2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷

参考答案 1.-2或-号-号 2-别 3.0a>0 4号 5.4 6,1:1 7.100 8.9 9.97 10.红桃/ 1110+∞) 12.-sas月 13.解：(1)x=1时函数有最大值， x=-2x-习=1， b=4, 又x=1时有最大值1，代入得-2+4+c=1, c=-1, 故b=4,c=-1. 2)fc)=-2x2+4x-1=-2c-12+1, ÷fc)≤1， 又0<m<n, 品s1 m21. :m≤x≤n, af6m=-2m-1y+1=品 第3页，共5页 f0=20-y+1=号 m、n是关于x的方程-2c-1)2+1=的两个根， ÷c-1)02x2-2x-1)=0, “=1或我只 2 :1≤m<n, m=1,n=1w3 2 I4.证明：如图，过A作BC的平行线GH,分别交CF、DF、DE、BE的延长线于点G、M、N、H, G M H B GH//BC. ÷AM=BDAG BC ÷AW=CDAM BC AM BD-AG AN-CD-AH “"-0-品 BD·AG=CD·AH, “然=以， ÷AM=AN, :AD⊥BC,点M、N在直线GH上， ÷MN//BC ÷AD⊥AM, ÷∠MAD=∠NAD=9C,又AD=AD, 第4项，共5页 ÷△ADM≌△ADN(SAS), ÷∠ADN=∠ADM,即LADE=∠ADF, 15.解：(1)抽方程有实根得，4=a+b+cP-4ab+bc+ca)≥0即0≤a2+b2+c2-2ab-2bc- 2ca=a(a-b-c)-b(a +c-b)-c(a +b-c)<a(a-b-c). 由a>0,得a-b-c>0,即a>b+c所以，a,b,c不能成为一个三角形的三边.(2)设fc)=x2-a+b+ cr+ab+bc+ca,则斯b+c)=bc>0.fa)=bc>0.且fet地*)<0由ab+c<a地些<a,所 2 以二次方程的实根xo都在b+c与a之间，即a>xo>b+c.(3)油根与系数关系有a+b+c=15,ab+bc+ ca=54,得a2+b2+c2=a+b+c2-2ab+bc+ca)=225-108=117<112. 由(2)知a>9,故得92<a2<112, ÷a=10. b+c=5,bc=4, 由b>c, 解得b=4,c=1,∴a=10,b=4,c=1. 16.解：m=2x2-6y+5y2=x-2y)P+c-y),其中x、y是有理数， ·“世博数”m=p2+q其中p、q是任意有理数)，只须p=x-y,q=x-y即可.(3分) 对于任意的两个两个“世博数”a、b,不妨设a=j2+k2,b=r2+s2,其中j、k、r、s为任意给定的有 理数，3分则 (1)ab=G2+k2)r2+s2)=r+ks2+0s-kr)2是“世博数”：(3分) 2片=5袋-22a分 2+s2 =匹0-此=袋尸+（崇P地是“世博数”3分） 第5项，共5页2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷 一、填空题：本题共12小题，共60分。 1.已知xo是关于x的方程2-ax-1=0的根.当a=-射，x0=一，号-方=一， 2.己知实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的最小值为，此时a2+b2+ab= 3.对实数m,n,定义运算“⑧”为：m⑧n=mn+n.已知关于x的方程x⑧a⑧x)=-子 若该方程有两 个相等的实数根，则实数a的值是：若该方程有两个不等负根，则实数a的取值范围是 4.如图，AB是半圆O的直径，弦AD,BC相交于点P,∠DPB=60,D是C的中 点，则-一 0 5.记Ay=C-2若a+b+c=abc,则A=Ab+Ac+Aa= xy 6.若一条直线过△ABC的内心，且平分△ABC的周长，则该直线分△ABC所成的两个图形的面积之比为 7.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙.在100个小伙子中，如果某人不亚于其他 99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有一人 8.如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有」 个 9.用Sm)表示自然数n的数字和，例如：S(10)=1+0=1,S(909)=9+0+9=18若对任意自然数n, 都有n+S)≠x,则满足这个条件的最大的两位整数x的值是一· 10.把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃A、红桃A、方块A、梅花A、黑桃2、红桃2、方块2、梅 花2，、黑桃K、红桃K、方块K、梅花K的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整叠牌最上面一张丢 掉，再执行步骤②把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①再执行步骤②，，步骤 ①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是一· 11.若实数a,b满足a+b=2Na-b,则a的取值范围为 12.已知fc)=ax2-1cER),若关于x的方程fc)=x与ffc)=x都有解，且两个方程的解完全相同， 则实数a的取值范围是 二、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(体小题15分) 已知函数fc)=-2x2+bx+c在x=1时有最大值1. 第1页，共5页 (1)求实数b,c的值： (2)没0<m<n,若当m≤x≤n时，fc的最小值为最大值为品求m,n的值。 14.体小题15分) 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，K为AD上一点，连结BK并延长交AC于E,连结CK并延长交AB于F. 求证：∠ADE=∠ADF. B 0 15.体小题15分) 设a>b>c>0,已知关于a的方程x2-a+b+cx+ab+bc+ca=0. (1)若方程有实根，求证：Q,b,c不能成为一个三角形的三条边长： 2)诺方程有实根xo,求证：b+c<xo<a: (3)当方程的两个实根分别为6,9时，求正整数a,b,c的值. 16.(体小题15分) 如果有理数m可以表示成2x2-6xy+5y2其中x、y是任意有理数的形式，我们就称m为“世博数” (1)两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？ (2)证明：两个“世博数”a、bb≠0)之商也是“世博数”， 第2页，共5页