4.2 一元一次方程及其解法同步练习2024-2025学年苏科版数学七年级上册

4.2 一元一次方程及其解法 一、选择题： 1.代数式与的值互为相反数，则等于(    ) A. B. C. D. 2.下列方程中，是一元一次方程的是(    ) A. B. C. D. 3.定义，若，则的值是(    ) A. B. C. D. 4.如果是关于的一元一次方程，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 5.是下列方程的解． A. B. C. D. 6.任何一个循环小数都可以化为分数，例如：．，．，；，若，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 7.若不论取什么数，关于的方程、常数的解总是，则的值是(    ) A. B. C. D. 8.李乐在做数学作业时，不小心将方程中处的一个常数污染了，通过询问老师，他得知方程的解是，那么处的常数是(    ) A. B. C. D. 9.在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是(    ) A. B. C. D. 10.规定：对于任意实数、、、有，如：． 已知，则，； 若关于的方程有实数根，则且； 若实数、满足，，则． 以上结论正确的个数有个． A. B. C. D. 二、填空题： 11.已知是关于的一元一次方程，那么 ______． 12.对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为______． 13.当__________时，代数式与的值互为相反数． 14.已知关于的方程的解是正整数，则正整数            ． 15.已知一元二次方程，有两个实数根，则的取值范围是______． 16.若是关于的一元一次方程，则的值是______． 17.对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示求，中较大的数，例如，方程满足，则 ______． 18.已知关于的方程的解与方程的解相同，则           ． 三、解答题： 19.已知，求： 当取何值时，； 当取何值时，比大． 20.解方程： ； ； ； ． 21.观察下列关于的方程，并回答问题． 的解是； 的解是； 的解是； 猜想方程的解为 ______； 根据观察得到的规律，直接写出第个方程的解 ______； 根据观察得到的规律，写出解为的方程是______． 22.若关于的方程的解是关的方程的解的倍，求的值． 23.十八世纪最杰出的瑞士数学家欧拉，最先把关于的多项式用符号“”表示，如果例：当时，． 当时，求的值． 当时，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解一元一次方程，相反数，注意移项要变号．根据互为相反数的两个数的和等于列出方程，然后根据一元一次方程的解法进行计算即可得解． 【解答】 解：因为代数式与的值互为相反数， 所以， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是，一次项系数不是，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是是常数且． 根据一元一次方程的概念解题即可． 【解答】 解：、含有未知数项的最高次数是，它不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、它不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、含有个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的思路有移项，左右同乘除等． 根据运算规则转化为一元一次方程，然后解即可． 【解答】 解：根据运算规则可知：可化为， 移项可得：， 即． 4.【答案】  【解析】【试题解析】 【分析】 本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的次数为． 根据题意得到：，且，求出的值即可． 【解答】 解：根据题意得：且， 解得：． 故选D． 5.【答案】  【解析】解：、当时，左边，右边，左边右边；故本选项错误； B、当时，左边，右边，左边右边；故本选项错误； C、当时，左边，右边，左边右边；故本选项正确； D、当时，左边，右边，左边右边；故本选项错误． 故选：． 将代入下列方程中进行一一验证即可． 本题考查了一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解满足该方程的解析式． 6.【答案】  【解析】解：设，则．，那么．， 则．．， 即， 则， 则，， 故选：． 设，则．，．，两式相减后解方程即可． 本题考查解一元一次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：把代入得：， 去分母得：， 所以， 因为不论取什么数，关于的方程、常数的解总是， 所以，， 所以，， 所以， 故选：． 把代入，得出，根据方程总有解，推出，，求出即可． 本题考查了一元一次方程的解的应用，能根据题意得出和的方程是解决问题的关键． 8.【答案】  【解析】解：把代入，得： ， 解得； 故选：． 把代入即可得到答案． 本题考查的是一元一次方程的解的含义，熟记方程的解的含义是解本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是：． 故选：． 根据等式的性质，在方程的两边同时乘以即可． 此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用． 10.【答案】  【解析】解：， ， 即， 解得，； 故选项正确； ， ， ， 当时，， 关于的方程有实数根， 当时，是一元二次方程， 关于的方程有实数根， ， 解得且； 综上可知，若关于的方程有实数根，则； 故选项错误； ，， ，， ，， 解得或，或， ， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， 当时，则， 此时， 当时，则， 此时， ． 故选项错误， 正确的是， 故选：． 利用因式分解法解得到的方程，即可判断，利用分类讨论即可判断，利用一元二次方程的根与系数关系和公式法解方程即可判断． 此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 11.【答案】  【解析】解：根据一元一次方程的定义， 是关于的一元一次方程， ， ， 故答案为：． 根据定义列式求解即可得到答案． 本题考查一元一次方程的定义，关键掌握等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是的方程叫一元一次方程． 12.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 去括号后得：， 移项合并得：． 故答案为：． 根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出的值． 此题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相反数的定义，从而推出相反数的两个数之和是，列出方程解答就可以了根据相反数的两个数之和是，那么可解此题． 【解答】 解：根据题意得， 化简得：， 解得：． 故答案为． 14.【答案】，  【解析】【分析】 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由方程解为正整数及为正整数确定出的值即可． 【解答】 解：方程整理得：， 解得： ， 由，都为正整数，得到，． 故答案为，． 15.【答案】且  【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 的取值范围是且． 故答案为：且． 由关于的一元二次方程有两个实数根，即可得判别式且，继而可求得的取值范围． 此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得同时考查了一元二次方程的定义． 16.【答案】  【解析】解：由题意得： 且， 且， ， 故答案为：． 根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，进行计算即可解答． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 17.【答案】或  【解析】解：由条件可分情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 故答案为：或． 分与两种情况讨论即可． 本题考查了新定义，解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法求解是关键． 18.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 由题意得：把代入方程中得： ， ， ， ， ， 故答案为：． 先解方程，可得，然后把代入方程中得：，再进行计算即可解答． 本题考查了同解方程，熟练解一元一次方程是解题的关键． 19.【答案】解：，，， ， 解得：， 即当时，； ，，比大， ， 解得． 即当时，比大．  【解析】根据列出方程，求出结果即可； 根据比大得出，解方程即可． 本题主要考查解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 20.【答案】解：去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，； ， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，； 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，； 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化，．  【解析】先去括号，再移项，并同类项，最后系数化，据此即可作答． 先去括号，再移项，并同类项，最后系数化，据此即可作答． 先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化，据此即可作答． 先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化，据此即可作答． 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21.【答案】     【解析】解：观察关于的方程可得出第个方程为，其解为， 因为，即， 所以该方程的解为； 故答案为：； 由可知第个方程的解； 故答案为：； 因为， 所以由可知，该解为第个方程的解， 所以这个方程是，即． 故答案为：． 观察关于的方程可得出第个方程为，且其解为，再结合所给方程即得出答案； 根据所得规律解答即可； 根据所得规律，分析得出是第个方程的解，再写出这个方程即可． 本题考查数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键． 22.【答案】解：解关于方程得： ， 解关于方程得： ， ， 解得：．  【解析】分别解两个方程，根据“方程的解是关于的方程的解的倍”，得到关于的一元一次方程，解之即可． 本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 23.【答案】解：当时， ． 当时，即， 当时有： ， ； 当时有： ， ， 当时，的值为或．  【解析】根据题意代入求值即可； 根据题意列出方程，解方程即可． 此题考查了新定义运算，代数式求值，一元一次方程的解法，熟练掌握代数式的求值和解一元一次方程是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$