精品解析：河北省唐山市乐亭县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 温馨提示： 1．本试题满分120分．考试时间90分钟． 2．答卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共16小题，共38分，1-6小题各3分，7-16小题各2分，每个小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1. 如图，在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（　　） A. 最小值 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 3. 已知线段b是线段、c的比例中项，且，那么b:c的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC C. D. 5. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9 7. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知，则小车上升的高度是（ ） A. 5米 B. 6米 C. 6.5米 D. 12米 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 10. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ） A. 0．8 B. 0．96 C. 1 D. 1．08 11. 在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（ ） A. 只有（1）中的与△ABC相似 B. 只有（2）中的与△ABC相似 C. 都与△ABC相似 D. 都与△ABC不相似 12. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 13. 如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（ ）秒后，与相似． A. 2 B. C. 或2 D. 或2 14. 如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出杆长处的点离地面的高度，又量得杆底与坝脚的距离，则石坝的坡度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 15. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，． A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙和丁 D. 甲和丁 16. 如图，在中，点D，E分别是上的点，且，若，则（ ） A. 1：1 6 B. 1∶18 C. 1：20 D. 1：24 二、填空题（本大题共4个小题，共12分，17、18题每空3分，19、20每空2分） 17. 计算：___________． 18. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______． 19. 一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的元降至元，若两次降价的百分率相同，求平均每次降价的百分率．如果设平均每次降价的百分率是x，根据题意，可列方程为___________． 20. 如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形中，若小正方形的边长为1，则：（1）__________；（2）__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 23. 如图1，为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为.长度均为的连杆，与始终在同一水平面上. （1）旋转连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点离桌面的高度. （2）将（1）中的连杆绕点逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点离桌面的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，） 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 25. 阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： （1）根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） （2）请判断是第几个三角形数？写出解答过程； （3）若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 26. 综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是__________； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，则__________； （4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点P，使，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 温馨提示： 1．本试题满分120分．考试时间90分钟． 2．答卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共16小题，共38分，1-6小题各3分，7-16小题各2分，每个小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1. 如图，在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握求一个角的正弦值是解题的关键；根据正弦的定义可直接进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 故选：． 2. 方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（　　） A. 最小值 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差公式的定义即可求解. 【详解】方差中“5”是这组数据的平均数. 故选B． 【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质. 3. 已知线段b是线段、c的比例中项，且，那么b:c的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b:c. 【详解】由题意得b2=ac， 即 ∵ ∴. 故选A. 【点睛】本题考查比例线段—比例中项，熟记比例中项的定义，会利用等式的性质对等式进行适当变形，表示需要求的线段的比是解决本题的关键 4. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】∵∠A是公共角， ∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求； 当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求； AB：BD=CB：CD时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求， 故选：C． 5. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程：先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再利用开平方法求解，熟知配方法的解法步骤是解答的关键．根据配方法的解法步骤解答即可． 【详解】解： ∴， 故选：B． 6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9 【答案】A 【解析】 【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心． ∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 7. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知，则小车上升的高度是（ ） A. 5米 B. 6米 C. 6.5米 D. 12米 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图AC=13，作CB⊥AB， ∵cosα=， ∴AB=12， ∴BC==5， ∴小车上升的高度是5m． 故选A． 9. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，由题意得，，且，即可求解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且． 故选：D． 10. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ） A. 0．8 B. 0．96 C. 1 D. 1．08 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得出进而得出解出即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选： 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键． 11. 在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（ ） A. 只有（1）中的与△ABC相似 B. 只有（2）中的与△ABC相似 C. 都与△ABC相似 D. 都与△ABC不相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形判定定理，两边对应成比例夹角相等，两个三角形相似，先求出两个三角形中夹角相等的两边的比值，看是否相等可判断A不正确，B正确，进而可判断C与D即可． 【详解】解：图形（1）中标字母如图， ∵BE=2，BA=4，，BF=3，BC不定，， ∴（1）中的△BEF不与△ABC相似， 故选项A不正确； 图2中标字母如图， ∵GC=4，BH=1，AB=4，AC=6． ∴AH=AB-BH=4-1=3，AG=AC-GC=6-4=2， ∴，， ∴， ∵∠HAG=∠CAB， ∴△AHG∽△ACB， 故选项B正确， ， 故选项C不正确，选项D不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题关键． 12. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键． 13. 如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（ ）秒后，与相似． A. 2 B. C. 或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 14. 如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出杆长处的点离地面的高度，又量得杆底与坝脚的距离，则石坝的坡度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先过作于，根据，可得，进而得出，根据勾股定理可得的长，根据和的长可得石坝的坡度． 【详解】解：如图，过作于，则， ，即， 解得， 中，， 又， ， 石坝的坡度为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是锐角∠CBF，坡度实际∠CBF的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 15. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，． A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 乙和丁 D. 甲和丁 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可． 【详解】解：甲需要考虑的情况，故甲错误； 乙是因式分解法解方程，过程完全正确，故乙完全正确； 丙是公式法解方程，过程中的错误为：，应该是3，故丙错误； 丁是配方法解方程，过程完全正确，故丁完全正确． 故选：C． 16. 如图，在中，点D，E分别是上的点，且，若，则（ ） A. 1：1 6 B. 1∶18 C. 1：20 D. 1：24 【答案】C 【解析】 【分析】设的面积为a，表示出的面积为，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出和相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出的面积，然后表示出的面积，再求出比值即可． 【详解】解：∵， ∴设的面积为a，则的面积为4a， ∵和的点D到的距离相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用的面积表示出的面积是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，共12分，17、18题每空3分，19、20每空2分） 17. 计算：___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______． 【答案】89 【解析】 【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数． 根据众数的定义求解即可判断． 【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89， 89出现的次数最多， 以上数据的众数为89． 故答案为：89． 19. 一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的元降至元，若两次降价的百分率相同，求平均每次降价的百分率．如果设平均每次降价的百分率是x，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率是x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意，可列方程为，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 20. 如图6个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形中，若小正方形的边长为1，则：（1）__________；（2）__________． 【答案】 ①. ## ②. 8 【解析】 【分析】本题考查了正切，平行线的判定与性质，熟练掌握是解题的关键． 如图，作于，则，，，，则，根据，计算求解，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则，，，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，8． 三、解答题（本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 22. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 23. 如图1，为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为.长度均为的连杆，与始终在同一水平面上. （1）旋转连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点离桌面的高度. （2）将（1）中的连杆绕点逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点离桌面的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，） 【答案】（1）；（2）下降了，约. 【解析】 【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题． （2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF-DE即可解决问题． 【详解】（1）过点作，垂足为，如图2， 则四边形是矩形，， ∴， ∴. （2）下降了. 如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形， ∵，∴， 又∵，∴， ∴，， ∴ . ∴下降高度： . 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）①是直角三角形，理由： 时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ②或． 【解析】 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16． 25. 阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： （1）根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） （2）请判断是第几个三角形数？写出解答过程； （3）若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 【答案】（1）； （2）78是第12个三角形数，见解析； （3）55和66． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律，根据图形找出规律是解答关键． （1）根据图形找出规律求解； （2）根据（1）的规律来求解； （3）设较小的三角形数是，则较大三角形数是，根据题意列出方程求解． 【小问1详解】 解：因为第一个图三角形的个数为：， 第二个图三角形的个数为：， 第三个图三角形的个数为：， ， 第一个图三角形的个数为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得， 解得，． 因为是正整数， 所以舍去， 是第12个三角形数． 【小问3详解】 解：设较小的三角形数是， 则较大三角形数是， 由题意得：， 解得，（舍去）， 当时，， ， 所以这两个三角形数是和． 26. 综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是__________； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，则__________； （4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点P，使，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）； （2）10； （3）； （4）2或． 【解析】 【分析】（1）根据证明，即可得证； （2）证明，得到，求得，根据三角形的面积公式求解即可； （3）过N点作于点M，证明，可得，求得，再证明，可得，设，则，，可得，进而求出比值即可； （4）当P在上时，P与A重合时符合题意，当P在上时，过B作于M，根据角平分线的性质求得，根据三角形的等面积法求得，根据三角函数求得，证明，可得，根据比例关系得到关于x的方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：将线段绕点B顺时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图所示，过N点作于点M，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得：， ， ； 【小问4详解】 解：当P在上时， 在中，， 当P与A重合时，， ， 当P在上时，过B作于M， ， ， ， ， ，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度为：2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角函数，角平分线的性质，旋转的性质，解题的关键是综合应用以上知识，分类讨论，正确的作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $