精品解析：江苏省苏州市常熟市2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷

江苏省苏州市常熟市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. 1.2012001 C. D. 3. 近似数1.05万精确到（ ） A. 百分位 B. 十分位 C. 个位 D. 百位 4. 在如图所示的数轴上表示的点在（ ） A. 线段之间 B. 线段之间 C. 线段之间 D. 线段之间 5. 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 6. 已知点P（m-2，2m-1）在第二象限，且m为整数，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转90°后得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，点在边上，且．若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，为，点、分别为射线、上的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相对应位置上．） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 比较下列两数大小：______ ． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是______． 14. 已知|m+5|+＝0，点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标是______． 15. 如图，在中，，，点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合，以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点，则点所表示的数是______． 16. 如图，在△ABC中，EDBC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=6，DC=8， DE=20，则FG=_________． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF＝______． 18. 如图，已知，中，，，点、分别在边、上运动，的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．） 19. 求出下列x的值： （1）﹣27x3＋8＝0 （2）3（x﹣1）2﹣12＝0 20. ． 21. 已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-9的立方根是2，c是的整数部分，求7a-2b-2c的平方根． 22. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三个顶点都在正方形网格的格点上． （1）把△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出点A′的坐标　 　； （2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是　 　； （3）求△ABC的面积． 23. 如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点E，与边交于点D． （1）求的度数； （2）求证：为等腰三角形． 24. 如图，在中，，，点在边上，且，以为腰作等腰直角，且． （1）求证：； （2）求长． 25. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AC的延长线于点E，DF⊥AB于点F． （1）求证：CE＝BF； （2）求DG的长． 26. 已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF． （1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形； （2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长． 27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），点C（0，6），点B在x轴负半轴上，且AB=AC． （1）求点B的坐标； （2）如图2，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)； ①若△OME的面积为2，求t的值； ②如图3，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市常熟市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. 1.2012001 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的数，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上三方面对各选项逐一进行判断即可． 【详解】A.是分数，是有理数，故该选项不符合题意， B.1.2012001是有限小数，是有理数，故该选项不符合题意， C.是含π的数，是无理数，故该选项符合题意， D.=9，是整数，是有理数，故该选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了对无理数和有理数的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括：含π的、开方开不尽的根式、一些有规律的数等，化简后进行判断是否是无理数即可． 3. 近似数1.05万精确到（ ） A. 百分位 B. 十分位 C. 个位 D. 百位 【答案】D 【解析】 【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，据此可得答案． 【详解】1.05万=10500， ∵5在百位上， ∴近似数1.05万精确到百位， 故选：D． 【点睛】本题考查近似数，确定近似数精确到哪一位，就是看这个数的最后一位是什么位；是需要熟记的内容． 4. 在如图所示的数轴上表示的点在（ ） A. 线段之间 B. 线段之间 C. 线段之间 D. 线段之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴．估算出的大小，从而得出的大小，结合数轴即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴数轴上表示的点在线段上， 故选：C． 5. 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可对A、B进行判断；利用勾股定理逆定理对C、D进行判断，即可答案． 【详解】A．∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=180°×=45°，∠B=180°=60°，∠C=180°=75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意， B．∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意， C．∵，，， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意， D．∵， ∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 6. 已知点P（m-2，2m-1）在第二象限，且m为整数，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限内的点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0列不等式组可求出m的取值范围，根据m为整数即可确定m的值． 【详解】∵点P（m-2，2m-1）在第二象限， ∴， 解得：， ∵m为整数， ∴m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 7. 在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【详解】由图形可得，垂直平分，故排除A、C选项； 点很明显不在的垂直平分线上，故排除选项D； 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转90°后得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点C作CD⊥y轴于D，根据旋转的性质可得∠ABC=90°，BC=AB，根据角的和差关系可得∠C=∠ABO，利用AAS可证明△BCD≌△ABO，可得CD=OB，BD=OA，根据A、B坐标可得OB、OA的长，即可求出OD、CD的长，可得答案． 【详解】如图，过点C作CD⊥y轴于D， ∴∠CDB=∠AOB=90°，∠CBD+∠C=90°， ∵把线段AB绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC， ∴∠ABC=90°，BC=AB， ∴∠CBD+∠ABO=90°， ∴∠C=∠ABO， 在△BCD和△ABO中，， ∴△BCD≌△ABO， ∴CD=OB，BD=OA， ∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴CD=6，OD=OB+BD=6+8=14， ∴点C坐标为（6，14）， 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 9. 如图，中，，，点在边上，且．若，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形，含的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，作辅助线，是解题的关键． 过点A作于点E，设，根据三线合一可得，然后根据，得到，得到求得，得到． 【详解】解：过点A作于点E，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，为，点、分别为射线、上的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】如图，分别作点D关于OA、OB的对称点D1、D2，连接D1D2，交OA于E，OB于F，连接OD1、OD2，根据轴对称的性质可得∠EOD1=∠EOD，∠FOD=∠FOD2，ED1=ED，FD2=FD，OD1=OD=OD2，可得ED1+EF+FD2=DE+EF+DF= D1D2，可知D1D2为△DEF周长的最小值，根据∠AOB=45°可得∠D1OD2=2∠AOB=90°，根据根据勾股定理求出D1D2的长即可得答案． 【详解】如图，分别作点D关于OA、OB的对称点D1、D2，连接D1D2，交OA于E，OB于F，连接OD1、OD2， ∴∠EOD1=∠EOD，∠FOD=∠FOD2，ED1=ED，FD2=FD，OD1=OD=OD2， ∴ED1+EF+FD2=DE+EF+DF= D1D2，即D1D2为△DEF周长的最小值， ∵∠EOD1=∠EOD，∠FOD=∠FOD2，∠AOB=45°，∠AOB=∠EOD+∠FOD， ∴∠D1OD2=2∠AOB=90°， ∵OD=， ∴OD1=OD=OD2=， ∴D1D2==2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题及勾股定理，正确作出辅助线，确定E、F的位置并得出∠D1OD2=90°是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相对应位置上．） 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 比较下列两数大小：______ ． 【答案】< 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则即可得答案． 【详解】∵5＞4， ∴， ∴-， 故答案为：＜ 【点睛】本题考查实数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；熟练掌握实数大小的比较法则是解题关键． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为4和8， ∴当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8， ∵， ∴不满足三角形的三边关系， 当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，此时能构成三角形， ∴三角形的周长是， 故答案为：20． 14. 已知|m+5|+＝0，点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标是______． 【答案】（﹣5，﹣3） 【解析】 【分析】根据非负数的性质求得m、n的值，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征即可解答． 【详解】解：∵|m+5|+＝0， ∴m+5＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣5，n＝3， ∴点P的坐标是（﹣5，3）． ∴点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣5，﹣3）． 故填（﹣5，﹣3）． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、平面直角坐标系中对称点的规律等知识点，根据非负数性质得出m、n的值是解答本题的关键． 15. 如图，在中，，，点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合，以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点，则点所表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式可得AC的长，利用勾股定理可求出AB的长，即可得AD的长，根据数轴上两点间的距离公式即可得答案． 【详解】∵点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合， ∴AC==1， ∵BC=2AC， ∴BC=2， ∴AB==， ∵以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点， ∴AD=AB=， ∵当D在点A右侧， ∴点所表示的数是， 故答案为： 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及勾股定理的应用，利用勾股定理求出AB的长是解题关键． 16. 如图，在△ABC中，EDBC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=6，DC=8， DE=20，则FG=_________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意易得∠ABG=∠GBC=∠EGB，∠ACF=∠FCB=∠DFC，进而得到BE=EG，FD=DC，然后由BE=6，DC=8， DE=20可求解． 【详解】解： EDBC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F， ∠ABG=∠GBC=∠EGB，∠ACF=∠FCB=∠DFC， BE=EG，FD=DC， BE=6，DC=8， DE=20， ； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握“双平等腰”这个模型是解题的关键，即角平分、线平行、形等腰． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到∠FED＋∠CED＝90°，求出AC的长，故CF＝8−AF，再根据勾股定理得到EF2＋CE2＝CF2，代入即可求解． 【详解】在Rt△ACB中，BC＝6，∠ACB＝90°， ∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处， ∴BD＝DE，BC＝CE＝6，∠B＝∠CED， ∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合， ∴∠A＝∠DEF，AD＝DE，AF＝EF， ∴∠FED＋∠CED＝90°， ∴AD＝DB， ∴CD＝DA＝DB＝AB， ∵DC＝5， ∴AB＝10， ∴AC＝＝8， ∴CF＝8−AF， ∴EF2＋CE2＝CF2， ∴AF2＋62＝（8−AF）2， ∴AF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题． 18. 如图，已知，中，，，点、分别在边、上运动，的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，解题关键是灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定动点的几何特征． 作于，连接，如图，根据等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，接着根据三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），从而求出的最大值即可． 【详解】解：作于，连接，如图， ，， ， 在中，， ， ， （当且仅当、、共线时取等号）， 的最大值为， 即点到点的最大距离为14． 故答案为：14． 三、解答题（本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．） 19. 求出下列x的值： （1）﹣27x3＋8＝0 （2）3（x﹣1）2﹣12＝0 【答案】（1）x＝ （2）x＝3或x＝﹣1 【解析】 【分析】（1）先移项得到，然后根据求立方根的方法解方程即可； （2）先移项得到，然后根据求平方根的方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵﹣27x3+8＝0， ∴﹣27x3＝﹣8， 则， 解得：； 【小问2详解】 ∵3（x﹣1）2﹣12＝0， ∴3（x﹣1）2＝12， ∴（x﹣1）2＝4， 则x﹣1＝±2， 解得：x＝3或x＝﹣1． 【点睛】本题主要考查了利用求立方根，平方根的方法解方程，解题的关键在于能够熟练掌握求平方根和立方根的方法． 20. ． 【答案】． 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根的概念及绝对值的性质，利用实数的运算法则计算即可得答案． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． 21. 已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-9的立方根是2，c是的整数部分，求7a-2b-2c的平方根． 【答案】的平方根是． 【解析】 【分析】根据2a-1的算术平方根是3，3a+b-9的立方根是2，c是的整数部分可求出a、b、c的值，代入所求代数式求出平方根即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵是的整数部分，3＜＜4， ∴， ∴， ∴的平方根是. 【点睛】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；灵活应用“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 22. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三个顶点都在正方形网格的格点上． （1）把△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出点A′的坐标　 　； （2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是　 　； （3）求△ABC的面积． 【答案】 （1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（2，3）． （2）（﹣m，n）；（3）11.5． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可． （2）根据轴对称的性质解决问题即可． （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】解：（1） 略 （2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是（﹣m，n）， 故答案为（﹣m，n）． （3）△ABC的面积＝4×6﹣×3×5﹣×1×4﹣×1×6＝11.5． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23. 如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点E，与边交于点D． （1）求的度数； （2）求证：为等腰三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角性质求出； （2）求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 24. 如图，在中，，，点在边上，且，以为腰作等腰直角，且． （1）求证：； （2）求长． 【答案】（1） 证明： ， ，且，， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， ∵ ， ， ，， ， ． 25. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AC的延长线于点E，DF⊥AB于点F． （1）求证：CE＝BF； （2）求DG的长． 