第7章　三角函数单元测试-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第7章　三角函数 全卷满分150分　　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在平面直角坐标系中,点P的坐标为(tan 2 025°,sin 2 025°),则点P位于　　(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C.第三象限　　　　D.第四象限 2.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c　　　　B.b>a>c　　　　C.b>c>a　　　　D.c>a>b 3.已知定义在R上的函数f(x)=则f 的值是(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 4.将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 5.用尺规作图画出正五角星,作法如下:以任意一点为圆心,1为半径画圆O,在圆O内作互相垂直的直径AB和CD.取线段OB的中点E,以E为圆心,EC长为半径作弧,交OA于F.以C为圆心,CF长为半径作弧交圆O于N,G两点,再以N为圆心,CF长为半径作弧交圆O于另一点M,以G为圆心,CF长为半径作弧交圆O于另一点H,连接CM,CH,GN,GM,NH,得到如图所示的正五角星,则图中扇形OAN的面积为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6. 已知函数f(x)=acos ωx(a≠0,ω>0),若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根,则实数ω的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 7. 已知函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数,则[f(x)]2+=(　　) A.5　　　　B.2　　　　C.　　　　D. 8.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)在区间上单调,且f=f=-f,当x=时, f(x)取到最大值2,若将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>1的解集为(　　) A.,k∈Z　　　　B.,k∈Z C.,k∈Z　　　　D.,k∈Z 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知θ∈,sin θ+cos θ=,则下列结论正确的有(　　) A.θ∈　　　　B.cos θ= C.tan θ=-　　　　D.cos θ-sin θ= 10.已知函数f(x)=sin+cos,下列说法中正确的是(　　) A. f(x)=sin　　　　 B.函数f(x)的最大值为 C.函数f(x)的周期是π　　　　 D. f(x)在上单调递增 11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,将其图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点中心对称 B.函数f(x)在上单调递增 C.当x∈时,函数f(x)的最大值为 D.函数g(x)=f(x)-在上恰有3个不同的零点 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知角α的终边上有一点P的坐标是(m,2m),m≠0,则=　　　　　.  13.如图,摩天轮的半径为50 m,圆心O距地面的高度为60 m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15 min转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱,则游客进舱5 min时他距离地面的高度为　　　　m.  14.已知函数f(x)=2sin(ω>0),若∀x∈R,都有f(x)≤恒成立,且f(x)在上单调,则ω的取值集合为　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若f(α)=2,分别求和4sin2α-3sin αcos α的值. 16.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式及f(x)图象的对称中心; (2)若f =,求cos的值; (3)先将f(x)的图象的纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向右平移个单位长度,得到h(x)的图象,求函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间. 17.(15分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图,筒车的半径r=4 m,轴心O距离水面2 m,筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间. (1)将点P到水面的距离z(单位:m,在水面下,z为负数)表示为时间t(单位:min)的函数; (2)已知盛水筒Q与盛水筒P相邻,Q位于P的逆时针方向一侧.若盛水筒P和Q均在水面上方,且距离水面的高度相等,求时间t. 18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若关于x的方程+2asin-2a+2=0在上有解,求实数a的取值范围. 19.(17分)对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质. (1)若f(x)=sin x与g(x)=cos 2x具有“m关联”性质,求m的取值范围; (2)已知a>0, f(x)是定义在R上的奇函数,且满足: ①在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1; ②对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0. 求证:y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质. 答案全解全析 1.D　tan 2 025°=tan(11×180°+45°)=tan 45°>0,sin 2 025°=sin(5×360°+225°)=sin 225°<0,∴点P位于第四象限.故选D. 2.B　a=tan=-tan=-tan=-,b=cos=cos6π-=cos=, c=sin=-sin=-sin=-, 因为>->-,所以b>a>c.故选B. 3.C　f =f =f =f =f =f =cos=cos=.故选C. 4.A　由题意得g(x)=f(x-φ)=2sin=2cos=2cos是偶函数, 所以φ+=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z, 又0≤φ≤,所以k=1,φ=.故选A. 5.A　如图,连接OG,OM,OH,则∠CON==72°, 又∠AOC=90°,所以∠AON=90°-72°=18°, 所以扇形OAN的面积S==.故选A. 6.B　由题意得,g(x)=acos=acos, ∵x∈,∴ωx+∈, ∵方程g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根, ∴ω+∈,解得≤ω<4, 即实数ω的取值范围是,故选B. 7.D　因为函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数, 所以2f(-x)-sin(-x)=2f(x)-sin x,即f(x)-f(-x)=sin x,① f(-x)-cos(-x)=-f(x)+cos x,即f(x)+f(-x)=2cos x,② 联立①②可得f(x)=(sin x+2cos x), 所以f ==(cos x-2sin x), 因此[f(x)]2+=(sin x+2cos x)2+(cos x-2sin x)2=(sin2x+4sin xcos x+4cos2x)+(cos2x-4sin xcos x+4sin2x)=. 故选D. 8.A　∵f(x)在区间上单调,∴≥-=,即T≥, ∴≥,即0<ω≤3. ∵f =f ,∴直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴. ∵f =-f ,∴是函数f(x)图象的一个对称中心. ∵T≥,∴x=和是函数f(x)图象相邻的对称轴和对称中心,∴×=-,又ω>0,∴ω=2. ∵函数f(x)的最大值为2,∴f(x)=2sin(2x+φ). ∵当x=时, f(x)取到最大值2,∴2×+φ=+2kπ,k∈Z, ∴φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin. 根据题意可知g(x)=2sin, ∵g(x)>1,∴2sin>1,即sin>, ∴+2kπ<x+<+2kπ,k∈Z,解得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z, ∴不等式g(x)>1的解集是,k∈Z.故选A. 9.ACD　sin θ+cos θ=,等号两边分别平方,得sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=,因为sin2θ+cos2θ=1,所以2sin θcos θ=-<0, 因为θ∈,所以θ∈,sin θ<0,cos θ>0, 因为(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,cos θ-sin θ>0, 所以cos θ-sin θ=, 结合sin θ+cos θ=,解得sin θ=-,cos θ=, 所以tan θ==-.故选ACD. 10.BD　∵cos=cos=cos-+x=sin, ∴f(x)=sin,故A不正确;函数f(x)的最大值是,故B正确;函数的周期是2π,故C不正确;当x∈-,时,x+∈,⊆,∴函数f(x)在区间-,上单调递增,故D正确.故选BD. 11.ABD　由题意得ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),将其图象向右平移个单位长度,得到函数f=sin2+φ=sin2x-+φ的图象.因为f为偶函数,所以-+φ=kπ+,k∈Z, 又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin. 对于A,f =sin=0,故A正确. 对于B,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=0时,-≤x≤,因为⫋,所以函数f(x)在上单调递增,故B正确. 对于C,当x∈时,-≤2x-≤,所以-≤sin≤1,所以函数f(x)的最大值为1,故C错误. 对于D,令g(x)=f(x)-=sin-=0,得2x-=2kπ+,k∈Z或2x-=2kπ+,k∈Z,所以x=kπ+,k∈Z或x=kπ+,k∈Z,所以函数g(x)=f(x)-在上的零点为x=,x=,x=,共3个,故D正确. 故选ABD. 12.答案　-3 解析　由角α的终边上有一点P的坐标是(m,2m),可得tan α=2, 则====-3. 13.答案　85 解析　设在t min时,游客距离地面的高度h=Asin(ωt+φ)+B(A>0),其中-π<φ<π, 则解得则h=60+50sin(ωt+φ), 由摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15 min转动一圈,可得=15,所以ω=,即h=60+50sin, 当t=0时,60+50sin φ=10,即sin φ=-1, 因为-π<φ<π,所以φ=-, 所以h=60+50sin=60-50cos, 当t=5时,h=60-50cos=60+25=85. 所以游客进舱5 min时他距离地面的高度为85 m. 14.答案　{1,4} 解析　因为∀x∈R,都有f(x)≤恒成立, 所以=2=2,即=1, 即ω+=+kπ(k∈Z), 所以ω=1+3k(k∈Z), 又f(x)在上单调, 所以≥-=,所以≥, 又ω>0,所以0<ω≤,又ω=1+3k(k∈Z),所以ω=1或ω=4. 所以ω的取值集合为{1,4}. 15.解析　(1)f(α)= ==-tan α.(5分) (2)结合(1)知tan α=-2, 所以===3,(9分) 4sin2α-3sin αcos α====.(13分) 16.解析　(1)由题图可知,A=2,T=-=,因为T==π, ω>0,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(2分) 又函数f(x)的图象过点,所以2=2sin,即+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(5分) 令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z, 所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z.(7分) (2)由(1)及题意,得f =2sin=,即sin=. 因为-=, 所以cos=cos=-sin=-.(10分) (3)易得h(x)=sin=-cos 2x.(12分) 因为x∈,所以2x∈, 令π≤2x≤,解得≤x≤, 所以函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间为.(15分) 17.解析　(1)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 设P(x,y),则点P到水面的距离z=y+2,=sin α,其中α是以Ox为始边,OP为终边的角, 由点O到水面的距离为2 m,半径r=4 m,知∠P0Ox=,(2分) 由该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,得∠P0OP=×t=πt,则α=πt-, 则y=rsin α=4sin,则z=4sin+2,t≥0.(4分) (2)由筒车上均匀分布了12个盛水筒,得∠POQ=, 设Q(xQ,yQ),则=sin,由(1)知,α=πt-,(7分) 所以yQ=4sin=4sin πt,又P点的纵坐标y=4sin,所以sin πt=sin,(10分) 则πt=πt-+2kπ或πt=π-+2kπ,k∈Z,解得t=k+,k∈N, 由盛水筒P和Q均在水面上方,得4sin πt>-2,即sin πt>-,(13分) 则2kπ-<πt<2kπ+,k∈Z,则t=2k+,k∈Z, 由t>0得t=2k+,k∈N.(15分) 18.解析　(1)由题图可得A=2,函数f(x)的最小正周期T=4×=π,则ω===2, 所以f(x)=2sin(2x+φ),(3分) 因为f =2sin=2,所以sin=1,即φ+=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z, 又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.(6分) (2)由+2asin-2a+2=0,可得sin2+2a·sin-2a+2=0, 即sin2-2acos-2a+2=0, 即1-cos2-2acos-2a+2=0, 即cos2+2acos+2a-3=0,其中x∈,(10分) 因为x∈,所以<2x+<π, 令t=cos,则t∈,t2+2at+2a-3=0, 则关于t的方程t2+2at+2a-3=0在上有解, 由t2+2at+2a-3=0可得2a=,(13分) 令s=t+1,s∈,即t=s-1,则2a==-s+2, 令h(s)=-s+2,s∈, 因为函数y=,y=2-s在上均单调递减, 所以函数h(s)=-s+2在上单调递减,所以h(s)>h=, 所以2a>,解得a>, 故实数a的取值范围是.(17分) 19.解析　(1)由题意可知f(x)=sin x∈[-1,1],g(x)=cos 2x∈[-1,1],故f(x1)+g(x2)∈[-2,2],则m的取值范围为[-2,2].(2分) (2)证明:因为在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1, f(x)是定义在R上的奇函数, 所以在[-2a,0]上,当且仅当x=-时, f(x)取得最小值-1,(4分) 由对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0,可知f(x)的图象关于点(a,0)对称, 又f(a+x)=-f(a-x)=f(x-a),即f(x+2a)=f(x), 故2a为函数f(x)的周期, 故f(x)∈[-1,1], 易知sin πx∈[-1,1],cos πx∈[-1,1].(8分) 当f(x)=1时,x=+2na,n∈Z, 当sin πx=1时,x=+2k,k∈Z, 若+2na=+2k,则a=,k,n∈Z, 此时y1=sin πx+f(x)=2为最大值;(11分) 当f(x)=-1时,x=-+2pa,p∈Z, 当cos πx=1时,x=2t,t∈Z, 若-+2pa=2t,则a=,t,p∈Z, 此时y2=cos πx-f(x)=2为最大值.(14分) 由于a=≠,故sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)<4, 即不存在x1∈R,x2∈R,使得sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)=4, 所以y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$