精品解析：江苏省无锡市滨湖区2024—2025学年上学期期中质量监测九年级数学卷

2024年秋学期初中期中质量监测卷 初三数学 2024．11 注意事项：1．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 4cm，6cm，3cm．5cm C. 5cm，15cm，2cm．6cm D. 3cm，4cm，2cm，5cm 4. ⊙O的直径为10cm，点A到圆心O的距离OA=6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ） A. 点A在圆上 B. 点A在圆外 C. 点A在圆内 D. 无法确定 5. 如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是( ) A. 直径所对的角是直角 B. 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 C. 三点确定一个圆 D. 相等的圆心角所对的弧相等 7. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以点为位似中心，在第一象限内把按相似比放大，得到，则的坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，等边沿折叠，点的对应点恰好落在上(端点除外)．下列结论，一定立的是( ) A. B. C. D. 9. 如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点为的中点，连接，过点作，垂足为点，线段的延长线交于点，连接，．如下结论：①；②平分；③；④．其中正确结论为．（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 在比例尺为的无锡旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______km． 12. 如果、是关于的一元二次方程的两个实数根，那么_________． 13. 某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为_________ 14. 学校报告厅舞台的宽为，小明作为新选任的主持人，想利用学过的黄金分割知识选择合适的位置站立，则他选择的位置离点_____．（写出所有可能，精确到） 15. 如图，四边形是的内接四边形，，则_________． 16. 在中，，，点为的重心，连接，则_________． 17. 如图，在中，，，上的高．则外接圆的半径长为_________． 18. 如图，在四边形中，，，连接，若，则长度的最大值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 21. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，已知． （1）在上求作点，使与的长度比为；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，上的点到的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图） 23. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 24. 某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量(件)与每件的销售价(元)之间的函数关系为． （1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； （2）如果商场想销售这种服装每天获得元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？ 25. 如图，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小明在处测得自己的影长，在处测得自己的影长．小明身高． （1）若测出，求灯杆的长；（用含的代数式表示） （2）若测出，求灯杆的长． 26. 先阅读下列例题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ，． 的最小值是1． （1）求代数式的最大值； （2）某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？ 27. 【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，则_________；（用含的代数式表示） 【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值． 28. 如图，在矩形中，，，动点以的速度沿着折线，运动到点时停止．已知与关于直线对称，连接．设运动时间为． （1）当点落在对角线上时，________； （2）当点在上运动时，点，，能否在同一条直线上？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由，并求出的面积的最小值； （3）连接，若是直角三角形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期初中期中质量监测卷 初三数学 2024．11 注意事项：1．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一分析各选项中的方程即可． 【详解】解：A．∵原方程可整理得，未知数的最高次数是1， ∴方程不是一元二次方程，选项A不符合题意； B．∵方程含有两个未知数， ∴方程不是一元二次方程，选项B不符合题意； C．方程是一元二次方程，选项C符合题意； D．∵方程不是整式方程， ∴方程不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：B． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 4cm，6cm，3cm．5cm C. 5cm，15cm，2cm．6cm D. 3cm，4cm，2cm，5cm 【答案】C 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、1×4≠2×3，故选项错误，该选项不符合题意； B、3×6≠5×4，故选项错误，该选项不符合题意； C、2×15=5×6，故选项正确，该选项符合题意； D、2×5≠3×4，故选项错误，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 4. ⊙O的直径为10cm，点A到圆心O的距离OA=6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ） A. 点A在圆上 B. 点A在圆外 C. 点A在圆内 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得⊙O的半径为5cm，则点A到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O外． 【详解】解：∵⊙O的直径为10cm， ∴⊙O的半径为5cm， 而点A到圆心O的距离OA=6cm＞5cm， ∴点A在⊙O外． 故选B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外，则d＞r；点P在圆上，则d=r；点P在圆内，则d＜r． 5. 如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到的度数，再由是的直径得到的度数，从而计算的度数即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选：A． 6. 下列说法正确的是( ) A. 直径所对的角是直角 B. 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 C. 三点确定一个圆 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，根据圆周角定理、确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：A、直径所对的圆周角是直角，故该选项不正确，不符合题意； B、同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，故该选项正确，符合题意； C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以点为位似中心，在第一象限内把按相似比放大，得到，则的坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似图形，根据点在第一象限，以点为位似中心，在第一象限内把按相似比放大，将点的横纵坐标均乘以，即可得出结果， 掌握以原点为位似中心的图形的对应点的坐标乘以或是解答本题的关键． 【详解】解：以点O为位似中心，在第一象限内把按相似比2：1放大，得到，而点A的坐标为，点B的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，即点的坐标为，点的坐标为， 故选：C 8. 如图，等边沿折叠，点的对应点恰好落在上(端点除外)．下列结论，一定立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，，得到不一定等于，故A不符合题意；推出，根据相似三角形的判定定理得到，故B不符合题意；根据相似三角形的性质得到，故C不符合题意，根据相似三角形的性质得到，故D符合题意． 【详解】解：是等边三角形， ， 由折叠的性质可得：，， 点的对应点恰好落在上端点除外， 不一定等于D，故A不符合题意； ， ， ， ，故B不符合题意； 故C不符合题意， ，故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，，相交于点，点，，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质是解答本题的关键． 延长到点使，与格线交于点，连接，，利用网格特征得到，，再证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点使，与格线交于点，连接，， 则，， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，在中，，，点为的中点，连接，过点作，垂足为点，线段的延长线交于点，连接，．如下结论：①；②平分；③；④．其中正确结论为．（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】证明∽，根据相似三角形性质可得：：CD，即得出①； 由，可得：：DB，进而可证∽，故．即可得出②BE平分； 过点B作于G，先求出，，，再证明，可得， 即． ④根据等高三角形面积比等于底边之比求出， ，由此求出比值， 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识证明三角形相似，转化线段比，属于中考常考题型． 【详解】解：①，， ， 又， ∽， ：：CD， ， 点D为BC的中点， ， ， 故结论①正确； ②， ∴， 又， ∽， ， 在中，，， ， ， ， ， ，即平分， 故结论②正确； ③过点B作于G，如图所示： 则， ∴，， ，点D为BC的中点， ， ∴，即 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 由①得，即：， ， ，， ∴，即． ∴，故结论③正确； ④， ∵， ∴， ， 又∵ ， ：， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 在比例尺为的无锡旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______km． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为： 12. 如果、是关于的一元二次方程的两个实数根，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴ 故答案为：． 13. 某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为_________ 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 ， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 学校报告厅舞台的宽为，小明作为新选任的主持人，想利用学过的黄金分割知识选择合适的位置站立，则他选择的位置离点_____．（写出所有可能，精确到） 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，设小明选择的位置为点，分两种情况讨论, 根据或，即可求解． 【详解】解：设小明选择的位置为点，则或， ∵ 即或 ∴他选择的位置离点或, 故答案为：或． 15. 如图，四边形是的内接四边形，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， 四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 16. 在中，，，点为的重心，连接，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别是的中点，连接交于点，则是的重心，连接， ∵分别是的中点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点是斜边上的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，上的高．则外接圆的半径长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查三角形与外接圆，解三角形的运用，解题关键在于能够熟练运用三角函数求解一些简单的直角三角形的计算问题．作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，先求出，再由，即可求出直径，由此即可解题． 【详解】解：作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，如图所示： 则，， 是的高， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， 即外接圆的半径长为 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，，，连接，若，则长度的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以为顶点，在下方作，过作于，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明，进而证明，得出，进而根据，当在上时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：以为顶点，在下方作，过作于，如图： ，，则 ，则， ， ，，则 ， ， 即， 又 ，即 ， ，当在上时，取得最大值，最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）把常数项移动等号的右边，利用配方法进行求解即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴，； 【小问2详解】 ∴． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 21. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （）设，则，由相似三角形的性质得，代入数据即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴． 22. 如图，已知． （1）在上求作点，使与的长度比为；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，上的点到的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分弦的直径平分弦所对的弧作图即可，连接作线段的垂直平分线交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）如图2中，设圆心为，半径于点，设，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图复杂作图，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：如图1中，点即为所求； 【小问2详解】 如图2中，设圆心为，半径于点，设， ， ， ∵上的点到的大距离为2， ∴，， ∵在△中， ∴， 解得． 所在圆的半径为5． 23. 如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，求出的度数，根据等腰三角形的性质求出的度数，再由三角形外角的性质计算的度数即可； （2）延长交圆于点，在中利用勾股定理求出，设，用将表示出来，证明，根据相似三角形的性质，列出关系式并求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接． ，， ， ， ， ， 的度数 【小问2详解】 延长交圆于点．连接， ， ，， ， 在， 设，则 四边形是圆内接四边形， 又 又， ， ，即 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量(件)与每件的销售价(元)之间的函数关系为． （1）当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； （2）如果商场想销售这种服装每天获得元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？ 【答案】（1）当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元 （2）每件服装的销售价应定为元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，一元二次方程的应用； （1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解； （2）设每件服装的销售价应定为元，根据商场想销售这种服装每天获得元的毛利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； 【小问2详解】 设每件服装的销售价应定为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵考虑薄利多销， ∴ 答：每件服装的销售价应定为元． 25. 如图，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小明在处测得自己的影长，在处测得自己的影长．小明身高． （1）若测出，求灯杆的长；（用含的代数式表示） （2）若测出，求灯杆的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，列代数式，中心投影，关键是判定，推出，判定，推出，得到关于的方程． （1）判定，推出，得到，求出； （2）判定，推出，判定，推出，而，得到，求出，得到，求出． 【小问1详解】 解：， ， ， ，，， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 26. 先阅读下列例题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ，． 的最小值是1． （1）求代数式的最大值； （2）某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？ 【答案】（1）33 （2）商场每天最多盈利4900元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握配方法得到抛物线的最值是解题的关键． （1）利用配方法得到二次三项式的最值即可； （2）先根据利润单利润销售量列函数关系式，然后配方找最值即可解题． 【小问1详解】 解：， 即代数式的最大值为33； 【小问2详解】 解：设降低x元时，盈利w最大， 由题意得： 故商场每天最多盈利4900元． 27. 【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，则_________；（用含的代数式表示） 【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值． 【答案】[探究活动]（1）; （2） [解决问题] 的值为或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质 [探究活动]（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解． （2）同（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解； [解决问题] 由射线交于点可知，点有可能在线段上，有可能在线段延长线上，所以分两种情况讨论，再利用（2）的结论得出的值，进而根据相似三角形的性质求得直角三角形的边长，最后勾股定理，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作交于点， ， ， ， 又是的中线， （2）同（1）可得， ， 又是的中线， 故答案为：． [解决问题] 分两种情况， ①当点在线段上时，如图所示，过作交于点，则， ，， ， 由（2）可得， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，； ②当点在线段延长线上时，如图所示，过点作交的延长线于点 ，，则， ， ，， ， 又是的中线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 综上所述：的值为或． 28. 如图，在矩形中，，，动点以的速度沿着折线，运动到点时停止．已知与关于直线对称，连接．设运动时间为． （1）当点落在对角线上时，________； （2）当点在上运动时，点，，能否在同一条直线上？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由，并求出的面积的最小值； （3）连接，若是直角三角形，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）点在上运动时，点，，不能在同一条直线上，的最大值； （3）的值为或或7． 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理可得，由题意得，则，再运用勾股定理建立方程求解即可得出答案； （2）由对称得，，进而推出，当最小时，最小，为最大值，当时，最大，过点作于点，则为的中点，运用三角形面积公式即可求得答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用相似三角形的判定和性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 四边形是矩形，，， ， 在中，， 由题意得， ， 与△关于直线对称，且点落在对角线上， ，，， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，设与交于，点F是的中点， 与关于直线对称， ，，， ， ∴点E在以为直径的半圆（矩形内部）上运动， ∴ ， 又∵若点在上运动时， ，即， ∴点P在外，故， ∴， ∴点在上运动时，点，，不可能在同一条直线上， ， 当最小时，最小， ， 为最大值， ，点E在以为直径的半圆（矩形内部）上运动， 当时，最大， ， ， 的最大值； 【小问3详解】 连接，如图3， 当时， 则， ， ， ， ， ； 当时，如图4， 由题意得：，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 解得：或（舍去）； 当时，如图5， 、关于对称， 点与点重合， ； 综上所述，当是直角三角形时，的值为或或7． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，运用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $