精品解析：山东省济南市商河县2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程经过配方后的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线m，n与直线a，b，B，C，点D，E，F，其中，若，则（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路．若余下的部分全部种上花卉、且花圃的面积是．设小路的宽为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为，抛两枚硬币，正面均朝上的概率为，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为（焦点和关于点对称）（ ） A. B. C. 3 D. 8. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或3 9. 如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 如图，正方形中，为边上一点，交的延长线于F，G为的中点，连，，则下列结论中正确的个数是（ ） ① ②平分 ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若（a、b均不为0），那么______. 12. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 13. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________． 14. 小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树前方20米E点处放置一面小镜子，然后她沿方向继续往前走8米到D点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面米，根据这些信息请你算出树的高度是__________米． 15. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，点是的黄金分割点，即，若，则的长为______． 16. 如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以，为边，作矩形，与相交于点H．若，，则________________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） （4）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是． （1）以原点为位似中心，在轴的左侧，画一个，使它与位似，相似比是2； （2）请直接写出点的坐标：． 19. 如图，在中，，，垂足分别为，求证：四边形是矩形． 20. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 21. 今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）； （2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 22. 用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，知． （1）当正方形边长为时，的长为 ； （2）若设正方形的边长．置物架的高的长为 （用含x的代数表示）； （3）在（2）的条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 23. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，求矩形的面积． 24. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．方程是二元二次方程，故不符合题意； B．方程是分式方程，故不符合题意； C．方程是一元二次方程，故符合题意； D．当时，方程是一元一次方程，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2. 方程经过配方后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先移项，然后利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：移项，得：， 两边同时加4，得：， 配方，得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤． 3. 如图，直线m，n与直线a，b，B，C，点D，E，F，其中，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线， ∴， 故选：B． 4. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路．若余下的部分全部种上花卉、且花圃的面积是．设小路的宽为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为， 由题意可得：， 故选C． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为，抛两枚硬币，正面均朝上的概率为，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，向上一面的点数大于2且小于5的结果数有2种，总结果数有6种，据此可求出；抛两枚硬币所得的结果为正正，反反，正反，反正（朝上的一面），据此可求出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵抛两枚硬币所得的结果为正正，反反，正反，反正（朝上的一面）， ∴， ∴， 故选：B． 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为（焦点和关于点对称）（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，先证明四边形是矩形，得到，再利用相似三角形的性质解决问题即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 缩小的实像是物体的， ， ， 焦点和关于点对称， ， ， 故选：A． 8. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1或3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，先根据根的判别式得出，再由方程根与系数的关系得出，，从而得到，求解即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ，，， ， 解得：或， ， ， 故选：B． 9. 如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可． 【详解】解：由作法得MN垂直平分CD， ∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=AD， ∴AB=BC=AC， ∴ΔABC为等边三角形， ∴∠ABC=60° ∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意； 当AB=3，则CE=DE=， ∵∠D=60°， ∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120° ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90° 在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意； ∵菱形ABCD ∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意； ∵ABCD，AB=2DE， ∴，所以D选项的结论正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键． 10. 如图，正方形中，为边上一点，交的延长线于F，G为的中点，连，，则下列结论中正确的个数是（ ） ① ②平分 ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明可得，故可判断①；证明四点在同一圆上，根据同弧所对的圆周角相等可得故可判断②；过点作证明，得过作于点证明四边形是矩形，得得出为等腰直角三角形，由勾股定理证明，从而进一步判断③；过G作交于点证明是的中位线，证明,再由可得结论 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵ ∴是等腰直角三角形， 又为的中点， ∴ ∴， 又 ∴取边中点连接 ∴ ∴四点在同一圆上，如图， ∴ ∴ ∴平分，故②正确； ③∵是的平分线， ∴点在上， ∴ 过点作如图， 则 ∵为的中点， ∴ 又 ∴， 过作于点 ∴ ∴四边形是矩形， ∴ 又 ∴ ∴ 由勾股定理得， ∴ ∴ ∴（负值舍去）故③正确； ④过G作交于点 ∴ 又， ∴即 ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④共4个， 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，四点共圆问题，角平分线的判定，矩形的判定与性质，三角形中位线定理的证明与性质，勾股定理等知识；作出合适的辅助线从而构造全等，同弧所对的圆周角相等，运用平行线分线段成比例证明线段的中点，等角对等边是解答此题的知识基础． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若（a、b均不为0），那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查比例的基本性质的逆运用，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可得出答案． 【详解】解：因为，则． 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的定义和根的情况，掌握一元二次方程的定义和根的个数与判别式的关系是解决此题的关键，根据一元二次方程的条件和根的情况列不等式即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 13. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种等可能性，根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得 ， 由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合，，故有2种等可能性，所以概率为． 故答案为： 【点睛】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键． 14. 小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树前方20米E点处放置一面小镜子，然后她沿方向继续往前走8米到D点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面米，根据这些信息请你算出树的高度是__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据光学原理可得，然后判断出和相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：由光学原理得，， 又， ， ， 即， 解得米． 故答案为： 15. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，点是的黄金分割点，即，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，再结合黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：点是的黄金分割点 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以，为边，作矩形，与相交于点H．若，，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，于是可得，结合矩形，推导出四边形为正方形，然后利用，，推导出， 于是可得，进而可得，等量代换并代入数据可得，于是得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 在矩形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，等角对等边，比例的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程； （2）先把方程变形为，然后利用因式分解法解方程； （3）利用因式分解法解方程； （4）利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 则或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， 则， ∴或， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是． （1）以原点为位似中心，在轴的左侧，画一个，使它与位似，相似比是2； （2）请直接写出点的坐标：． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似即可得； （2）根据图即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图得，． 【点睛】本题考查了位似，解题的关键是理解题意，掌握位似． 19. 如图，在中，，，垂足分别为，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，根据题意得出，，根据平行四边形的性质可得，进而可得，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ ， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是矩形． 20. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【小问1详解】 解：恰好抽到B（滑板）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 21. 今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）； （2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每本书上涨了元，根据题意即可表示出每天的销售量； （2）根据“每本书的利润每天的销售量总利润”列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵每本书上涨了元， ∴每天可售出书本， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每本书上涨了元（）， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，故舍去）， 答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元． 22. 用总长的木板制作矩形置物架（如图）．已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，知． （1）当正方形边长为时，的长为 ； （2）若设正方形的边长．置物架的高的长为 （用含x的代数表示）； （3）在（2）的条件下，为了便于放置物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 【答案】（1）20 （2） （3）70 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形及矩形的性质： （1）根据矩形和正方形的性质直接计算即可； （2）同（1）求出，根据即可求解； （3）结合（2）列出一元二次方程，解方程，根据的高度不小于，判断求出的解是否符合题意． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：由题意知，，， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）得， 由题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； x的值为70． 23. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，求矩形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明得出，通过证明得出，根据等式的性质可得，代入数值求解即可． 【详解】解：矩形内接于， ， ，， ， ， 同理，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即矩形的面积为． 24. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 【答案】（1）（米） （2）0.5米 【解析】 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，交于点，如图所示： 则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：过点作于点交于点，如图所示： 设米， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】问题背景： 证明：∵， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴； 尝试应用：3； 拓展创新：． 【解析】 【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证； 尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案． 【详解】问题背景：略 尝试应用：连接CE， ∵，， ∴， ∴， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 由于，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵ ∴， ∴； 拓展创新： 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，， ∴∠ADE=∠ABC， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $