精品解析：山东省济南市商河县四校2022-2023学年九年级上学期期联考数学试题

2022—2023学年度第一学期九年级期中考试 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，对角线交于点O，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 若且相似比为1：4，则与的面积比为（ ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：16 D. 16：1 5. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知矩形ABCD中，添加下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（ ） A. AC=BD B. AB⊥BC C. AD=BC D. AC⊥BD 9. 为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若，AB＝6，则对角线BD＝______． 12. 在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 _____． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______． 14. 如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使点A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，且，，量得米，则_____米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为___________________． 16. 如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为直线AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P，O，Q为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 如图，线段AB，CD相交于点E，且．求证：． 18. 解下列方程 （1） （2） 19. 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF． 20. 如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，AE是BC边上的中线． （1）求证：AE⊥BC． （2）过点A作AD∥BC，且AD=BE，连接CD．求证：四边形AECD是矩形． 21. 年某县投入万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，年该县计划投入“扶贫工程”万元．求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率． 22. 居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A，非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的倍息解答下列问题： （1）本次被抽查的居民人数是　 　人，将条形统计图补充完整． （2）图中∠α的度数是　 　度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有人 （3）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 23. 为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米． （1）该小组同学是利用______投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”） （2）求这棵树的高度． 24. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 25. （1）如图1，都是等边三角形，则BD与AE满足什么数量关系？请写出你的猜想并证明； （2）①如图2，在正方形ABCD和正方形DEFG中，探究证明BF，AG的数量关系； ②如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，，则 ． 26. 四边形为矩形，G为上任意一点，于点E． （1）如图1，若四边形为正方形，于F，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，，，求的长； （3）如图3，连接，若，，，请直接写出，的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年度第一学期九年级期中考试 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程．直接把分解因式得到，再得到两个一元一次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：， 分解因式得：， 即或， 解得：，． 故选：C． 2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由上面看到的平面图形是俯视图，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三视图中的俯视图，掌握“俯视图的含义”是解本题的关键． 3. 如图，在菱形中，对角线交于点O，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A．菱形的对边平行且相等，所以，故本选项不符合同意； B．菱形的边与一条对角线不一定相等，故本选项符合同意； C．菱形的对角线互相垂直，所以，故本选项不符合同意； D．菱形的对角线互相平分，所以，故本选项不符合同意． 故选：B． 4. 若且相似比为1：4，则与的面积比为（ ） A. 1：4 B. 4：1 C. 1：16 D. 16：1 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：16， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】计算判别式即可判断一元二次方程的跟的情况． 【详解】解： ， 有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用判别式判断一元二次方程根的个数： ，方程有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，方程没有实数根，掌握利用判别式来判断一元二次方程根的个数是解题的关键． 6. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， A、添加后，能确定； B、添加后，仍不能确定； C、添加后，能确定； D、添加后，能确定． 故选：B． 7. 一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，的三个小球，这三个小球除标号外其余均相同，随机取出一个小球记下标号，放回洗匀后再取出一个小球记下标号，两次所取球的标号相同的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球的标号相同的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：树状图如下： ∴P（小刚两次所记的数字相同）． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 8. 如图，已知矩形ABCD中，添加下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（ ） A. AC=BD B. AB⊥BC C. AD=BC D. AC⊥BD 【答案】D 【解析】 【分析】已知四边形ABCD是矩形，要使它成为正方形只有两种方法：（1）一组邻边相等；（2）对角线互相垂直． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴当AC⊥BD或当AD=AB时，四边形ABCD是矩形； 故选：D 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练地掌握正方形的判定方法是解题的关键．（1）一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 9. 为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为米，宽为米， 则， 故选：A． 10. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点K，先证明，四边形是矩形，则，再证明，得，于是有，即可求得，得到问题的答案． 【详解】 如图，设交于点， ∵四边形是矩形，且边落在上， ∴，， ∵于点， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：A． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明并且根据“相似三角形的对应边上的高的比等于相似比”列方程是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若，AB＝6，则对角线BD＝______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据矩形性质求出BD＝2OB，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出等边△AOB，求出OB＝AB，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝2OB，AC＝2OA，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB＝AB＝6， ∴BD＝2OB＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分． 12. 在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 _____． 【答案】12个 【解析】 【分析】用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，盒子中白球的个数约为（个）， 故答案为：12个． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：k=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 14. 如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使点A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，且，，量得米，则_____米． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，，及可得出，再由相似三角形的对应边成比例即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， 解得：（米）， 故答案为：360． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意得出是解答此题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的对应点是，可得线段与线段的位似比是，进而即可求出答案． 【详解】∵以原点为位似中心线段与线段是位似图形，的对应点是， ∴线段与线段的位似比是， ∴点的对应点的坐标为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标，根据位似图形的性质，得到位似比，是解题的关键． 16. 如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为直线AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P，O，Q为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标为______． 【答案】（2，1）或（，）或（﹣，） 【解析】 【分析】设，则，，分或两种情形讨论，根据相似三角形的性质列出方程，解方程求解即可． 【详解】解：点P为直线AB上一动点 设，则， ， 若以点P，O，Q为顶点的三角形与△AOB相似， 或 或 ， 令，则，令，则 或 解或或 P（2，1）或（，）或（-，） 故答案为：（2，1）或（，）或（﹣，） 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 如图，线段AB，CD相交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行线性质可得内错角相等，进而说明，由相似三角形的性质结论可得． 【详解】证明：∵， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（ 1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （ 2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 所以； 【小问2详解】 或 所以 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 19. 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点， ∴，． ∵， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，再利用角的等量代换得出，接着由角边角判定，最后由全等的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明． 20. 如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，AE是BC边上的中线． （1）求证：AE⊥BC． （2）过点A作AD∥BC，且AD=BE，连接CD．求证：四边形AECD是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可． 【小问1详解】 ∠B＝∠ACB， ， AE是BC边上的中线， AE⊥BC； 【小问2详解】 AE是BC边上的中线， ， AD=BE， ， ， 四边形AECD是平行四边形， 由（1）得AE⊥BC， ， 四边形AECD是矩形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及矩形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 21. 年某县投入万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，年该县计划投入“扶贫工程”万元．求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，利用年该县计划投入“扶贫工程”的资金年该县投入“扶贫工程”的资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率． 【详解】解：设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A，非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的倍息解答下列问题： （1）本次被抽查的居民人数是　 　人，将条形统计图补充完整． （2）图中∠α的度数是　 　度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有人 （3）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）40，见解析；（2）54，对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有1350人；（3）见解析，． 【解析】 【分析】（1）用A层次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出C层次的人数，然后补全条形统计图； （2）用A层次的人数所占的百分比乘以360°得到∠α的度数；用3000分别乘以样本中A、B层次的人数所占的百分比，用它们的和可估计出小区对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的人数； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）12÷30%＝40， 所以本次被抽查的居民人数是40人， C层次的人数为40﹣6﹣12﹣8＝14（人）， 条形统计图补充为： （2）∠α＝360°×＝54°， 3000×＝1350， 所以估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有1350人； 故答案为40；54； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2， 所以恰好选中甲和乙的概率＝＝． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23. 为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米． （1）该小组同学是利用______投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”） （2）求这棵树的高度． 【答案】（1）平行 （2）5.25米 【解析】 【分析】（1）太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影； （2）在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 【小问1详解】 太阳光可认为是平行光线，故太阳光线下形成的投影是平行投影； 【小问2详解】 设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则 解得：x=3.75． ∴树高是3.75+1.5=5.25（米）， 答：树高为5.25米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 24. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）每件降价20元 （2）不可能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去； （2）根据题意列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每件服装降价x元． 由题意得： （90-x-50）（20+2x）=1200， 解得：x1=20，x2=10， 为使顾客得到较多的实惠，应取x=20； 答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠； 【小问2详解】 解：不可能，理由如下： 依题意得： （90-x-50）（20+2x）=2000， 整理得：x2-30x+600=0， Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0， 则原方程无实数解． 则不可能每天盈利2000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25. （1）如图1，都是等边三角形，则BD与AE满足什么数量关系？请写出你的猜想并证明； （2）①如图2，在正方形ABCD和正方形DEFG中，探究证明BF，AG的数量关系； ②如图3，在矩形ABCD和矩形DEFG中，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）①连接BD、DF，根据正方形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质证明结论即可； ②连接BD、DF，仿照的方法解答即可． 【详解】解：（1）， 证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①， 证明：如图2，连接BD、DF， ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接BD、DF， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、正方形的性质以及矩形的性质，正确的作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 26. 四边形为矩形，G为上任意一点，于点E． （1）如图1，若四边形为正方形，于F，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，，，求的长； （3）如图3，连接，若，，，请直接写出，的长度． 【答案】（1）见解析 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）利用求得，再利用线段关系求出； （2）先根据勾股定理计算，再证明，即可解答； （3）连接，作于M点，利用直角三角形求出，的长，再利用，求出，再运用求出和，再运用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 又，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接，作于M点， ∵，，， 在中，DG＝， ∵， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形相似求出线段的长度．此题难度较大，考查了学生计算能力．解题是一定要细心．找准等量关系，正确列出一元二次方程； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $