基础知识必备手册之高一数学新课标人教A版必修二（第二册）：专题七 函数的奇偶性

一、函数奇偶性的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、奇、偶函数的性质 1.普通性质 ①奇偶函数的定义域关于原点对称； ②奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称； ③若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则；⑤若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)． 2.函数的奇偶性与单调性的关系 (1)若f(x)为奇函数,则f(x)在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性. (2)若f(x)为偶函数,则f(x)在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性. 3.奇函数、偶函数四则运算的性质 (1)两个奇函数的和仍为奇函数.(2)两个偶函数的和仍为偶函数. (3)两个奇函数的积是偶函数. (4)两个偶函数的积是偶函数. (5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注意:上面所说的函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上. 【典型例题】 【典例1】设f(x)是定义在R上的一个函数,则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定是(　　) A.奇函数　　 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数　　D.非奇非偶函数 【答案】选A 【解析】因为函数定义域为R,又因为F(-x)=f(-x)-f(-(-x))= f(-x)-f(x)=-(f(x)- f(-x))=-F(x),所以该函数是奇函数. 【典例2】试判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=. (2)f(x)=(x-1)0. 【名师指南】判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法,步骤为: ①首先看定义域是否关于原点对称:若不对称则函数为非奇非偶函数;若对称,则再看f(x)与f(-x)的关系. ②若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若f(-x)=f(x),则函数为偶函数;若f(-x)与f(x)无上述关系,则函数为非奇非偶函数. (2)图象法,利用奇、偶函数的图象的对称性来判断. 【典例3】f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,则h(x)=f(x)·g(x)的图象(　　) A.关于x轴对称　 　B.关于y轴对称 C.关于y=x对称　 D.关于原点对