【答案】 （1）证明：连接DC、DB， ∵DE⊥AC，DF⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DE＝DF，∠DEC＝∠DFB＝90°， ∵DG垂直平分BC， ∴DC＝DB， 在Rt△DEC和Rt△DFB中， DC=DB，DE=DF， ∴Rt△DEC≌Rt△DFB（HL） ∴CE＝BF； （2）6.5 【解析】 【分析】（1）要证明CE＝BF，只要证明△DEC≌△DFB即可，根据题目中的条件和角平分线的性质可以得到两个三角形全等，从而可以证明结论成立； （2）根据∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，可以求得BC的长，再根据DG垂直平分BC和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求得DG的长． 【详解】（1）略 （2）∵∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12， ∴BC＝＝13， 由（1）知Rt△DEC≌Rt△DFB， 则∠EDC＝∠FDB， ∵∠BAC＝∠DEC＝∠DFA＝90°， ∴∠EDF＝90°， ∴∠EDC+∠CDF＝90°， ∴∠FDB+∠CDF＝90°， ∴∠CDB＝90°， ∵BC＝13，DG垂直平分BC， ∴DG＝6.5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26. 已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF． （1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形； （2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长． 【答案】 （1）证明:， ， ． 四边形是矩形， ，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 是直角三角形，且； （2） 【解析】 【分析】（1）在中，，在中，，在中，，得出，即可得出结论； （2）作于，则，证明，得出，，得出，证明，得出．设，则，，得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）略 （2）作于， 则． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 设，则，， ， 在中，， ， ， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；证明三角形全等是解题的关键． 27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）40°； （2）证明：∵∠BAD=∠CAD=40°，∠ABD＝∠ACD＝20° ∴∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD=120°，∠ADE=∠BAD＋∠ABD=60° ∴∠ADC=2∠ADE ∴DE平分∠ADC； （3）解：DE＝AD＋BD，理由如下： 在DE上截取点F，使DF=AD ∵∠ADE=60° ∴△ADF为等边三角形 ∴∠AFD=60°，AD=AF ∴∠ADB=180°－∠ADE=120°，∠AFE=180°－∠AFD=120° ∴∠ADB=∠AFE ∵AB＝AE ∴∠ABE=∠E ∴△ABD≌△AEF ∴BD=EF ∴DE=DF＋EF=AD＋BD 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理和垂直平分线的判定可得∠ABC=∠ACB=50°，点A在线段BC的中垂线上，从而证出∠DBC=∠DCB，根据等角对等边可得DB=DC，得出AD垂直平分BC，再根据三线合一即可求出结论； （2）利用三角形内角和定理和外角的性质分别求出∠ADC和∠ADE，即可证出结论； （3）在DE上截取点F，使DF=AD，根据等边三角形的判定证出△ADF为等边三角形，从而得出∠AFD=60°，AD=AF，然后利用AAS证出△ABD≌△AEF，从而得出BD=EF，从而证出结论． 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝80°， ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC）=50°，点A在线段BC的中垂线上 ∵∠ABD＝∠ACD＝20°， ∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=∠ACB－∠ACD=∠DCB ∴DB=DC ∴点D在线段BC的中垂线上 ∴AD垂直平分BC ∵AB=AC ∴AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC＝40°； （2）略 （3）略 【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的判定和全等三角形的判定及性质，掌握等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、垂直平分线的判定和全等三角形的判定及性质是解题关键． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），点C（0，6），点B在x轴负半轴上，且AB=AC． （1）求点B的坐标； （2）如图2，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)； ①若△OME的面积为2，求t的值； ②如图3，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①的值为或；②能，，或，（，0）． 【解析】 【分析】（1）根据A、C两点坐标可得OA、OC的长，利用勾股定理可求出AC的长，即可得AB的长，进而可求出OB的长，可得点B坐标； （2）①作于，根据直角三角形斜边中线的性质可得OE=EA=5，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，利用勾股定理可求出EH的长，根据△OME的面积可求出OM的长，分点M再点O左侧和右侧两种情况求出t的值即可； ②当点在上时，为钝角三角形不能成为直角三角形；当点M在线段OA上时，当∠OME=90°时，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得OM=OA=4，可得点M坐标，根据OM=2t-2即可求出t值；当∠OEM=90°时，作，可得OM=2t-2，HM=2t-6，利用勾股定理列方程可求出t的值，进而可求出OM的值，可得点M的坐标． 【详解】（1）∵A（8，0），点C（0，6）， ∴，， ∴， ∵，点B在x轴负半轴， ∴， ∴B（-2，0）． （2）作于， ∵在中，点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵△OME的面积为2， ∴OM·EH=2， 解得：OM=， 当点在点的左侧时，=， 解得：． 当点在点的右侧时，=， 解得：； 综上所述，若的面积为2，的值为或． ②当点在上，即时，为钝角三角形不能成为直角三角形； 当时，点运动到点，不构成三角形当 点在上，即时， 如图，当时， ∵， ∴=4， ∴，点M坐标为（4，0）， ∴， 如图，当时，作，由①可知EH=3，OH=4， ∴OM=2t-2，HM=2t-6， ∵，EM2=HM2+EH2， ∴， ∴， ∴2t-2=， ∴（，0）． 综上所述，符合要求时，或，（，0）． 【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质，根据直角三角形斜边中线的性质求出OE的长是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $