是不可能事件 C. 是互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 3. 已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ） A. B. 9 C. D. 3 4. 已知函数，若的值域为，则实数的范围是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则的值是（ ） A. 145 B. 857 C. 150 D. 243 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 关于中位数、方差、众数、标准差，下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的中位数也增加2 B. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的方差也增加2 C. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的众数也增加到2倍 D. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的标准差也增加到2倍 10. 设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上是单调减函数 D. 函数仅有一个零点 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，且，则实数________． 13. 若，，实数集R为全集，则________ 14. 已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，集合，，，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中a的值； （2）若该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； （3）估计居民月均用水量的众数和第80百分位数. 17. 已知奇函数的定义域为． （1）求实数的值； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式； （2）已知时，函数的最小值为，求实数a的值. 19. 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意x，都有，则称是“反比例对称函数”．设，． （1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； （2）若函数与的图像恰有一个交点，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $